|
|
Cross-validation and its use in statistics
Kossumov, Aibat ; Omelka, Marek (vedoucí práce) ; Hušková, Marie (oponent)
V této práci je zkoumáno použití metod křížové validace v různých oblastech statistiky. Nejprve se zaměřujeme na použití tzv. metody leave-one-out cross-validation, CV(1), pro volbu vyhlazovacích parametrů v jádrovém odhadu hustoty a úlohách jádrové regrese. Teoretické výsledky jsou demonstrovány na simulovaných datech. Dále se zabýváme výběrem lineárního modelu s nejlepší predikční schopností. Dokážeme, že v kontextu lineárních modelů je vhodné použít CV(nv) místo metody CV(1), kde nv/n → 1 pro n → ∞. Použijeme studované metody na reálná data z parlamentních a prezi- dentských voleb, které proběhly v České republice v letech 2021 a 2023. 1
|
|
|
Důkazy základních vlastností Lp prostorů
Vitner, Daniel ; Cúth, Marek (vedoucí práce) ; Peša, Dalimil (oponent)
V této práci se zabýváme základními vlastnostmi Lp prostorů, kde p ∈ [1, ∞]. První část je věnována stejnoměrné konvexitě, kde zavedeme relevantní pojmy a ukážeme, které z Lp prostorů jsou stejnoměrně konvexní. Navíc uvedeme stejnoměrnou konvexitu do sou- vislosti s reflexivitou. Druhá část je věnována dualitě Lq = (Lp)∗ , kde uvedeme důkazy prokazující platnost duality, které nepoužívají Radon-Nikodýmovu větu, a obvyklé před- poklady co nejvíce zeslabíme, aby platnost duality byla zachována. 1
|
|
|
Ball-Evansův aproximační problém v jedné dimenzi
Petr, Jakub ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce) ; Campbell, Daniel Cameron (oponent)
Ball-Evansův aproximační problém je vysoce studovaný v oblasti geometrické teorie funkcí. Možnost aproximace homeomorfismů pomocí difeomorfismů by měla mnohé dů- sledky např. v teorii regularity minimizérů či v metodě konečných prvků. Nedávno byl tento problém vyřešen ve dvou dimenzích, ale ve fyzikálně nejzajímavějších třech dimen- zích zůstává stále otevřený. V této práci studujeme následující dva problémy. Zaprvé, je-li daný homeomorfismus f ∈ Wk,p ((a, b)) pro 1 ≤ p < ∞, lze jej aproximovat v ||·||Wk,p((a,b)) s libovolně ma- lou chybou pomocí difeomorfismů? Zadruhé, máme-li 1 ≤ p, q < ∞ a homeomorfismus f ∈ W1,p ((a, b)) takový, že rovněž f−1 ∈ W1,q ((c, d)), lze najít posloupnost difeomorfismů {fn}∞ n=1, pro kterou platí ||fn − f||W1,p((a,b)) −−−→ n→∞ 0 a ⃓ ⃓ ⃓ ⃓ ⃓ ⃓f−1 n − f−1 ⃓ ⃓ ⃓ ⃓ ⃓ ⃓ W1,q((c,d)) −−−→ n→∞ 0? Na obě otázky uvádíme kladnou odpověď, přičemž na druhou není známa odpověď už ve dvou dimenzích.
|
|
|
Properties of function spaces and operators acting on them
Turčinová, Hana ; Nekvinda, Aleš (vedoucí práce) ; Edmunds, David Eric (oponent) ; Sickel, Winfried (oponent)
Tato disertační práce je věnována studiu vlastností prostorů funkcí a operátorů na nich. Práce sestává ze čtyř vědeckých článků. V prvním článku uvádíme novou charakterizaci množiny Sobolevových funkcí s nulovou stopou pomocí funkce vzdálenosti od hranice oblasti. Tato charakteri- zace nově využívá prostor L1,∞ a , který obsahuje funkce z prostoru L1,∞ s absolutně spojitou kvazinormou. Ve druhém článku zkoumáme vlastnosti jisté nové škály prostorů, které jsou definovány pomocí funkcionálu založeného na maximálním nerostoucím přerovná- ní a mocninách. Motivace pro studium těchto struktur pochází z nedávného výzkumu optimálních Sobolevových vnoření do prostorů s Ahlforsovou mírou. Ve třetím článku rozšiřujeme existující diskretizační metodu pro Lorentzovy normy tak, aby ji bylo možno uplatnit i pro degenerované váhy. Pomocí této nové techniky charakterizujeme obecné vnoření mezi klasickými Lorentzovými prostory. Ve čtvrtém článku charakterizujeme trojice vah, pro které platí nerovnosti ob- sahující superpozici dvou integrálních operátorů. Aplikace výsledků třetího článku nám dovolí vynechat techniky založené na dualitě, a získat tím obecnější výsledek. 1
|
|
|
Geometrická teorie funkcí a aplikace v nelineární elasticitě
Bouchala, Ondřej ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce) ; Pankka, Pekka (oponent) ; Kružík, Martin (oponent)
Tato práce je rozdělena na dvě části. Ta první se zaměřuje na zobrazení v Rn a na slabé limity homeomorfismů v Sobolevově prostoru W1,p . Našim primárním zájmem byl pojem "prostoty skoro všude". Ukázali jsme, že když p ≤ n − 1, pak slabá limita homeomorfismů nemusí být prostá skoro všude. Naopak, pokud p > n − 1, pak ta slabá limita prostá skoro všude je. Ve druhé části zkoumáme Hardyho prostory v komplexní rovině. Je známo, že pro jednoduše souvislou oblast Ω ⊊ C existuje konstatnta HΩ taková, že každé konfomní zborazení z jednotkového kruhu v C na Ω patří do Hardyho prostoru Hp pro všechna p < HΩ. Naopak, pro q > HΩ neexistuje takové zobrazení v prostoru Hq . Nicméně, ukázali jsme, že pokud povolíme kvazikonformní zobrazení místo zobrazeních kon- formních, pak pro každé 0 < p < ∞ existuje kvazikonformní zobrazení z jednotkového kruhu na Ω patřící do Hardyho prostoru Hp . 1
|
|
| |
|
|
On the structure and values of betweenness centrality in dense betweenness-uniform graphs
Ghanbari, B. ; Hartman, David ; Jelínek, V. ; Pokorná, Aneta ; Šámal, R. ; Valtr, P.
Betweenness centrality is a network centrality measure based on the amount of shortest paths passing through a given vertex. A graph is betweenness-uniform (BUG)if all vertices have an equal value of betweenness centrality. In this contribution, we focus on betweenness-uniform graphs with betweenness centrality below one. We disprove a conjecture about the existence of a BUG with betweenness value α for any rational numberαfrom the interval (3/4,∞) by showing that only very few betweenness centrality values below 6/7 are attained for at least one BUG. Furthermore, among graphs with diameter at least three, there are no betweenness-uniform graphs with a betweenness centrality smaller than one. In graphs of smaller diameter, the same can be shown under a uniformity condition on the components of the complement.
|
|
|
Fellerův test pro neexplosi
Rubín, Daniel ; Seidler, Jan (vedoucí práce) ; Maslowski, Bohdan (oponent)
Hlavním výsledkem práce je úplná diskuse řešení stochastické diferenciální rovnice na polopřímce (0, ∞) s polynomiálními koeficienty z hlediska doby jejich života. K tomu je využíván Fellerův test pro neexplosi. Ten je podrobně dokázán, jelikož známé důkazy jsou příliš stručné. 1
|
|
|
Volumes of unit balls of Lorentz spaces
Doležalová, Anna ; Vybíral, Jan (vedoucí práce)
Tato práce se zabývá objemem jednotkové koule v konečnědimenzionálních Lorentzových prosto- rech p,q n . Lorentzovy prostory jsou zobecnění Lebesguových prostorů s kvazinormou popsanou dvěma parametry 0 < p, q ≤ ∞. Pro objem jednotkové koule v konečnědimenzionálním Lorentzově prostoru doposud neexistoval žádný vzorec, přestože pro Lebesguovy prostory je tato formule známá již mnoho let. Předkládáme explicitní vzorec pro Vol(Bp,∞ n ) a Vol(Bp,1 n ). Popisujeme také asymptotické chování n-té odmocniny Vol(Bp,q n ) vzhledem k dimenzi n a dokazujeme, že [Vol(Bp,q n )]1/n ≈ n−1/p pro všechna 0 < p < ∞, 0 < q ≤ ∞. Dále zkoumáme podíl Vol(Bp,∞ n ) a Vol(Bp n). V závěrečné části se věnujeme poklesu čísel entropie pro vnoření Lorentzových prostorů.
|
|
|
Characterization of functions with zero traces via the distance function
Turčinová, Hana ; Nekvinda, Aleš (vedoucí práce) ; Edmunds, David Eric (oponent)
Necht' Ω ⊂ RN je oblast s lipschitzovskou hranicí, d(x) = dist(x, ∂Ω) je funkce vzdálenosti od hranice Ω a p ∈ (1, ∞). Známá charakterizace prostoru funkcí s nu- lovou stopou říká, že u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když platí u/d ∈ Lp (Ω) a zároveň ∇u ∈ Lp (Ω). Tento výsledek byl v poslední době několikrát vylepšen v tom smyslu, že podmínka u/d ∈ Lp (Ω) byla postupně zeslabována. Bylo dokázáno, že u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když platí u/d ∈ L1 (Ω) a zároveň ∇u ∈ Lp (Ω). Zatím nejlepší výsledek v tomto směru lze nalézt v autorčině bakalářské práci, kde je dokázáno, že podmínku u/d ∈ Lp (Ω) je možné zeslabit až na u/d ∈ L1,p (Ω), ovšem pouze v případě, kdy N = 1. V této diplomové práci dokážeme, že pro libovolnou dimenzi N ≥ 1, a každá p ∈ (1, ∞) a q ∈ [1, ∞) platí u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když u/d ∈ L1,q (Ω) a ∇u ∈ Lp (Ω). Na závěr pomocí protipříkladu ukážeme, že naši podmínku není možné nahradit podmínkou u/d ∈ L1,∞ (Ω). 1
|
host ::
RSS.