|
|
Ideals of Banach Spaces
Smetana, Ondřej ; Cúth, Marek (vedoucí práce) ; Rmoutil, Martin (oponent)
V této práci studujeme ideály Banachových prostorů, tedy jistou třídu jejich podprostorů. Ukážeme, že ideál, lokálně komplementovaný podprostor a existence Hahnova-Banachova rozšiřovacího operátorů splývají. Představíme a rozvineme metodu vhodných modelů. Jedná se o množinově-teoretický přístup, který nám dovoluje zjednodušit technické důkazy. Metodu použijeme k důkazu existence skoro izometrického ideálu. Předvedeme aplikace skoro izometrických ideálů a metody vhodných modelů na silnou a slabou diametr dva vlastnost a také na Daugave- tovu vlastnost.
|
|
|
Banachova-Mazurova vzdálenost mezi Banachovými prostory spojitých funkcí
Havelka, Jonáš ; Cúth, Marek (vedoucí práce) ; Rondoš, Jakub (oponent)
V této bakalářské práci rozebíráme odhady Banachovy-Mazurovy vzdálenosti mezi prostory C(ω) a C(ω · k) pro různá k ∈ N. Pomocí správně zvoleného tvaru zobrazení konstruktivně ukazujeme nejlepší dnes známé horní odhady této vzdálenosti pro všechna k. Kromě již známých odhadů d(C(ω), C(ω · k)) ≤ 2 + √ 5 pro libovolné k > 3 a d(C(ω), C(ω · 2)) ≤ 3, nalezneme pro k = 3 odhad lepší, a to d(C(ω), C(ω · 3)) ≤ 4 místo již známého 2 + √ 5. 1
|
|
|
Convergence in Banach Spaces
Silber, Zdeněk ; Kalenda, Ondřej (vedoucí práce) ; Plebanek, Grzegorz (oponent) ; Cúth, Marek (oponent)
Tato práce se skládá ze tří odborných článků. Společným tématem prvních dvou je možnost iterace slabě∗ derivovaných množin v duálních Banachových prostorech. V prvním článku dokážeme, že v duálu jakéhokoliv nereflexivního prostoru můžeme vždy na- jít konvexní množinu řádu n pro každé n ∈ N a konvexní množinu řádu ω+1. Tím zobec- níme Ostrovkého charakterizaci reflexivních prostorů jako těch prostorů, pro které slabě∗ derivované množiny splývají se slabým∗ uzávěrem pro konvexní množiny. Ve druhém článku dokážeme iterovanou verzi dalšího výsledku Ostrovského - že duál Banachova prostoru X obsahuje podprostor, jehož slabě∗ derivovaná množina je vlastní normově hustý podprostor, právě když X je nekvazireflexivní a obsahuje nekonečnědimenzionální podprostor se separabilním duálem. Ve třetím článku studujeme kvantitativní výsledky týkající se ξ-Banach-Saksových množin a slabých ξ-Banach-Saksových množin. Poskyt- neme kvantitativní analogie charakterizací slabých ξ-Banach-Saksových množin za po- mocí ℓξ+1 1 spreading modelů a kvantitativní verzi vztahu ξ-Banach-Saksových množin, slabých ξ-Banach-Saksových množin, normové kompaktnosti a slabé kompaktnosti. Tyto výsledky použijeme k definování nové míry slabé nekompaktnosti a nakonec poskytneme relevantní příklady. 1
|
|
|
Důkazy Tichonovovy věty
Dvořáková, Johana ; Cúth, Marek (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent)
Tato bakalářská práce zpracovává čtyři různé důkazy Tichonovovy věty. První důkaz vychází z definic kompaktního topologického prostoru a součinové topologie. Druhý důkaz je konstrukcí kon- vergentního podnetu libovolného netu v součinu kompaktních prostorů. Třetí důkaz využívá toho, že topologický prostor je kompaktní právě tehdy, když každý univerzální net je konvergentní. Poslední důkaz vychází ze souvislosti centrovaného systému uzavřených množin a kompaktnosti. 1
|
|
|
Ulamův problém
Kučerová, Tereza ; Cúth, Marek (vedoucí práce) ; Kalenda, Ondřej (oponent)
V této bakalářské práci se zabýváme Ulamovým problémem. V první kapitole zavedeme základní definice, uvedeme axiomatickou teorii ZF rozšířenou o Axiom výběru, zformulujeme a dokážeme Lemma, které nám bude sloužit k důkazům ve druhé a třetí kapitole. Ve druhé a třetí kapitole dokážeme, že za předpokladu, že platí Hypotéza kontinua, tak Ulamův problém má pozitivní řešení, a za předpokladu platnosti Axiomu rozšíření míry má Ulamův problém negativní řešení. Oba důkazy provedeme s vysokou mírou podrobnosti. Nakonec ve čtvrté kapitole dokážeme, že zobecněný Ulamův problém pro množiny s větší mohutností, než je mohutnost reálných čísel, má vždy negativní řešení. 1
|
|
|
Vector-valued integral representation
Rondoš, Jakub ; Spurný, Jiří (vedoucí práce) ; Galego, Eloi Medina (oponent) ; Cúth, Marek (oponent)
Tato práce sestává ze sedmi odborných článků. První dva články studují vlastnosti fragmentovaných konvexních funkcí, především takzvaný princip maxima. První z těchto článků se věnuje konvexním funkcím definovaným na kompaktních konvexních množinách, druhý abstraktním konvexním funkcím na Hausdorffových kompaktních prostorech. Další čtyři články práce obsahují výsledky v duchu Banach-Stoneovy věty v kontextu podpros- torů spojitých funkcí. První z těchto čtyř článků se věnuje komplexním afinním spo- jitým funkcím na kompaktních konvexních množinách. Druhý článek zobecňuje výsledky prvního do kontextu obecných podprostorů spojitých funkcí definovaných na lokálně kom- paktních prostorech. Zbylé dva články dále zobecňují tyto výsledky pro případ funkcí s hodnotami v Banachových prostorech a Banachových svazech. Poslední článek práce zk- oumá Banach-Mazurovu vzdálenost mezi podprostory spojitých vektorových funkcí, které mají hranice s jistou speciální topologickou vlastností. 1
|
|
|
Lipschitz Free Spaces and Subsets of Finite-Dimensional Spaces
Bíma, Jan ; Cúth, Marek (vedoucí práce) ; Doucha, Michal (oponent)
Práce se zabývá strukturou lipschitzovsky volných p-prostorů Fp(M) nad podmnoži- nami prostorů konečné dimenze, kde 0 < p ≤ 1. Vyřešíme otevřený problém a ukážeme, že pro libovolnou M nekonečnou podmnožinu Rd s metrikou | · |α , kde | · | je norma na Rd a 0 < α < 1, platí Fp(M, | · |α ) ≃ ℓp pro každé 0 < p ≤ 1. Dále zodpovíme otázku au- torů Albiaca et al. a objasníme vztah p, d k lipschitzovské konstantě kanonické, lokálně po souřadnicích afinní retrakce z (K, | · |1), kde K = ⋃︁ Q∈R Q je sjednocením systému ∅ ̸= R ⊆ {Rw + R[0, 1]d : w ∈ Zd } krychlí v Rd o straně délky R > 0, do lipschitzovsky volného p-prostoru Fp(V, | · |1) nad vrcholy těchto krychlí. V poslední kapitole se pak věnujeme existenci operátoru lipschitzovského rozšíření Lip0(N, Z) → Lip0(M, Z), kde N je tzv. doubling podprostor metrického prostoru M a Z je p-Banachův. Jak ukážeme, existence takového operátoru je ekvivalentní jisté projektivní relaci mezi lipschitzovsky volnými p-prostory Fp(N) a Fp(M). 1
|
|
|
Lipschitzovsky volné p-prostory
Raunig, Tomáš ; Cúth, Marek (vedoucí práce) ; Spurný, Jiří (oponent)
Tato práce pojednává o třídě p-Banachových prostorů známých jako lipschitzovsky volné p-prostory, kde 0 < p ≤ 1. V první části je podrobně popsána jejich konstrukce a následně podány přehledné důkazy jejich základních vlastností. S pomocí těchto vlast- ností následně tyto prostory charakterizujeme. Ve druhé části pak odvozujeme vzorec, který lze za jistých předpokladů použít pro výpočet p-normy na těchto prostorech, a po- pisujeme algoritmus pro výpočet p-normy na lipschitzovsky volných p-prostorech konečné dimenze. 1
|
|
|
Základní vlastnosti p-Banachových prostorů
Kubíček, David ; Cúth, Marek (vedoucí práce) ; Johanis, Michal (oponent)
V práci připomeneme pojem kvazi-normy a p-normy. Uvedeme Aokiho-Rolewiczovu větu, která tyto dva pojmy dává do kontextu. Zobecníme vybrané výsledky z Banachových prostorů do p-Banachových prostorů pro 0 < p ≤ 1. Studujeme Lp(µ) prostory. Konkrétně se podíváme na jejich základní vlastnosti, duální prostory a nelineární strukturu. 1
|
|
|
Separabilní redukce ve funkcionální analýze
Cúth, Marek ; Kalenda, Ondřej (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent)
V předložené práci zkoumáme, zda se některé vlastnosti množin a funkcí dají separabilně redukovat. To jest, zda platí, že množina (funkce) má danou vlastnost právě tehdy, když ji má ve speciálním separabilním podprostoru, závislém na této množin (funkci). Zabýváme se vlastnostmi množin "býti hustá, řídká, první kategorie, reziduální a pórovitá" a vlastnostmi funkcí "býti spojitá, polospojitá a fréchetovsky diferencovatelná". Jednotlivé výsledky je možné díky vhodně zvolené metodě generování podprostorů kombinovat, a tak dostáváme i separabilní redukce vlastností funkcí typu "funkce je spojitá na husté podmnožin", "funkce je fréchetovsky diferencovatelná na reziduální podmnožin", atd. Nakonec ukazujeme některé aplikace, které rozšiřují platnost tvrzení dokázaných Zajíčkem, Lindenstraussema Preissem.
|
host ::
RSS.