|
|
Základní vlastnosti p-Banachových prostorů
Kubíček, David ; Cúth, Marek (vedoucí práce) ; Johanis, Michal (oponent)
V práci připomeneme pojem kvazi-normy a p-normy. Uvedeme Aokiho-Rolewiczovu větu, která tyto dva pojmy dává do kontextu. Zobecníme vybrané výsledky z Banachových prostorů do p-Banachových prostorů pro 0 < p ≤ 1. Studujeme Lp(µ) prostory. Konkrétně se podíváme na jejich základní vlastnosti, duální prostory a nelineární strukturu. 1
|
|
| |
|
|
Finitely additive measures and their docompositions
Zindulka, Mikuláš ; Cúth, Marek (vedoucí práce) ; Johanis, Michal (oponent)
Definujeme pojem konečně aditivní míry na σ-algebře. Dokazujeme, že každou omezenou konečně aditivní míru lze jednoznačně vyjádřit jako součet " σ-aditivní části" a " čistě konečně aditivní části" a také že má rozklad podobný Lebesgueovu rozkladu σ-aditivních měr. Omezené konečně aditivní míry defi- nované na borelovské σ-algebře tvoří normovaný lineární prostor a ty z nich, které jsou nulové na množinách Lebesgueovy míry nula, tvoří jeho podprostor. Ukazujeme, že první z těchto prostorů je izometricky izomorfní duálu prostoru omezených borelovských funkcí a druhý je izometricky izomorfní duálu prostoru funkcí omezených skoro všude. 1
|
|
|
Analysis in Banach spaces
Pernecká, Eva ; Hájek, Petr (vedoucí práce) ; Johanis, Michal (oponent) ; Godefroy, Gilles (oponent)
Práce sestává ze dvou článků a jednoho preprintu. Oba články se věnují aproximačním vlastnostem Lipschitz-free prostorů. V prvním článku dokážeme, že Lipschitz-free prostor na metrickém prostoru, který je doubling, má omezenou aproximační vlastnost. Speciálně, Lipschitz-free prostor na uzavřené podmnožině Rn má omezenou aproximační vlastnost. Také ukážeme, že Lipschitz-free pros- tory na ℓ1 a ℓn 1 mají monotonní konečně dimenzionální Schauderovu dekompozici. Ve druhém článku posouváme tuto práci dále a dostáváme dokonce Schauderovu bázi v Lipschitz-free prostorech na ℓ1 a ℓn 1 . Tématem preprintu je rigidita ℓ∞ a ℓn ∞ vzhledem k uniformně diferencovatelným zobrazením. Náš hlavní výsledek je nelineární analogií klasického výsledku od Rosenthala o rigiditě ℓ∞ vzhledem k lineárním operátorům, které nejsou slabě kompaktní, a zobecňuje větu o nekom- plementovanosti c0 v ℓ∞ od Phillipse. 1
|
|
|
Semikonvexní funkce a jejich rozdíly
Kryštof, Václav ; Zajíček, Luděk (vedoucí práce) ; Johanis, Michal (oponent)
Hlavní výsledek této práce je, že dokážeme určité verze Ilmanenova lemmatu. To znamená, že pro danou semikonvexní (nebo lokálně semikonvexní) funkci f1 a pro semikonkávní (nebo lokálně semikonkávní) funkci f2 takovou, že f1 ≤ f2, najdeme funkci f tak, že f1 ≤ f ≤ f2 a f je semikonvexní i semikonkávní (nebo lokálně stejnoměrně diferencovatelná). Také dokážeme charakterizaci (pomocí nové variace) těch funkcí, které jsou rozdílem dvou ω-neklesajících funkcí. 1
|
|
|
Basic sequences in Banach spaces
Zindulka, Mikuláš ; Kalenda, Ondřej (vedoucí práce) ; Johanis, Michal (oponent)
Definujeme uspořádání bází v Banachových prostorech jako přirozené zobecnění pojmu ekvivalence. Jeho teorii rozvíjíme s důrazem na chování vzhledem k takzvaným "shrinking" a "boundedly-complete" bázím. Dokážeme, že omezený operátor, který zobrazuje shrin- king bázi na boundedly-complete bázi je slabě kompaktní. V kontextu uspořádání pak interpretujeme známý výsledek, že slabě kompaktní operátor se faktorizuje skrze refle- xivní prostor. Následně představíme definici jisté třídy Banachových prostorů, jejichž norma je zkon- struována pomocí dvoudimenzionální normy N. Dokážeme, že každý takový prostor XN je izomorfní Orliczovu prostoru posloupností. Pro nalezení této korespondence je klíčové popsat jednotkovou kružnici v normě N pomocí konvexní funkce ϕ. Kanonické jednotkové vektory v prostoru XN tvoří bázi podprostoru YN . Charakterizujeme ekvivalenci těchto bází a situaci, kdy je taková báze boundedly-complete. Příslušná kritéria jsou zformulo- vána pomocí normy N a funkce ϕ. 1
|
|
|
Lipschitzovsky volné prostory
Langr, Ondřej ; Cúth, Marek (vedoucí práce) ; Johanis, Michal (oponent)
V předložené práci se zabýváme základními vlastnostmi Lipschitzovsky volných prostorů. V první části především ukazujeme, jak jsou tyto prostory zkon- struovány a ukazujeme, že jsou charakterizovány vlastností, které říkáme Uni- verzální vlastnost. Ve druhé části se pak zaobíráme normou na těchto prostorech a podáváme explicitní vzorec pro výpočet normy prvku v obecném Lipschitzovsky volném prostoru, který vznikne z čtyřbodového metrického prostoru. Zda se, že tento vzorec není nikde publikován a jedna se tak pravděpodobně o originální výsledek této práce. 1
|
|
|
Finitely additive measures and their docompositions
Zindulka, Mikuláš ; Cúth, Marek (vedoucí práce) ; Johanis, Michal (oponent)
Definujeme pojem konečně aditivní míry na σ-algebře. Dokazujeme, že každou omezenou konečně aditivní míru lze jednoznačně vyjádřit jako součet " σ-aditivní části" a " čistě konečně aditivní části" a také že má rozklad podobný Lebesgueovu rozkladu σ-aditivních měr. Omezené konečně aditivní míry defi- nované na borelovské σ-algebře tvoří normovaný lineární prostor a ty z nich, které jsou nulové na množinách Lebesgueovy míry nula, tvoří jeho podprostor. Ukazujeme, že první z těchto prostorů je izometricky izomorfní duálu prostoru omezených borelovských funkcí a druhý je izometricky izomorfní duálu prostoru funkcí omezených skoro všude. 1
|
|
|
Semikonvexní funkce a jejich rozdíly
Kryštof, Václav ; Zajíček, Luděk (vedoucí práce) ; Johanis, Michal (oponent)
Hlavní výsledek této práce je, že dokážeme určité verze Ilmanenova lemmatu. To znamená, že pro danou semikonvexní (nebo lokálně semikonvexní) funkci f1 a pro semikonkávní (nebo lokálně semikonkávní) funkci f2 takovou, že f1 ≤ f2, najdeme funkci f tak, že f1 ≤ f ≤ f2 a f je semikonvexní i semikonkávní (nebo lokálně stejnoměrně diferencovatelná). Také dokážeme charakterizaci (pomocí nové variace) těch funkcí, které jsou rozdílem dvou ω-neklesajících funkcí. 1
|
|
|
Bisektory
Los, Tomáš ; Johanis, Michal (vedoucí práce) ; Kalenda, Ondřej (oponent)
Tato práce se zabývá studiem bisektorů (tj. množin bodů stejně vzdálených od dvou daných bodů) a vlivem jejich tvaru na tvar jednotkové koule. Je známo, že pokud každý bisektor dvojice protilehlých bodů na sféře normovaného lineárního prostoru leží v nadrovině, pak je již norma dána skalárním součinem (pro speciální normu v R2 je to dokázáno ve Větě 18). Zde se zabýváme zobecněním tohoto tvrzení v prostoru R2 pro případ (a priori) nesymetrické jednotkové koule. Konkrétně ukážeme, že pokud má množina bodů x z jednotkové sféry takových, že bisektor bodů x a −x je přímka, neprázdný vnitřek vzhledem ke sféře, pak jednotková sféra - pokud je hladká - je již elipsou se středem v počátku. Práce je založena na preprintu [1]. 1
|
host ::
RSS.