|
|
Konečně generované polookruhy a polotělesa
Šíma, Lucien ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Korbelář, Miroslav (oponent)
Tato práce se zabývá polookruhy. Polookruhy jsou tvořeny nosnou množinou s dvěma binárními operacemi, které jsou komutativní, asociativní a navíc je jedna z nich distributivní vůči druhé. Zaměříme se na třídu ideálově-jednoduchých polookruhů, tedy polookruhů bez vlastních ideálů. Předložíme klasifikaci ideálově-jednoduchých polookruhů a zabýváme se jejich podtřídami, mezi něž patří polotělesa a parapolotělesa. Hlavním výsledkem této práce jsou těsné odhady minimálního počtu polookruhových generátorů parapolotěles. Dále se věnujeme studiu konečně generovaných polotěles a ukážeme, jak mohou vypadat. V neposlední řadě ukážeme, že každý konečně generovaný ideálově jednoduchý polookruh je také konečně generovaný jako multiplikativní grupa.
|
|
| |
|
|
Lokální-globální princip pro kvadratické formy
Surý, Pavel ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Vávra, Tomáš (oponent)
Lokální-globální princip pro kvadratické formy Budeme se zabývat problémem ekvivalence kvadratických forem a reprezen- tací prvků formou. Pro racionální ekvivalenci a reprezentaci existuje klasická Hasse-Minkowského věta, která poskytuje velmi uchopitelnou charakterizaci fo- rem pomocí pohledu na formu nad zúplněními racionálních čísel, tedy reálnými a p-adickými čísly. Tento pohled budeme nazývat lokálním-globálním principem. Ukážeme, jak spočíst invarianty forem nad Qp a jak nad Qp řešit problém re- prezentace prvků. Nakonec předvedeme, že lokálně-globální pohled lze částečně aplikovat i pro celočíselné formy za dodatečných předpokladů, například pro in- definitní formy dimenze alespoň 4. 1
|
|
|
Counting extensions of imaginary quadratic fields
Beneš, Alexandr ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Yatsyna, Pavlo (oponent)
Cíl této práce je zjistit asymptotické chování počtu kvadratických rozšíření číselného tělesa podle diskriminantu. Zejména nás budou zajímat rozšíření imaginárních kvadrat- ických těles s lichým třídovým číslem. Pro dané číselné těleso K definujeme grupu idel IK a třídovou grupu idel CK, která zachycuje lokální chování číselného tělesa. Potom použi- jeme Artinovu reciprocitu, kterˇa dává korespondenci mezi kvadratickými rozšířeními K a kvadratickými charaktery na CK. Když je třídové číslo liché, kvadratické charaktery na CK se redukují na charaktery na součinu grup invertibilních prvků lokálních těles. Tyto charaktery lze explicitně napsat a můžeme spočítat diskriminant korespondujícího rozšíření z jejich lokálních konduktorů. Tyto informace dáme dohromady ve formě zeta funkce a nakonec použijeme Tauberovskou větu pro zjištění asymptotického chování. 1
|
|
|
Řetězové zlomky s předepsanou periodou
Kuděj, Martin ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Francírek, Pavel (oponent)
Tato práce se zabývá řetězovými zlomky algebraických čísel stupně 2. Jsou ukázány jejich základní vlastnosti, včetně sepsání potřebné teorie. Tato teorie je poté použita k nalezení tvaru řetězového zlomku druhých odmocnin z přirozených čísel, které nejsou čtverce, a jejich symetrické posloupnosti (a1, . . . , ak). Dále, pro danou symetrickou posloupnost přirozených čísel (a1, . . . , ak), jsou charakterizo- vána všechna N přirozená, jejichž druhé odmocniny mají řetězový zlomek právě s touto symetrickou posloupností (a1, . . . , ak). Tato přirozená N jsou popsána jako funkční hodnoty nějakého kvadratického polynomu, jehož vlastnosti budou v této práci rovněž zkoumány. 1
|
|
|
Pythagorova čísla řádů v číselných tělesech
Hájková, Veronika ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Krásenský, Jakub (oponent)
Tato práce se zabývá zkoumáním Pythagorových čísel řádů v číselných těle- sech. Po krátkém úvodu, kde opakuji a definuji nové pojmy důležité k porozumění této práce, se zabývám potřebnými vlastnostmi stopy. Práce dále dokazuje exis- tenci řádů v totálně reálných číselných tělesech, jejichž Pythagorova čísla jsou libovolně velká, a končí důkazem, že pro libovolné N ∈ N existuje totálně reálné číselné těleso, jehož maximální řád má Pythagorovo číslo alespoň N. 1
|
|
|
Viditelně ireducibilní polynomy
Bžatková, Kateřina ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Tinková, Magdaléna (oponent)
Práce se zabývá ireducibilitou polynomů nad konečnými tělesy. Článek Evan M. O'Dorney, Visibly irreducible polynomials over finite fields, při dokazování ireducibility používá viditelně ireducibilního rozkladu VID, což je rozklad, ze kterého lze ireducibilitu snadno vyčíst. V práci podrobně zpracujeme výsledky z tohoto článku. Dále zobecníme definici VID ze zmiňovaného článku vynecháním podmínky na některé stupně polynomů.
|
|
|
Solovay-Strassen primality test
Vyhnalová, Sára ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Vávra, Tomáš (oponent)
Táto práca sa venuje algoritmu na testovanie prvočíselnosti celého čísla n, založeného na výpočte Jacobiho symbolu, nazývaného Solovay-Strassenov test. Po sformulovaní samotného algoritmu odhadneme pravdepodobnosť, že testo- vané číslo n je skutočne prvočíslo, ak to o ňom vyhlásil Solovay-Strassenov test. Práca ponúka aj vylepšenie výpočtu využívajúce, že n nie je deliteľné konkrét- nymi malými prvočíslami, čo môžeme veľmi jednoducho overiť. V záverečnej časti ide o konštrukciu vlastného testu, ako obdoby k Solovay-Strassenovmu testu, za- loženého na výpočte kvartického symbolu. 1
|
|
|
Matrix of Legendre symbols
Mišlanová, Kristína ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Hejda, Tomáš (oponent)
V tejto práci sa na začiatku budeme zaoberať charakterizáciou matíc kvadra- tických zvyškov príslušných k množine prvočiniteľov, ktorých jednotlivé prvky od- povedajú Legendrovým symbolom. Neskôr sa presunieme k maticiam kubických zvyškov, kde sú Legendrove symboly nahradené kubickými mocninnými sym- bolmi. Táto práca vychádza z článku, ktorého autori D. S. Dummit, E. P. Dummit a H. Kisilevsky zaviedli pojem týchto matíc pre primárne prvočinitele a dokázali niekoľko ich základných vlastností, predovšetkým charakterizovali blokový tvar týchto matíc. V práci sa pokúsime o zhrnutie príslušnej teórie spolu s výsledkami článku a následne o rozšírenie týchto výsledkov aj na komplikovanejšie prípady matíc, ktoré odpovedajú voľbe neprimárnych prvočiniteľov.
|
|
|
Composition of quadratic forms over number fields
Zemková, Kristýna ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Francírek, Pavel (oponent)
Tato diplomová práce se zabývá teorií binárních kvadrat- ických forem s koeficienty v okruhu celistvých prvků číselného tělesa. Pro číselná tělesa, která mají úzké třídové číslo rovno jedné, je vyvinuta teorie skládání takovýchto kvadrat- ických forem. Toto skládání je pro daný diskriminant určeno bijekcí mezi třídami ekvivalence kvadratických forem a tzv. relativní orientovanou třídovou grupou (grupa sou- visející s třídovou grupou). Následně jsou v práci zobecněny Bhargavovy krychle, nově jsou uvažovány krychle nad okruhem celistvých prvků číselného tělesa. V práci je dokázáno tvrzení o skládání těchto krychlí, přičemž k důkazu se využívá výše uvedené skládání kvadratických forem. 1
|
host ::
RSS.