|
|
Universal quadratic forms over orders in number fields
Krásenský, Jakub ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Nebe, Gabriele (oponent) ; Becher, Karim Johannes (oponent)
Práce se zabývá kvadratickými formami a mřížemi nad okruhy celistvých prvků v čí- selných tělesech a částečně také nad nemaximálními řády. Důraz je kladen na otázku univerzality forem a mříží a na související pojem Pythagorova čísla. Zkoumáme téměř výlučně totálně pozitivně definitní formy a mříže nad totálně reálnými tělesy, neboť se jedná o zřejmě nejobtížnější případ a jejich chování je těžko předvídatelné. Někde budujeme obecnou teorii platnou pro číselná tělesa libovolného stupně - zvláště když studujeme kvadratický Waringův problém -, zatímco jinde prezentujeme významné a po- drobné výsledky pro konkrétní rodiny těles nízkého stupně. Tím sledujeme několik cílů: Získané výsledky jsou zajímavé a přímo navazují na otázky zkoumané velikány, jako byl Siegel; také ilustrujeme a dále rozvíjíme různé techniky a nástroje, použitelné i v jiných situacích; a konečně formulujeme domněnky a otevřené otázky, které mohou inspirovat budoucí výzkum. Zvláštní důraz je kladen na reálná bikvadratická tělesa; první dvě ka- pitoly významně přispívají k teorii celočíselných kvadratických forem nad nimi. 1
|
|
|
Struktura zobecněných Pythagorejských trojic
Hlavinková, Simona ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Krásenský, Jakub (oponent)
Hlavnou motiváciou pre našu prácu je popísanie zovšeobecnených pytagorejských tro- jíc. Tento problém prevedieme na problém hľadania riešenia rovnice |x2 + Dy2 | = z2 . Cieľom tejto práce je podrobne dokázať štruktúru a počet riešení rovnice |x2 +Dy2 | = z2 pre −D ≡ 2, 3 (mod 4) bezštvorcové. Dôkazy čiastkových lem budeme robiť v ideálovej triednej grupe číselného telesa Q[ √ −D]. Najprv dokážeme lemu, ktorá nám dá nevy- hnutné podmienky pre existenciu riešenia. Popíšeme súvislosť jednoznačnosti, respektíve nejednoznačnosti riešenia a voľby D. Kľúčovým krokom dôkazu je vyjadrenie riešenia v špeciálnom tvare. Zároveň uvedieme príklady štruktúr ideálových triednych grup pre rôzne číselné telesá. 1
|
|
|
Geometrické řešení kvadratických diofantických rovnic
Lněničková, Daniela ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Krásenský, Jakub (oponent)
Hlavní motivací práce je shrnutí a zobecnění metody na řešení kvadratických diofantic- kých rovnic. Problém hledání řešení diofantických rovnic převedeme na hledání průsečíků přímek a dané kvadriky. Teorie pracuje s obecným tělesem a je schopná řešit rovnice ve- doucí na kvadriky o n neznámých. Pak teorii aplikujeme na vyřešení některých příkladů, konkrétně hledání pythagorejských trojic nad gaussovskými celými čísli a rovnici vedoucí na hyperboloid, kde využijeme naše zobecnění. 1
|
|
|
Pythagorova čísla řádů v číselných tělesech
Hájková, Veronika ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Krásenský, Jakub (oponent)
Tato práce se zabývá zkoumáním Pythagorových čísel řádů v číselných těle- sech. Po krátkém úvodu, kde opakuji a definuji nové pojmy důležité k porozumění této práce, se zabývám potřebnými vlastnostmi stopy. Práce dále dokazuje exis- tenci řádů v totálně reálných číselných tělesech, jejichž Pythagorova čísla jsou libovolně velká, a končí důkazem, že pro libovolné N ∈ N existuje totálně reálné číselné těleso, jehož maximální řád má Pythagorovo číslo alespoň N. 1
|
|
|
Kubická a bikvadradická reciprocita
Staško, Samuel ; Příhoda, Pavel (vedoucí práce) ; Krásenský, Jakub (oponent)
Hlavní motivací pro zkoumání kubické a bikvadratické reciprocity je rozhod- nout, zda mají kongruence x3 ≡ a (p) nebo x4 ≡ a (p), kde a ∈ Z, p prvočíslo, nějaké celočíselné řešení. Jádrem této práce je prostřednictvím postupně vybudo- vané teorie v okruzích Eisensteinových a Gaussových celých čísel dokázat zákony kubické a bikvadratické reciprocity. U obou těchto tvrzení se navíc podrobněji podíváme na speciální případy, ve kterých je nelze použít. To nás povede k od- vození tzv. doplňku k zákonu kubické (resp. bikvadratické) reciprocity. Nakonec ukážeme, jak lze tyto výsledky aplikovat na problém řešitelnosti zmíněných kon- gruencí. 1
|
host ::
RSS.