|
|
Kvazieuklidovské obory integrity
Čoupek, Pavel ; Šaroch, Jan (vedoucí práce) ; Glivický, Petr (oponent)
Tato práce shrnuje některé známé výsledky, týkající se k-stage euklidovských a kvazieuklidovských okruhů a oborů integrity, jistých zobecnění pojmu eukli- dovského okruhu, a prezentuje nové výsledky. Mezi ně patří zejména zavedení transfinitní konstrukce k-stage euklidovského okruhu, vedoucí k charakterizaci k- stage euklidovských okruhů nevyužívající pojmu normy, a její důsledky. Pozornost je dále věnována tvrzením, dávajícím návod, jak konstruovat nové k-stage eukli- dovské oruhy z jiných k-stage euklidovských okruhů (a popř. tak, aby se jednalo o obory integrity). Prezentujeme také příklad oboru integrity, který se jeví jako dobrý kandidát na 3-stage euklidovský okruh, který není 2-stage euklidovský. 1
|
|
|
Triangulační algoritmus pro systémy nelineárních rovnic
Väter, Ondřej ; Hojsík, Michal (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Tato práce se zabývá triangulačním algoritmem a jeho využitím v kryptoanalýze. Uvedeme si definici soustavy nelineárních rovnic, na kterou můžeme aplikovat trian. alg., a objasníme si co je výstupem trian. alg. Ukážeme si použití tohoto algoritmu v kryptoanalýze, konkrétně při útoku na šifru Rijndael. Tento útok si ilustrujeme při hledání kolize pro námi vytvořenou hashovací funkci v Davies-Mayerově módu za použití šifry Rijndael. Součástí této práce je implementační část, ve které si ukážeme reálné využití trian. alg. při hledání kolize pro výše zmíněnou hashovací funkci.
|
|
|
Struktura samomalých grup a modulů
Dvořák, Josef ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Název práce: Struktura samomalých grup a modulů Autor: Josef Dvořák Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. E-mail vedoucího: zemlicka@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: Práce shrnuje základní strukturní vlastnosti samomalých grup. Dále důkladně buduje teorii kvocientových kategorií dle Serreových tříd, přičemž se následně soustředí na kvocientovou kategorii dle třídy B ome- zených abelovských grup, nebot' ta je, jak je ukázáno, kategoriálně ekviva- lentní kvazikategorii, tj. kategorii s objekty abelovskými grupami a mnoa- žia-naa-mi homomorfismů Q⊗ZHomA (A, B). Tento přístup je dále rozvíjen ve větší obecnosti ve formě zobecněných kvocientových kategorií. Jsou též dopodrobna studovány duality mezi kvazikategoriemi beztorních a fak- torově divisibilních grup konečného ranku, resp. mezi kategoriemi samo- malých grup konečného ranku, přičemž tato dualita je užita na modifiko- vaný Fuchsův problém č. 34. Klíčová slova: samomalá grupa, faktorově divisibilní grupa, kvazikategorie, kvocientová kategorie 1
|
|
|
Tilting theory of commutative rings
Hrbek, Michal ; Trlifaj, Jan (vedoucí práce) ; Herbera Espinal, Dolors (oponent) ; Šaroch, Jan (oponent)
Práce shrnuje mé příspěvky k vychylující teorii, především pro kategorii modulů nad komutativním okruhem. V práci klasifikujeme vychylující třídy nad libo- volným komutativním okruhem pomocí údajů s geometrickou příchutí - jisté filtrace Zariskiho spektra. Tento výsledek zobecňuje a dává jednotný rámec výsledkům do té doby známým v noetherovském případě a pro Prüferovské obory. Dále ukážeme, jak lze tyto třídy vyjádřit pomocí lokální či Čechovy homolog- ické teorie. Pro 1-vychylující třídy zkonstruujeme explicitně příslušné vychylující moduly, čímž zobecníme konstrukci Fuchse a Salceho. Navíc, nad libovolným komutativním okruhem popíšeme silting třídy i moduly. Mezi dalšími výsledky zmiňme nové příklady kovychylujících tříd, které nejsou duální žádné vychylující třídě - fenomén specifický pro nenoetherovské okruhy. 1
|
|
|
Struktura nekomutativních těles
Reichel, Tomáš ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
V této práci se budeme zabývat zněním a důkazem věty, jež nám umožňuje z cyklických rozšíření těles, která navíc splňují jisté další podmínky, zkonstruovat nekomutativní tělesa. Text od čtenáře vyžaduje základní znalosti z oblasti lineární algebry, okruhů a modulů a k použití věty je pak potřeba jistá zručnost v počítání Galoisových grup. Práce navíc přináší dva základní příklady, které ilustrují použití věty. Během důkazu se čtenář seznámí se strukturou tenzorového součinu a Brauerových grup. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Jak poznat prvoideál?
Stejskal, Adam ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Formulujeme algoritmus rozpoznávající prvoideály v okruhu polynomů s koeficienty z určitých okruhů. Jako hlavní nástroj k počítání s ideály používáme metodu Gröbnerových bází. Předvedeme analogii Buchber- gerova algoritmu pro výpočet Gröbnerovy báze pro ideály polynomů s koefi- cienty nad okruhem, který není nutně těleso. Také ukážeme vztah mezi prvo- ideály v okruhu polynomů nad okruhem R a prvoideály v okruhu polynomů nad kvocientem R a jeho prvoideálu. V práci je kladen důraz převážně na otázky teoretické správnosti, ale výpočetní aspekt také není zcela zanedbán. 1
|
|
|
Dosvědčování existenčních vět
Kolář, Jan ; Krajíček, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Tato práce formuluje a dokazuje dosvědčovací větu pro tvrzení dokazatelná v teorii SPV tvaru ∀x∃yA(x, y), kde A odpovídá relaci rozhodnutelné v polynomiálním čase. Teo- rií SPV se zde rozumí rozšíření teorie TPV (univerzální teorie N0 v jazyce reprezentujícím polynomiální algoritmy) o přidané axiomy zajišťující existenci minima lineárního uspořá- dání definovaného polynomiální relací na počátečním úseku. Jelikož tyto přidané axiomy nejsou univerzální sentence, vyžaduje teorie SPV netriviální použití dosvědčovacích vět Herbrandovy a KPT, které mají přímé použití pouze pro teorie univerzální. Na základě dokázané dosvědčovací věty je odvozen NP vyhledávací problém charakterizující složitost nalezení y pro zadané x tak, aby platilo A(x, y). Část práce je věnována argumentům podporujícím domněnku, že teorie SPV je ostře silnější než TPV . 1
|
|
|
Cryptosystems based on codes with rank metrics
Marko, Marek ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Jedním z cílů práce je čtenáři srozumitelně popsat využití hodnosti prvku a jí indu- kované metriky v lineárních kódech nad konečnými tělesy. Důležitou součástí je vysvět- lení efektivního dekódovacího algoritmu dané třídy samoopravných kódů, kdy nedochází k časově náročnému prohledání hrubou silou. Právě tento algoritmus využijeme v kryp- tografickém systému založeném na kódech s hodnostní metrikou, kterým se zabývá další část práce. Kromě samotného schématu kryptosystému je důraz kladen na detailní ilu- strování možného strukturálního útoku na něj. Porozumění danému útoku hraje klíčovou roli pro popsání způsobu obrany vůči němu. 1
|
|
|
Strongly compact cardinals and SCH
Narusevych, Mykyta ; Šaroch, Jan (vedoucí práce) ; Krajíček, Jan (oponent)
Práce je věnována kardinální aritmetice. Prvním krokem je formulace Hypotézy sin- gulárních kardinálů (SCH), jež zjednodušuje kardinální mocnění singulárních kardinálů. Dále zavádíme pojem stacionární množiny a uzavřené neomezené podmnožiny ordinálního čísla. Hlavním cílem je pak důkaz Silverovy věty a jejího důsledku pro SCH, který říká, že SCH platí pro všechny kardinály, pokud platí pro singulární kardinály se spočetnou kofinalitou. V poslední části zavádíme pojem silně kompaktního kardinálu a ukazujeme několik užitečných vlastnosti takových kardinálů. Nakonec dokážeme Solovayovu větu, jež tvrdí, že SCH platí všude nad silně kompaktním kardinálem. 1
|
|
|
Okruhy s omezenou minimální podmínkou
Krasula, Dominik ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Okruh je artinovský právě tehdy, když jsou všechny jeho faktory artinovské. Řekneme, že okruh splňuje omezenou minimální podmínky, pokud jsou jeho faktory podle esenciálních ideálů artinovské. Zkráceně takový okruh nazveme RM okruhem. Podobně jako třída artinovských okruhů je třída RM okruhů uzavřená na faktory a konečné direktní součiny. V práci dokážeme splnění RM podmínky u souřadnicových okruhů, okruhu (R × R)[x] a noetherovských CDR oborů. Prozkoumáme vztah gaussových a RM oborů. V poslední kapi- tole zaměříme naši pozornost na okruhy polynomů. Dokážeme, že je-li okruh R[x] RM okruhem, je R totálně rozložitelný. Laurentovi polynomy nad oborem R tvoří RM okruh právě tehdy, když je R těleso. 1
|
host ::
RSS.