|
|
Slabé aritmetické teorie a jejich modely.
Glivický, Petr ; Mlček, Josef (vedoucí práce) ; Pajas, Petr (oponent)
V předložené práci studujeme teorie v jazyce aritmetiky L rozšířeném o jeden binární funkční symbol s významem exponenciály. Pro libovolnou teorii v jazyce aritmetiky pak lze zavést její rozšíření v tomto novém jazyce Le přidáním dodatečných axiomů postulujících základní vlastnosti exponenciály. Používáme dva soubory axiomů pro exponenciálu - Exp1 a Exp2. V teoriích, kterými se zabýváme, je tedy vždy exponenciála zavedena axiomaticky. Ukazujeme, že v takových teoriích není velká Fermatova věta dokazatelná, a to v podstatě bez ohledu na sílu původní teorie. V práci zavádíme obecnou parametrickou metodu konstrukce exponenciály v modelech aritmetiky spočívající v "rozložení nějaké původní exponenciály na kratší úseky a jejich opětovném sestavení do exponenciály splňující požadované vlastnosti. Jako aplikace této metody jsou pak uvedeny tři konzistenční výsledky týkající se silnějších verzí negace velké Fermatovy věty. Prvním výsledkem je konstrukce modelu v práci definované aritmetiky Ar + Exp1, v němž má rovnice x + y = z nenulové řešení pro kofinálně mnoho exponentů . Druhý výsledek umožňuje expandovat libovolný model teorie I1 do modelu teorie Exp2, ve kterém je Fermatova věta opět porušena kofinálně mnoha exponenty. Třetím výsledkem je konstrukce modelu teorie ThL(N) + Exp2, v němž nastává x + y = z pro...
|
|
|
Kvazieuklidovské obory integrity
Čoupek, Pavel ; Šaroch, Jan (vedoucí práce) ; Glivický, Petr (oponent)
Tato práce shrnuje některé známé výsledky, týkající se k-stage euklidovských a kvazieuklidovských okruhů a oborů integrity, jistých zobecnění pojmu eukli- dovského okruhu, a prezentuje nové výsledky. Mezi ně patří zejména zavedení transfinitní konstrukce k-stage euklidovského okruhu, vedoucí k charakterizaci k- stage euklidovských okruhů nevyužívající pojmu normy, a její důsledky. Pozornost je dále věnována tvrzením, dávajícím návod, jak konstruovat nové k-stage eukli- dovské oruhy z jiných k-stage euklidovských okruhů (a popř. tak, aby se jednalo o obory integrity). Prezentujeme také příklad oboru integrity, který se jeví jako dobrý kandidát na 3-stage euklidovský okruh, který není 2-stage euklidovský. 1
|
|
|
Teorie a algebry formulí
Garlík, Michal ; Mlček, Josef (vedoucí práce) ; Glivický, Petr (oponent)
V předložené práci studujeme teorie prvého řádu a jejich Lindenbaumovy algebry zkoumáním vlastností řetězu BnT n<ω, nazvaného B-řetěz, kde BnT je podalgebra Lindenbaumovy algebry daná formulemi s nejvýše n volnými proměnnými. Obohatíme strukturu Lindenbaumovy algebry, abychom zachytili rozdíly mezi teoriemi, jejichž B-řetězy jsou člen po členu izomorfní. Podáme několik příkladů teorií a spočítáme jejich B-řetězy. Zkonstruujeme model Robin- sonovy aritmetiky s n-tou algebrou definovatelných množin izomorfní kartézskému součinu spočetné atomární saturované Booleovy algebry a spočetné bezatomární Booleovy algebry. 1
|
|
|
Modely aritmetických a bohatých teorií
Glivický, Petr ; Mlček, Josef (vedoucí práce) ; Vopěnka, Petr (oponent)
V předložené práci formulujeme problematiku oboru peanovských součinů (na daném modelu Presburgerovy aritmetiky (Pr)) jakožto potenciálně možného základu pro konstrukci modelů Peanovy aritmetiky (PA). Tato problematika je speciálním případem fenoménu prezentace, který úzce souvisí s pojmem bohaté teorie. Dále se zabýváme jednou ze základních otázek o oboru peanovských součinů, totiž problémem, zda na daném modelu M |= Pr mohou existovat dva peanovské součiny (· , ) shodující se na nějakém slicu a M: (x)(a·x = ax) a přitom různé pod a: (c, d < a)(c·d 6=c d). Tento problém převedeme na otázku, zda eliminační množina lineární aritmetiky (LA) je podmnožinou množiny existenčních formulí. Úplnou odpověď na tuto otázku v práci nepodáme, dokážeme pouze, že formule tvaru (x)(z1, z2) , kde je konjunkce rovností termů, je ekvivalentní s existenční. Naznačíme, že otázka eliminace v LA je podstatně těžší než v Pr či v teorii modulů a ukážeme, že souvisí s problémem popisu konečně generovaných podmonoidů Z. Přitom zavedeme pojmy (regulární množina, standardní racionalita, zubatice, . . .) a metody, které, jak věříme, budou podstatné pro případné budoucí rozřešení tohoto problému.
|
|
|
Study of Arithmetical Structures and Theories with Regard to Representative and Descriptive Analysis
Glivický, Petr
disertační práce Studium aritmetických struktur a teorií s ohledem na reprezentační a deskriptivní analýzu Petr Glivický Jsme motivováni otázkou vztahu lokálních a globálních vlastností operace o ve struktuře tvaru B, o s ohledem na aplikaci pro studium modelů B, · Peanovy aritmetiky, kde B je model aritmetiky Presburgerovy. Zajímá nás zejména problém závislosti, který formulujeme jako otázku určení uzávěru závislosti iclO (E) = {d ∈ Bn ; (∀o, o ∈ O)(o E = o E ⇒ o(d) = o (d))}, kde B je struktura, O množina n-árních operací na B a E ⊆ Bn. Ukážeme, že tento problém lze převést na otázku definovatelnosti v jisté expanzi B. Speciálně, je-li B saturovaný model Presburgerovy aritmetiky a O množina všech (saturovaných) peanovských součinů na B, dokážeme, že pro a ∈ B je iclO ({a} × B) nejmenší možný, tj. obsahující právě ty dvojice (d0, d1) ∈ B2, kde jedno z di je tvaru p(a) pro nějaký polynom p ∈ Q[x]. Uvedená problematika úzce souvisí s deskriptivní analýzou lineárních teorií, což jsou (až na změnu jazyka) teorie jistých diskrétně uspořádaných modulů nad určitými diskrétně uspořádanými obory integrity. Dokážeme tvrzení o eliminaci kvantifikátorů v lineárních teoriích a nalezneme prvomodely jejich...
|
|
|
Study of Arithmetical Structures and Theories with Regard to Representative and Descriptive Analysis
Glivický, Petr ; Mlček, Josef (vedoucí práce) ; Vopěnka, Petr (oponent) ; Zlatoš, Pavol (oponent)
disertační práce Studium aritmetických struktur a teorií s ohledem na reprezentační a deskriptivní analýzu Petr Glivický Jsme motivováni otázkou vztahu lokálních a globálních vlastností operace o ve struktuře tvaru B, o s ohledem na aplikaci pro studium modelů B, · Peanovy aritmetiky, kde B je model aritmetiky Presburgerovy. Zajímá nás zejména problém závislosti, který formulujeme jako otázku určení uzávěru závislosti iclO (E) = {d ∈ Bn ; (∀o, o ∈ O)(o E = o E ⇒ o(d) = o (d))}, kde B je struktura, O množina n-árních operací na B a E ⊆ Bn. Ukážeme, že tento problém lze převést na otázku definovatelnosti v jisté expanzi B. Speciálně, je-li B saturovaný model Presburgerovy aritmetiky a O množina všech (saturovaných) peanovských součinů na B, dokážeme, že pro a ∈ B je iclO ({a} × B) nejmenší možný, tj. obsahující právě ty dvojice (d0, d1) ∈ B2, kde jedno z di je tvaru p(a) pro nějaký polynom p ∈ Q[x]. Uvedená problematika úzce souvisí s deskriptivní analýzou lineárních teorií, což jsou (až na změnu jazyka) teorie jistých diskrétně uspořádaných modulů nad určitými diskrétně uspořádanými obory integrity. Dokážeme tvrzení o eliminaci kvantifikátorů v lineárních teoriích a nalezneme prvomodely jejich...
|
|
|
Kvazieuklidovské obory integrity
Čoupek, Pavel ; Šaroch, Jan (vedoucí práce) ; Glivický, Petr (oponent)
Tato práce shrnuje některé známé výsledky, týkající se k-stage euklidovských a kvazieuklidovských okruhů a oborů integrity, jistých zobecnění pojmu eukli- dovského okruhu, a prezentuje nové výsledky. Mezi ně patří zejména zavedení transfinitní konstrukce k-stage euklidovského okruhu, vedoucí k charakterizaci k- stage euklidovských okruhů nevyužívající pojmu normy, a její důsledky. Pozornost je dále věnována tvrzením, dávajícím návod, jak konstruovat nové k-stage eukli- dovské oruhy z jiných k-stage euklidovských okruhů (a popř. tak, aby se jednalo o obory integrity). Prezentujeme také příklad oboru integrity, který se jeví jako dobrý kandidát na 3-stage euklidovský okruh, který není 2-stage euklidovský. 1
|
|
|
Study of Arithmetical Structures and Theories with Regard to Representative and Descriptive Analysis
Glivický, Petr
disertační práce Studium aritmetických struktur a teorií s ohledem na reprezentační a deskriptivní analýzu Petr Glivický Jsme motivováni otázkou vztahu lokálních a globálních vlastností operace o ve struktuře tvaru B, o s ohledem na aplikaci pro studium modelů B, · Peanovy aritmetiky, kde B je model aritmetiky Presburgerovy. Zajímá nás zejména problém závislosti, který formulujeme jako otázku určení uzávěru závislosti iclO (E) = {d ∈ Bn ; (∀o, o ∈ O)(o E = o E ⇒ o(d) = o (d))}, kde B je struktura, O množina n-árních operací na B a E ⊆ Bn. Ukážeme, že tento problém lze převést na otázku definovatelnosti v jisté expanzi B. Speciálně, je-li B saturovaný model Presburgerovy aritmetiky a O množina všech (saturovaných) peanovských součinů na B, dokážeme, že pro a ∈ B je iclO ({a} × B) nejmenší možný, tj. obsahující právě ty dvojice (d0, d1) ∈ B2, kde jedno z di je tvaru p(a) pro nějaký polynom p ∈ Q[x]. Uvedená problematika úzce souvisí s deskriptivní analýzou lineárních teorií, což jsou (až na změnu jazyka) teorie jistých diskrétně uspořádaných modulů nad určitými diskrétně uspořádanými obory integrity. Dokážeme tvrzení o eliminaci kvantifikátorů v lineárních teoriích a nalezneme prvomodely jejich...
|
|
|
Probabilistické algoritmy pro prvočíselnost
Tejkalová, Natálie ; Švejdar, Vítězslav (vedoucí práce) ; Glivický, Petr (oponent)
Ačkoli v poslední době byla pozornost upřena především na nový deterministický algoritmus pro testování prvočíselnosti AKS, pravděpodobnostní algoritmy zůstávají efektivním nástrojem pro testování prvočíselnosti. Naše práce se věnuje převážně dvěma nejznámějším probabilistickým algoritmům pro testování prvočíselnosti. Podrobně popisuje princip a důkaz správnosti Solovay- Strassenova a Rabin-Millerova algoritmu. Kromě toho se také pokouší dívat na problematiku pravděpodobnostních testů obecněji. Je představena definice probabilistického algoritmu a různé třídy složitosti odpovídající Monte Carlo či Las Vegas algoritmům. Kromě čistě matematické teorie naznačíme i filosofické aspekty, nad kterými je třeba se při používání pravděpodobnostní metody zamýšlet. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Teorie a algebry formulí
Garlík, Michal ; Mlček, Josef (vedoucí práce) ; Glivický, Petr (oponent)
V předložené práci studujeme teorie prvého řádu a jejich Lindenbaumovy algebry zkoumáním vlastností řetězu BnT n<ω, nazvaného B-řetěz, kde BnT je podalgebra Lindenbaumovy algebry daná formulemi s nejvýše n volnými proměnnými. Obohatíme strukturu Lindenbaumovy algebry, abychom zachytili rozdíly mezi teoriemi, jejichž B-řetězy jsou člen po členu izomorfní. Podáme několik příkladů teorií a spočítáme jejich B-řetězy. Zkonstruujeme model Robin- sonovy aritmetiky s n-tou algebrou definovatelných množin izomorfní kartézskému součinu spočetné atomární saturované Booleovy algebry a spočetné bezatomární Booleovy algebry. 1
|
host ::
RSS.