|
|
pp-elimination of quantifiers in module theories
Novák, Jindřich ; Šaroch, Jan (vedoucí práce) ; Ježil, Ondřej (oponent)
Cílem této práce je dokázat Baur-Monkovu větu a tím ukázat, že úplné teorie modulů připouštějí eliminaci kvantifikátorů až na (booleovské kom- binace) existenčních formulí. Za tímto účelem se čtenář po stručném úvodu v kapitole 1 seznámí v kapitole 2 s pojmem pozitivně-primitivní formule v jazyce pravých R-modulů a s jeho úzkým vztahem s komutativními grupami, jejich rozkladovými třídami a svazy. Kapitola 3 nejprve položí technické základy pro důkaz Baur-Monkovy věty, který je uveden v oddíle 3.3, a to ve svých úvodních dvou podkapitolách, které obsahují potřebné kombinatorické a grupově-teoretické výsledky, konkrétně Neumannovo lemma a variaci na princip inkluze a exkluze. Kapitola 4 uzavírá zde obsaženou matematickou práci stručným přehledem některých bezprostředních důsledků Baur-Monkovy věty a dřívějších výsledků.
|
|
|
Kan extensions and adjoint functors
Otrubů, Mavis ; Šaroch, Jan (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
Tato práce se věnuje Kanovým extenzím. Nejdříve představíme potřebné definice a dokážeme větu, která nám dává existenční podmínku pro Kanovy extenze. Důkaz této věty také poskytuje návod ke konstrukci Kanových extenzí. Hlavní cíl je dokázat větu, která dává do souvislosti Kanovy extenze a adjungované funktory. Tuto větu také pro- pojíme s globálními Kanovými extenzemi. V poslední kapitole formulujeme a vyřešíme příklad týkající se adjungovaných funktorů mezi kategoriemi G−setů, kde použijeme vše z předchozích částí této práce. 1
|
|
|
Klasifikační problémy z lineární algebry a reprezentace toulců
Borýsek, Martin ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Tato práce se zabývá popisem kategorií konečně dimenzionálních reprezentací toulců. Jejím cílem je předvést klasifikaci nerozložitelných objektů v této kategorii pro toulce, jejichž podkladový graf je Dynkinův, a rozebrat teorii na příkladu tzv. problému tří pod- prostorů. V první kapitole jsou představeny základní poznatky o reprezentacích toulců. V druhé části je s pomocí reflexních funktorů a reflexních transformací již předveden sa- motný důkaz. Dále se tato práce ve třetí kapitole zabývá základy pro teorii M. Auslandera a I. Reitenové. V závěru je rozebrán Auslanderův-Reitenin toulec pro kategorii konečně dimenzionálních reprezentací již výše zmíněného problému tří podprostorů. 1
|
|
|
Inverzní limity v kategoriích modulů
Menčík, Matouš ; Trlifaj, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Pro třídu modulů C studujeme třídu lim ←− C modulů, které můžeme zkon- struovat pomocí incerzních limit z modulů z C. Konkrétně se zajímáme, jak se různé vlastnosti třídy Cprojevují na vlastnostech třídy lim ←− C. Také řešíme otázku, zda pro modul M je každá inverzní limita produktů M také inverzní limitou konečných produktů M. Uvádíme příklad, ve kterém je odpověď pozitivní, negativní, a ve kterém jsou důvody věřit, že odpověď závisí na dodatečných množinově-teoretických předpokladech. 1
|
|
|
Module approximations and direct limits
Matoušek, Cyril ; Šaroch, Jan (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
Tato diplomová práce se zabývá otázkami týkajícími se existence aproximací modulů, jmenovitě C-předpokrytí a C-pokrytí pro danou podtřídu C třídy všech R-modulů, a vztahy těchto aproximací s direktními limitami. S pomocí Enochsovy věty víme, že každý R-modul má C-pokrytí, pokud je předpokrývající třída C uza- vřená na direktní limity, avšak platnost obrácené implikace stále zůstává otevře- ným problémem, známým pod jménem Enochsova domněnka. V tomto kontextu ukážeme, že pro každý modul M s perfektním rozkladem platí, že třída Add(M) je předpokrývající a uzavřená na direktní limity, a tudíž pokrývající. Dále doká- žeme Enochsovu domněnku pro Add(M) za situace, kdy modul M je malý, např. < ℵω-generovaný. Konkrétněji, pokud je M malý a Add(M) pokrývající, pak má M perfektní rozklad.
|
|
| |
|
|
Models of bounded arithmetic
Narusevych, Mykyta ; Krajíček, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Práce zkoumá vzájemné vztahy různých verzí zásuvkového principu (tež princip hol- ubníku) nad teorií omezené aritmetiky T1 2 (R). Základní dvě varianty jsou obyčejný PHPn+1 n (R), formalizující že R není grafem injektivní funkce z [n + 1] do [n], a jeho slabší verze, WPHP2m m (S), formalizující že S není grafem injektivní funkce z [2m] do [m]. Je známo, že teorie T1 2 (R) nedokazuje PHPn+1 n (R). Práce zobecňuje známe metody a ukazuje, že teorie T1 2 (R) plus ∀mWPHP2m m (□p 1(R)) nedokazuje PHPn+1 n (R) (kde □p 1(R) označuje relace polynomiálně definovatelné z R). Plyne to z jíž známých faktů, náš důkaz je ale elementárnější a umožňuje nám dokázat částečný výsledek směrem k otevřenému problému, který zmínil M. Ajtai (1990). 1
|
|
|
Pseudofinite structures and limits
Ježil, Ondřej ; Krajíček, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Pro třídu instancí výpočetního problému definujeme limitní objekt, vzhledem k nějaké výpočetně omezené třídě funkcí. Klíčová metoda zde je forcing s náhodnými proměnnými, kde za množinu elementárních jevů bereme instance nestandardní velikosti. Studujeme obecnou teorii těchto limit, v práci nazývaných široké limity, a jejich spojitost s klasickými problémy jako je nalezení velké kliky a nebo s kombinatorickými problémy přidruženými k třídám NP vyhledávacích problémů PPA a PPAD. Nášimi hlavními výsledky jsou určité 0-1 zákony pro tyto limity a existence kliky významné velikosti v široké limitě grafů sestávajících z jedné velké kliky. 1
|
|
|
Semigroups of lattice points
Scholle, Marek ; Kepka, Tomáš (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
V práci se zabýváme podpologrupami (Nm 0 , +), speciální diskuse je posléze věnována případům m = 1, m = 2 a m = 3. Dokážeme, že podpologrupa Nm 0 je konečně genero- vaná, právě když jí generovaný kužel je konečně generovaný, ekvivalentně polyhedrální, a popisujeme základní topologické vlastnosti takovýchto kuželů. Na příkladech doklá- dáme, že podmínky zaručující konečnou generovanost v N2 0 nelze snadno přenést do vyš- ších dimenzí. Definujeme Hilbertovu bázi a s ní související pojem Carathéodoryho ranku a kromě základních vlastností dokážeme, že Carathéodoryho rank podpologrupy Nm 0 , m = 1, 2, 3, je menší nebo roven m. Zvláštní pozornost věnujeme pologrupám obsahu- jícím netriviální podpologrupu "odčítacích prvků.
|
|
|
Ortogonální báze a Jordanův normální tvar
Kučera, Daniel ; Šaroch, Jan (vedoucí práce) ; Barto, Libor (oponent)
Unitárně diagonalizovatelné endomorfismy jsou popsány jako zobrazení, která komutují s adjungovaným zobrazením. Tato práce z Lineární algebry se snaží popsat endomorfismy komplexního vektorového prostoru, pro které existuje ortogonální báze taková, že matice endomorfismu vzhledem k této bázi je v Jordanově tvaru. Zavádíme pro ně pojem unitárně jordanizovatelný endomorfismus. První dvě kapitoly obsahují charakterizaci unitárně diag- onalizovatelných zobrazení a důkaz existence a jednoznačnosti Jordanova normálního tvaru. V třetí kapitole se objevuje souvislost s bilineárními for- mami; s jejich pomocí je dokázáno, že endomorfismus s jediným vlastním číslem a Jordanovými řetízky délky nejvýše dva je vždy unitárně jordanizo- vatelný. V poslední kapitole je diskutována jednoznačnost ortogonální polární báze bilineární formy a je představen algoritmus, který rozhodne, zda je en- domorfismus unitárně jordanizovatelný. 1
|
host ::
RSS.