|
| |
|
|
Lebesgueova věta o hustotě pro Haarovu míru
Sterzik, Marek ; Simon, Petr (vedoucí práce) ; Zahradník, Miloš (oponent)
Práce se zabývá analogií Lebesgueovy věty v prostoru 2k s Haarovou mírou a souvisejícím tématem -k-linkovanosti algebry řešitelných množin tohoto prostoru. Celý text je rozdělen do tří kapitol. První kapitola je věnována vysvětlení nezbytných pojmů a seznamuje čtenáře se základními vlastnostmi tohoto prostoru. Druhá kapitola se potom zabývá vlastní Lebesgueovou větou. Po nezbytném zavedení pojmu bodu hustoty je prakticky celý zbytek kapitoly věnován důkazu této věty. Ta říká, že symetrická diference libovolné měřitelné množiny a množiny jejích bodů hustoty má míru nula. Třetí kapitola je potom věnována větě o -k-linkovanosti, která říká, že algebra měřitelných množin prostoru 2k je -k-linkovaná, pokud je 2 . Klíčová slova: Lebesgueova věta o hustotě, Haarova míra, -k-linkovanost.
|
|
| |
|
|
Riemann zeta function
Čoupek, Petr ; Rokyta, Mirko (vedoucí práce) ; Zahradník, Miloš (oponent)
Riemannova zeta funkce je v současné matematice důležitým nástrojem ana- lytické teorie čísel s aplikacemi zejména v kvantové mechanice, teorii pravděpo- dobnosti a statistice. Zavedena Bernhardem Riemannem v roce 1859, zeta funkce je ústředním objektem mnoha doposud nevyřešených problémů a z dosavadních výsledků je zřejmý její význam pro další vývoj na poli teorie čísel. Tato práce se soustředí na základní vlastnosti Riemannovy zeta funkce, zejména problematiku kořenů zahrnující dokázaná tvrzení o rozložení kořenů vně i uvnitř kritického pásu, formulaci Riemannovy hypotézy a problematiku iracionality vybraných hodnot zeta funkce včetně důkazu iracionality ζ(3). 1
|
|
|
Fourierova transformace periodických struktur
Zajíc, Tomáš ; Zahradník, Miloš (vedoucí práce) ; Krýsl, Svatopluk (oponent)
Matematický popis Fourierovy transformace periodické struktury. Zavádíme pojem Fourierovy řady a zkoumáme Dirichletovo jádro. Dále zavedeme pojem distribucí, Fourierovy transformace a konvoluce, pomocí kterých zjišťujeme vlastnosti Diracova delta a dále pak vzorkovací distribuce. Pomocí těchto pojmů pak definujeme periodickou strukturu. Na závěr se zmíníme o duální mřížce. V práci jsou uvedeny fyzikální poznámkami. Některé důkazy jsou formální.
|
|
|
Hierarchical solution and the structure of order parameters in the mean-field theory of spin glasses and related materials
Klíč, Antonín ; Janiš, Václav (vedoucí práce) ; Zahradník, Miloš (oponent) ; Zdeborová, Lenka (oponent)
V práci analyzujeme, jak dochází k narušení replikové symetrie v Sherrington- Kirkpatrickově (SK) modelu a v p stavovém Pottsově skle pro p ≤ 4. Představíme obecnou metodu pro odvození asymptotického řešení pro libovolný počet hier- archií narušení replikové symetrie. Pro oba modely hledáme řešení v blízkosti kritického bodu v nulovém vnějším poli a pro SK model též v nenulovém vnějším poli v blízkosti Almeida-Thoulessově linii nestability. Ukážeme, že pro SK model jsou všechna řešení s konečným počtem hierarchií nestabilní a že pouze řešení s nekonečně mnoha hierarchiemi je marginálně stabilní ve skelné fázi. U Pottsova skla najdeme navíc jednokrokové lokálně stabilní řešení koexistující s marginálně stabilním řešením s nekonečně mnoha hierarchiemi pro p > p∗ ≈ 2.82. Ukáže se, že lokálně stabilní řešení má menší volnou energii než druhé marginálně stabilní řešení. 1
|
|
|
Contour methods in the mathematical theory of phase transitions
Nagy, Oliver ; Zahradník, Miloš (vedoucí práce) ; Netočný, Karel (oponent)
Název: Konturové metody v matematické teorii fázových přechodů Autor: Oliver Nagy Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí: doc. RNDr. Miloš Zahradník, CSc., Katedra matematické analýzy Abstrakt: Práce se zaobírá třemi souvisejícími tématy z matematické statistické fyziky. Jsou to polymerové modely, Pirogov-Sinaiova teorie a Dysonovy modely v dimenzi 1. Práce obsahuje stručný úvod do všech třech uvedených partií. Úvod do Pirogov-Sinaiovy teorie bude využít jako výchozí bod pro budoucí obsáhlejší úvodní text. Takovýto text v soudobé literatuře zatím chybí. Výzkumným přínosem první části práce je detailní kombinatorický rozbor klastrových rozvojů polymerových modelů s tvrdým jádrem založený na pojmu "samovyhýbající se polymerový strom", vedoucí k zjednodušení struktury sumace v partiční funkci. V případě Dysonových modelů navrhujeme alternativní definici kontury pro jednorozměrný Dysonův model s exponentem polynomiálně klesající interakce p ∈ (1, 2) použitelnou pro zkoumání metodami Pirogov-Sinaiovy teorie. Klíčová slova: Kontury, polymery, klastrový rozvoj, Pirogov-Sinaiova teorie, Dysonův model;
|
|
|
Od asymptotické hustoty k Riemannově zeta-funkci
Grebík, Jan ; Balcar, Bohuslav (vedoucí práce) ; Zahradník, Miloš (oponent)
Zkoumáme souvislost kombinatoriky na množině přirozených čísel a měr rozšiřujících asymptotickou hustotu se strukturami teorie čísel a Rieman- novou zeta-funkcí. Dokazujeme, že při studiu měr rozšiřujících hustotu pomocí ul- trafiltrové limity se lze omezit na tenké ultrafiltry, a charakterizujeme σ-aditivitu takových měr pomocí ∗invariance ultrafiltrů. Zkoumáme vlastnosti generického rozšíření přes algebru P(N) modulo ideál množin nulové hustoty. Ukazujeme, že toto rozšíření je dvoustupňovou iterací, která v prvním kroku přidává selektivní ultrafiltr pomocí algebry P(N)/fin, a ve druhém kroku tento ultrafiltr ničí. Iso- lujeme také hodnoty některých kardinálních invariantů v tomto rozšíření.
|
|
|
Fourierova transformace periodických struktur
Zajíc, Tomáš ; Zahradník, Miloš (vedoucí práce) ; Krýsl, Svatopluk (oponent)
Matematický popis Fourierovy transformace periodické struktury. Zavádíme pojem Fourierovy řady a zkoumáme Dirichletovo jádro. Dále zavedeme pojem distribucí, Fourierovy transformace a konvoluce, pomocí kterých zjišťujeme vlastnosti Diracova delta a dále pak vzorkovací distribuce. Pomocí těchto pojmů pak definujeme periodickou strukturu. Na závěr se zmíníme o duální mřížce. V práci jsou uvedeny fyzikální poznámkami. Některé důkazy jsou formální.
|
|
|
Hierarchical solution and the structure of order parameters in the mean-field theory of spin glasses and related materials
Klíč, Antonín ; Janiš, Václav (vedoucí práce) ; Zahradník, Miloš (oponent) ; Zdeborová, Lenka (oponent)
V práci analyzujeme, jak dochází k narušení replikové symetrie v Sherrington- Kirkpatrickově (SK) modelu a v p stavovém Pottsově skle pro p ≤ 4. Představíme obecnou metodu pro odvození asymptotického řešení pro libovolný počet hier- archií narušení replikové symetrie. Pro oba modely hledáme řešení v blízkosti kritického bodu v nulovém vnějším poli a pro SK model též v nenulovém vnějším poli v blízkosti Almeida-Thoulessově linii nestability. Ukážeme, že pro SK model jsou všechna řešení s konečným počtem hierarchií nestabilní a že pouze řešení s nekonečně mnoha hierarchiemi je marginálně stabilní ve skelné fázi. U Pottsova skla najdeme navíc jednokrokové lokálně stabilní řešení koexistující s marginálně stabilním řešením s nekonečně mnoha hierarchiemi pro p > p∗ ≈ 2.82. Ukáže se, že lokálně stabilní řešení má menší volnou energii než druhé marginálně stabilní řešení. 1
|
host ::
RSS.