|
|
Filtrování a predikce procesů s diskrétním časem
Šmejkalová, Eva ; Hlubinka, Daniel (vedoucí práce) ; Čoupek, Petr (oponent)
Práce se zabývá filtrováním a predikcí procesů s diskrétním časem. Na začátek před- stavíme základní značení a teorii markovských řetězců a náhodných procházek. Dále popí- šeme přístup k filtračním metodám včetně doprovodných komentářů, obrázků a příkladů. Poté dokážeme jednu ze základních vět o filtračních rovnicích a grafickým i početním vyřešením dvou problémů vysvětlíme souvislosti těchto rovnic s úvodem kapitoly. Na zá- věr práce stručně popíšeme téma predikce a dokážeme větu, jež dále demonstrujeme na konkrétním problému. 1
|
|
|
Random Dynamical Systems and Their Applications
Iuzbashev, Artem ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Čoupek, Petr (oponent)
This thesis extends the existing results in the theory of random dynamical systems driven by fractional noise in Hilbert space. In particular, it broadens the scope of ap- plicability of the results presented by Maria J. Garrido-Atienza, Bohdan Maslowski and Jana Snuparkova in Garrido-Atienza et al. [2016] for fractional noise whose sample paths have a Hölder exponent greater than 1/2. The main object of the research is the following stochastic equation: d u(t) = (A(t)u(t) + F(u(t)))d t + Bu(t)d ω(t), u(0) = u0 ∈ V, where (V, ∥ · ∥V ) is a separable Hilbert space, ω is a stochastic process and the stochastic integral is understood in the Zähle sense. This thesis contains the proof of a Fubini-type theorem for integration in the sense of Zähle. It is shown that the assumption about ergodicity for the underlying fractional noise in Garrido-Atienza et al. [2016] is redundant and the statements about random dynamical systems which are generated by the solution of the equation and its random attractor remain valid. The thesis also contains the proof of the existence and uniqueness of the solution to the equation above. 1
|
|
|
Odhady parametrů pro frakcionální Brownův pohyb
Hartman, Štěpán ; Kříž, Pavel (vedoucí práce) ; Čoupek, Petr (oponent)
Tato bakalářská práce se zabývá matematickým objektem zvaným frakcionální Brow- nův pohyb, jenž má značná využití v širokém poli oborů jako je kromě teoretické či finanční matematiky také biologie, geografie, či informatika. Tento pojem je zobecněním standardního Brownova pohybu, u nějž však nepředpokládáme nezávislost jeho přírůstků. V této práci daný objekt definujeme a zkoumáme jeho základní vlastnosti. Následně se zabýváme odhady jeho Hurstova indexu. Navrhneme korekci jedné z metod konstrukce tohoto estimátoru a vhodnost jejího použití pak prezentujeme na simulovaných i reálných datech. 1
|
|
|
Random Dynamical Systems
Garaj, Tomáš ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Čoupek, Petr (oponent)
Náhodné diferenciální rovnice jsou diferenciální rovnice, jejichž pravá strana závisí na náhodném šumu. Ve většině aplikací je tento šum modelován metrickým dynamickým systémem nebo náhodným procesem, který má odpovídající vlastnosti. V této práci se budeme věnovat náhodným diferenciálním rovnicím a zjistíme, za jakých podmínek rovnice svým řešením generuje náhodný dynamický systém. Abychom mohli uvažovat větší škálu funkcí na pravé straně rovnice, využijeme metodu ljapunovských funkcí, díky které dostaneme méně přísné podmínky než ty, které jsou uvažovány obvykle. V poslední části práce představíme oblast náhodných atraktorů, uvedeme větu z literatury, která zajišťuje existenci náhodného atraktoru k danému náhodnému dynamickému systému, a formulujeme vlastní větu, která propojí teorii náhodných atraktorů s teorií, jíž jsme se zabývali v předchozích částech práce. 1
|
|
|
Markovovy řetězce a martingaly
Hlas, Adam ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Večeř, Jan (oponent)
Tato práce se zabývá vztahem Markovových řetězců a martingalů. Tyto dva pojmy jsou nejprve definovány a následně propojeny větou o vztahu Markovova řetězce a mar- tingalu. S pomocí tohoto výsledku jsou zkoumány vybrané vlastnosti Markovova řetězce. Nakonec je vyslovena Lyapunovova věta o rekurenci a s její pomocí dokázáno, ve kterých dimenzích je náhodná procházka na mříži rekurentní a kdy transientní. 1
|
|
|
Malliavinovy operátory pro reálné gaussovské náhodné veličiny a jejich aplikace
Kubát, Martin ; Kříž, Pavel (vedoucí práce) ; Čoupek, Petr (oponent)
Text představí takzvané Malliavinovy operátory, konkrétně se zaměříme na derivační, divergenční a Ornsteinův-Uhlenbeckův operátor, s cílem zkoumat náhodné veličiny, vznik- lých tranformací náhodné veličiny s normovaným normálním rozdělením. Veškeré nově zavedené pojmy důkladně vysvětlíme a připojíme hned několik názorných příkladů. Vše zúročíme při důkazu slavné Poincarého nerovnosti a ve větě o rozvoji rozptylu tranfor- mované veličiny. Technika závěrečných důkazů poskytuje i dobrý obecný návod, jakým způsobem řešit příklady obdobného typu na základě znalosti Malliavinových operátorů. 1
|
|
|
Gebeleinova nerovnost
Svoboda, Matěj ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Maslowski, Bohdan (oponent)
V práci se zabýváme korelační nerovností pro gaussovské náhodné veličiny nazýva- nou Gebeleinova nerovnost. V první části práce tuto nerovnost zformulujeme, zavedeme Hermitovy polynomy a odvodíme některé jejich vlastnosti, na jejichž základě nerovnost dokážeme. V druhé části s pomocí Gebeleinovy nerovnosti ukazujeme, že pro normované gaussovské posloupnosti lze v Borelově-Cantelliho lemmatu a silném zákonu velkých čísel upustit od nezávislosti a pouze předpokládat dostatečně rychle klesající korelaci. 1
|
|
|
Non-smooth paths
Hendrych, František ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Maslowski, Bohdan (oponent)
Sewing Lemmata jsou užitečné nástroje při dávání významu nějakému abstraktnímu integrálu skrze zadané lokální aproximace. Nacházejí uplatnění například v Teorii Rough Paths. Je známo mnoho různých verzí takových lemmat. Stochastické Sewing Lemma je speciální zobecnění umožňující snížit požadavky na regularitu příslušných objektů. V této práci zobecňujeme známé Stochastické Sewing Lemma pro stochastické procesy chápané jako Hölderovské funkce s hodnotami v Lm (Ω) představené v článku Lê [2020] a Besovovské Sewing Lemma pro funkce Besovovského typu představené v článku Friz and Seeger [2021]. Jejich přirozené zobecnění vede ke Stochastickému Besovovskému Sewing Lemmatu pro stochastické procesy vnímané jako funkce Besovovského typu s hodnotami v Lm (Ω). 1
|
|
|
Love-Young Inequality and Its Consequences
Sýkora, Adam ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Hlubinka, Daniel (oponent)
Bakalářská práce je zaměřená na důkaz Loveho-Youngovy nerov- nosti a objasnění jejího vztahu s frakcionálním Brownovým pohybem. Začínáme uvedením několika odhadů spolu s konceptem p-variace funkce. Dále je ob- jasněna souvislost mezi funkcemi s konečnou p-variací a regulovanými funkcemi, která je použita k důkazu zmíněné Loveho-Youngovy nerovnosti. Nedostatky tohoto přístupu k integraci jsou demonstrovány na vlastnostech frakcionálního Brownova pohybu. Právě ten představuje hlavní aplikaci získaných poznatků, kterou je integrování podle málo regulárních funkcí. 1
|
|
|
Kalman-Bucy Filter in Continuous Time
Týbl, Ondřej ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Čoupek, Petr (oponent)
V předložené diplomové práci je studován problém lineární filtrace gaus- sovského signálu v konečně-dimenzionálních prostorech. Užijeme rovnice Kal- manova typu pro odvození spojité závislosti filtru na signálu. Dále ukážeme stejnou vlastnost spojitosti pro kovarianci chyby odhadu a signálu a odvo- díme, že pro integrální rovnici, která je splněna pro filtr, existuje vždy jedno- značně určené řešení, a to i za obecnějších předpokladů. Předvedeme několik příkladů, které ilustrují spojitou závislost pro signály řizené stochastickou diferenciální rovnicí se šumem daným frakcionálním Brownovým pohybem. 1
|
host ::
RSS.