|
|
Struktura čistě-injektivních abelovských grup
Jankovec, Filip ; Šaroch, Jan (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
Tato práce se zabývá popisem struktury čistě-injektivních abelovských grup. Zfor- mulujeme a dokážeme několik ekvivalentních charakterizací obecných čistě-injektivních modulů a podrobně rozebereme případ čistě-injektivních modulů nad oborem hlavních ideálů. Ukážeme, že každá čistě-injektivní grupa se dá jednoznačně zapsat pomocí cyklic- kých grup, Prüferových grup a grupy racionálních čísel. Navíc abelovská grupa lze zapsat příslušným zápisem právě tehdy, je-li čistě-injektivní. 1
|
|
|
Diamantové principy a GCH
Fuková, Kateřina ; Šaroch, Jan (vedoucí práce) ; Chodounský, David (oponent)
Diamantové principy i zobecněná hypotéza kontinua jsou tvrzení dotýkající se ne- konečné kombinatoriky. Tato práce se zabývá vztahy mezi těmito tvrzeními, přičemž z početných formulací diamantových principů uvádí právě dva: ♢S a ♢∗ S. Krom přehledu dotčených základních pojmů práce předvádí důkaz Shelahovy věty publikované v článku Diamonds z roku 2010. 1
|
|
|
Spectrum problem
Ježil, Ondřej ; Krajíček, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
V této práci se věnujeme spektrům sentencí prvního řádu. Nejprve předvedeme kon- strukci několika zajímavých příkladů spekter a poté ukážeme, že je třída všech spekter uzavřena na několik jednoduchých množinových a algebraických operací. Poté definu- jeme novou třídu definovatelných operací, která zobecní předchozí konstrukce. Hlavním výsledkem práce je důkaz toho, že je třída těchto funkcí uzavřena na určitý druh iterace. Toto nám ve spojení s Cobhamovou charakterizací FP nabízí nový důkaz Faginovy věty a také Jonesovy-Selmenovy charakterizace spekter jako NE množin. 1
|
|
| |
|
|
Testování projektivity modulů
Matoušek, Cyril ; Šaroch, Jan (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
Tato práce se zabývá otázkou existence testovacích modulů pro projektivitu. Testovacím modulem rozumíme pravý R-modul T takový, že pro každý pravý R-modul M platí, že M je projektivní, pokud T ∈ M⊥ . Ukážeme, že testovací moduly existují nad zprava perfektními okruhy, ale pro okruhy zprava neperfektní je jejich existence nedokazatelná v ZFC. K tomu užijeme Shelahův uniformizační princip, který je nezávislý na axiomech ZFC. Dále ukážeme, že za předpokladu slabého diamantového principu, rovněž nezávislého na ZFC, existují testovací moduly v okruzích konečné pravé globální dimenze. 1
|
|
|
Prvočinitelé v diskrétně uspořádaných kvazieukleidovských oborech
Sgallová, Ester ; Šaroch, Jan (vedoucí práce) ; Glivická, Jana (oponent)
V této práci jsou představeny diskrétně uspořádané kvazieukleidovské obory. Cílem je prozkoumat v nich množinu prvočinitelů a prvočinitelových dvojic a to, zda tato množina může být kofinální. Součástí práce je konstrukce takového oboru, který nemá kofinální množinu prvočinitelů. Dalším výsledkem je kon- strukce oboru, který je oborem integrity hlavních ideálů, má kofinální množinu prvočinitelů, ale žádní dva netriviální prvočinitelé nemají rozdíl roven přiroze- nému číslu, speciálně v něm tedy není kofinální množina prvočinitelových dvojic. Dále je v práci uvedena konstrukce oboru integrity hlavních ideálů, který má kofinální množinu prvočinitelových a-dvojic pro libovolné sudé přirozené číslo a. 1
|
|
|
Max okruhy
Beneš, Daniel ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
V této práci se zabýváme max okruhy, což jsou okruhy, u kterých každý mo- dul má maximální podmodul. Nejprve dokazujeme charakterizaci komutativních okruhů jako okruhů s T-nilpotentním Jacobsonovým radikálem a von Neuman- novsky regulárním faktorem podle Jacobsonova radikálu. Dále se zaměřujeme na grupové okruhy, kde popíšeme všechny komutativní gruové max okruhy. To jsou právě ty grupové okruhy, které jsou složeny z komutativního max okruhu a torzní abelovské grupy obsahující jen konečně mnoho prvků řádu pn takového, že p není invertibilní jako prvek okruhu. Nakonec využijeme této charakterizace ke kon- strukci nekomutativních grupových okruhů, které jsou max, ale nejsou perfektní.
|
|
|
Multilineární zobrazení nad celými čísly
Havránek, František ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Cílem práce je popsat schéma [CLT15], které je založené na Diffie-Hellmanovu schématu a využívá multilineární zobrazení nad celými čísly. Toto schéma umož- ňuje dohodu společného šifrovacího klíče mezi několika účastníky. Schéma úrovně κ (využívající κ-lineární zobrazení) umožňuje dohodu mezi κ + 1 účastníky. Práce zavádí základní pojmy, popisuje potřebnou teorii, jejímž základem je Čínská věta o zbytcích, a dále přípravu a použití schématu. Také je dokázána korektnost sché- matu a diskutovány související požadavky na základní parametry.
|
|
|
Invariant theory for finite groups
Žurav, Martin ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Hlavným cieľom tejto práce je podať patričný úvod do teórie invariantov pre konečné grupy. Našu charakterizáciu začneme pri symetrických polynómoch a ich základných vlastnostiach. Študujeme najmä okruh symetrických polynómov a dokážeme, že je konečne generovaný elementárnymi symetrickými funkciami. Potom sa zaoberáme niektorými kritériami toho, kedy je polynóm symetrický. V druhej časti zovšeobecňujeme tieto idey pre ľubovoľnú konečnú podgrupu GL(n,k). Definujeme akciu konečnej lineárnej grupy na k[x_1,...,x_n] a uvažujeme polynómy, ktoré sú invariantné voči tejto akcii. Ukážeme, že tvoria okruh, ktorý je vždy konečne generovaný, čo plynie z Noetherovej vety o medzi. Na záver dôkladnejšie popíšeme okruh invariantov a vzťahy medzi jeho generátormi.
|
|
|
Fast multiplication in the field GF(2n)
Bajtoš, Marek ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Názov práce: Rýchle násobenie v telese GF(2n ) Autor: Marek Bajtoš Katedra: Katedra algebry Vedúci bakalárskej práce: doc. Mgr. et Mgr. Žemlička Jan, Ph.D., Katedra algebry Abstrakt: V tejto bakalárskej práci budeme skúmať, ako optimalizovať násobenie fixným prvkom konečného telesa, ktoré je využiteľné pri implementácií šifrova- cích algoritmov v ľahkej kryptografii. Efektívnosť násobenia budeme vyjadrovať pomocou počtu XOR operácií potrebných na implementáciu matice, ktorá re- prezentuje daný fixný prvok konečného telesa. Dokážeme, že matica reprezentuje násobenie nejakým prvkom konečného telesa práve vtedy, keď je jej mininálny polynóm ireducibilný. Ďalej dokážeme tvrdenia, ktoré popisujú, za akých podmi- enok sa dá matica implementovať s 1 alebo 2 XOR operáciami. V závere práce uvedieme konštrukciu cyklických MDS matíc, v ktorých sa uplatní znalosť voľby prvkov konečného telesa, ktoré sa dajú ľahko implementovať. Kľúčové slová: ľahká kryptografia, konečné teleso, XOR, MDS matica
|
host ::
RSS.