|
|
Efektivní algoritmy pro vysoce přesný výpočet elementárních funkcí
Chaloupka, Jan ; Kunovský, Jiří (oponent) ; Šátek, Václav (vedoucí práce)
Vysoce náročné výpočty jsou v dnešní době stále žádanější. Ať už se jedná o simulace na úrovni atomů, kde každá číslice je důležitá a nepřesnost ve výpočtu může způsobit znehodnocení výsledku nebo numerické aproximace při řešení parciálních diferenciálních rovnic, kde malá odchylka zapříčiní, že výsledné řešení je nepoužitelné. Výpočty jsou prováděni s datovými typy, jejichž přesnost se může pohybovat v řádu stovek až tisíců číslic, ne-li více. S tím roste časová náročnost kladená na řešení problému a proto je nutné hledat metody, které nám umožní rychleji dosáhnout správného výsledku. Jakýkoliv složitější fyzikální problém je často popsán soustavou rovnic, ve kterých se nezřídka vyskytují elementární funkce jako sinus, kosinus či exponenciály. Cílem práce je navrhnout a implementovat metody, které pro požadovanou přesnost co nejefektivněji vypočítájí hodnotu elementární funkce v zadaném bodě. Jádrem práce je použití metod založených na AGM (aritmeticko-geometrický průměr), jenž poskytuje časovou složitost v řádu $O(M(n)\log_2{n})$ vzhledem k operaci násobení. Lepší složitosti již nelze dosáhnut. Existuje řada knihoven, které již podporují víceslovní aritmetiku, jednou z nich je knihovna GMP, která bude prostředkem pro realizaci efektivních metod. Na závěr práce budou implementované algoritmy porovnané s existujícími řešeními.
|
|
|
Elementární funkce a definiční obor
Vitásek, Tomáš ; Pilous, Derek (vedoucí práce) ; Jančařík, Antonín (oponent)
Cílem mé bakalářské práce je ukázat studentům učitelství matematiky a uči- telům matematiky vztah mezi elementárními funkcemi a jejich definičním oborem a metody návrhu úloh na hledání definičného oboru. V kapitole "Zobrazení se snažím definovat a vysvětlit pojmy, které úzce souvisí s ele- mentárními funkcemi a definičními obory, které využívám v dalších částech. Stěžejními kapitolami jsou "Definiční obory elementárních funkcí a "Ná- vrhy úloh . V první z těchto kapitol podrobně vysvětluji algoritmus řešení úloh na hledání definičního oboru elementární funkce a diskutuji, jak vy- padají definiční obory různých elementárních funkcí. V druhé z nich potom k daným množinám navrhuji funkce takové, aby daná množina byla jejich definičním oborem. Snahou je navrhovat tyto funkce tak, aby úloha na nale- zení definičního oboru byla řešitelná maturanty z matematiky na gymnáziích. Klíčová slova: elementární funkce, definiční obor, skládání funkcí
|
|
|
Inverze elementárních funkcí
Vitásek, Tomáš ; Pilous, Derek (vedoucí práce) ; Kvasz, Ladislav (oponent)
Cílem bakalářské práce je ukázat studentům učitelství matematiky a učite- lům matematiky vztah mezi elementárními funkcemi a inverzními funkcemi k nim, ukázat postup při hledání inverzní funkce k elementární funkci a uká- zat možné postupy při návrhu úloh na hledání inverzní funkce. V kapitole "Zobrazení definuji a vysvětluji pojmy, které úzce souvisí s elementárními funkcemi a inverzními funkcemi, které jsou využívány v dalších částech. Dále diskutuji základní vlastnosti inverzních funkcí. V kapitole "Inverzní funkce k elementárním funkcím diskutuji invertibilitu elementárních funkcí a po- pisuji postup řešení úloh na hledání inverzní funkce k elementární funkci. V kapitole "Návrhy úloh poté s využitím předchozích poznatků ukazuji po- stup při návrhu úlohy žádané obtížnosti. Klíčová slova: elementární funkce, invertibilní funkce, inverzní funkce.
|
|
|
Monotonie funkcí vyjádřitelných pomocí elementárních funkcí
Peltan, Libor ; Bárta, Tomáš (vedoucí práce) ; Pyrih, Pavel (oponent)
U určitých typů funkcí daných vzorci (ekvivalentně: funkcí ze tříd uzavřených na aritmetické operace) jsme za uvedených předpokladů dokázali monotonii na nějakých okolích +∞. Jsou to: vzorce s exp, log, sin, arctg apod. s omezením na definiční obory těchto funkcí; mocninné řady s kokonečně mnoha koeficienty kladnými; různé třídy funkcí dané vzorci s požadavkem zachování takové mono- tonie při sčítání, nebo při násobení, nebo monotonie plynoucí z konečného počtu nulových bodů; a nakonec vzorce s druhou odmocninou. 1
|
|
|
Konstrukce úloh na limity funkcí
Prskavcová, Pavla ; Pilous, Derek (vedoucí práce) ; Kvasz, Ladislav (oponent)
Název práce: Konstrukce úloh na limity funkcí Autor: Pavla Prskavcová Katedra: Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí práce: Mgr. Derek Pilous, Ph.D. Práce se zabývá elementárními metodami řešení úloh z limitního počtu a ná- vrhem úloh těmito metodami řešitelných. V první části shrnuje potřebnou teorii (definice a věty). V druhé části pak standardní metody řešení úloh na limity. V třetí části ukazuje pomocí analýzy metod z druhé části, jak navrhovat úlohy řešitelné elementárními metodami (bez použití výsledků z diferenciálního počtu). Klíčová slova: limita, řešení úloh, návrh úloh, elementární funkce.
|
|
| |
|
| |
|
|
O nemožnosti elementární integrace
Zelina, Michael ; Pražák, Dalibor (vedoucí práce) ; Kazda, Alexandr (oponent)
Předložená práce je věnována studiu problému (ne)existence elementární primitivní funkce k zadané funkci. V prvé řadě zavedeme strukturu diferenciálního tělesa a na- jdeme vhodný způsob formalizování pojmu elementární funkce. S tímto aparátem se nám otevře možnost formulovat a dokázat klíčovou větu říkající, v jakém tvaru musí nutně být elementární primitivní funkce, jestliže taková existuje. Následně s její po- mocí nalezneme podmínky pro existenci elementárních integrálů ze dvou funkcí v jis- tém speciálním, ale přesto dosti obecném tvaru. Jejich konkrétní aplikací prokážeme neelementárnost celé řady více či méně známých integrálů. 3
|
|
|
Konstrukce úloh na limity funkcí
Prskavcová, Pavla ; Pilous, Derek (vedoucí práce) ; Kvasz, Ladislav (oponent)
Název práce: Konstrukce úloh na limity funkcí Autor: Pavla Prskavcová Katedra: Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí práce: Mgr. Derek Pilous, Ph.D. Práce se zabývá elementárními metodami řešení úloh z limitního počtu a ná- vrhem úloh těmito metodami řešitelných. V první části shrnuje potřebnou teorii (definice a věty). V druhé části pak standardní metody řešení úloh na limity. V třetí části ukazuje pomocí analýzy metod z druhé části, jak navrhovat úlohy řešitelné elementárními metodami (bez použití výsledků z diferenciálního počtu). Klíčová slova: limita, řešení úloh, návrh úloh, elementární funkce.
|
|
|
Inverze elementárních funkcí
Vitásek, Tomáš ; Pilous, Derek (vedoucí práce) ; Kvasz, Ladislav (oponent)
Cílem bakalářské práce je ukázat studentům učitelství matematiky a učite- lům matematiky vztah mezi elementárními funkcemi a inverzními funkcemi k nim, ukázat postup při hledání inverzní funkce k elementární funkci a uká- zat možné postupy při návrhu úloh na hledání inverzní funkce. V kapitole "Zobrazení definuji a vysvětluji pojmy, které úzce souvisí s elementárními funkcemi a inverzními funkcemi, které jsou využívány v dalších částech. Dále diskutuji základní vlastnosti inverzních funkcí. V kapitole "Inverzní funkce k elementárním funkcím diskutuji invertibilitu elementárních funkcí a po- pisuji postup řešení úloh na hledání inverzní funkce k elementární funkci. V kapitole "Návrhy úloh poté s využitím předchozích poznatků ukazuji po- stup při návrhu úlohy žádané obtížnosti. Klíčová slova: elementární funkce, invertibilní funkce, inverzní funkce.
|
host ::
RSS.