|
| |
|
|
Kvantitativní slabá kompaktnost
Rolínek, Michal ; Spurný, Jiří (vedoucí práce) ; Kalenda, Ondřej (oponent)
V této práci se zabýváme kvantitativní slabou kompaktností v prostorech C(K) s topologií τp a posléze v prostorech Banachových. V úvodní kapitole zavedeme několik veličin, které různým způsobem vyjadřují míru τp-nekompaktnosti dané stejnoměrně ome- zené množiny H ⊂ RK . Poznatky pak aplikujeme v Banachových prostorech, v nichž se v kapitole 2 podaří dokázat mimo jiné kvantitativní verzi Eberlein-Šmuljanovy věty. Ve třetí kapitole zkoumáme, jak se mění míry nekompaktnosti při přechodu ke konvexním obalům. Dokážeme v ní například kvantitativní verzi Krejn-Šmuljanovy věty. V prvních třech kapitolách se ukáže, že míry nekompaktnosti přirozeně souvisí se vzdáleností dané f ∈ RK od spojitých funkcí na K. Myšlenku sledování vzdáleností od prostorů funkcí dále rozvíjíme v kapitolách 4 a 5, v nichž měříme vzdálenost od funkcí první Baireovy třídy nejprve v RK a posléze též v Banachových prostorech. 1
|
|
|
Separable reduction theorems, systems of projections and retractions
Cúth, Marek ; Kalenda, Ondřej (vedoucí práce) ; Kubiš, Wieslaw (oponent) ; Spurný, Jiří (oponent)
Tato práce sestává ze čtyř odborných článků. V prvním článku zkoumáme, zda jsou některé vlastnosti množin (funkcí) separabilně určené. K tomu používáme tzv. "metodu elementárních submodelů". Ve druhém článku zobecňujeme některé výsledky týkající se Valdiviových kompaktů (ekvivalentně prostorů s komutativním retrakčním skeletonem) do kontextu prostorů s retrakčním skeletonem (ne nutně komutativním). Ve třetím článku se dále věnujeme prostorům s projekčním (resp. retrakčním) skeletonem. Za určitých podmínek dokazujeme existenci "simultánních projekčních skeletonů" a tento výsledek dále používáme k dalšímu poznávání struktury prostorů s projekčním (resp. retrakčním) skeletonem. Ve čtvrtém článku podrobněji analyzujeme metodu elementárních submod- elů a porovnáváme ji s "metodou bohatých familií". 1
|
|
| |
|
| |
|
|
Isomorphic and isometric classification of spaces of continuous and Baire affine functions
Ludvík, Pavel ; Spurný, Jiří (vedoucí práce) ; Kalenda, Ondřej (oponent) ; Fabian, Marián (oponent)
Tato práce sestává z pěti odborných článků. V prvním dokazu- jeme, že za určitých podmínek plyne z existence isomorfismu mezi dvěma prostory spojitých afinních funkcí na kompaktních množinách existence homeomorfismu mezi množinami jejích extremálních bodů. Předmětem druhého je zkoumání přenosu deskriptivních vlastností prvků biduálů Banachových prostorů, které jsou chápány jako funkce na jednotkové duální kouli. Zabýváme se také vz- tahem mezi bairovskými a intrinsic bairovskými třídami L1-preduálů. Ve třetím článku ztotožníme intrinsic bairovské třídy X s prostorem lichých, či homogenních bairovských funkcí na ext BX∗ , kde X je separabilní reálný, či komplexní, L1- preduál, jejíž množina extremálních bodů duální jednotkové koule je typu Fσ. Poskytneme též příklad separabilní C∗ algebry takové, že se druhá a druhá intrin- sic bairovská třída jejího biduálu liší. Předmětem čtvrtého článku je zobecnění některých tvrzení článku předchozího pro reálné neseparabilní L1-preduály. V pátém počítáme vzdálenost obecného zobrazení od třídy zobrazení první re- solvable třídy pomocí kvantity frag a zkoumáme vlastnosti třídy zobrazení se spočetným oscilačním rankem.
|
|
| |
|
|
Předpovídání budoucnosti a axiom výběru
Jarosil, Lukáš ; Pyrih, Pavel (vedoucí práce) ; Kalenda, Ondřej (oponent)
Máme-li funkci f : R → R, o jejímž chování nic nepředpokládáme, zdá se nemožné předvídat její budoucí hodnoty z předcházejícího vývoje. Z axiomu výběru ovšem vyplývá existence strategie, která na základě hodnot funkce f na nějakém intervalu (s, t) správně předpoví její hodnoty na intervalu [t, t + ) v každém bodě t reálné osy vyjma spočetné množiny. Tento výsledek Alana Taylora a Christophera Hardina práce prezentuje i se zobecněním na zobrazení z libovolného topologického prostoru v kontextu takzvaných her s klobouky, matematických her, při nichž hráči hádají barvu obvykle svého klobouku na základě barev klobouků ostatních hráčů. 1
|
|
|
Basic sequences in Banach spaces
Zindulka, Mikuláš ; Kalenda, Ondřej (vedoucí práce) ; Johanis, Michal (oponent)
Definujeme uspořádání bází v Banachových prostorech jako přirozené zobecnění pojmu ekvivalence. Jeho teorii rozvíjíme s důrazem na chování vzhledem k takzvaným "shrinking" a "boundedly-complete" bázím. Dokážeme, že omezený operátor, který zobrazuje shrin- king bázi na boundedly-complete bázi je slabě kompaktní. V kontextu uspořádání pak interpretujeme známý výsledek, že slabě kompaktní operátor se faktorizuje skrze refle- xivní prostor. Následně představíme definici jisté třídy Banachových prostorů, jejichž norma je zkon- struována pomocí dvoudimenzionální normy N. Dokážeme, že každý takový prostor XN je izomorfní Orliczovu prostoru posloupností. Pro nalezení této korespondence je klíčové popsat jednotkovou kružnici v normě N pomocí konvexní funkce ϕ. Kanonické jednotkové vektory v prostoru XN tvoří bázi podprostoru YN . Charakterizujeme ekvivalenci těchto bází a situaci, kdy je taková báze boundedly-complete. Příslušná kritéria jsou zformulo- vána pomocí normy N a funkce ϕ. 1
|
|
|
Exceptional Sets in Mathematical Analysis
Rmoutil, Martin ; Kalenda, Ondřej (vedoucí práce)
Název práce: Výjimečné množiny v matematické analýze Autor: Martin Rmoutil Katedra: Katedra Matematické Analýzy Vedoucí disertační práce: Doc. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc., Katedra matematické ana- lýzy Abstrakt: Tato práce sestává ze čtyř odborných článků. V prvním článku studujeme pojem σ-zdola pórovitých množin; hlavním výsled- kem je konstrukce uzavřených množin A, B ⊂ R, které nejsou σ-zdola pórovité a jejichž součin v R2 je zdola pórovitý. Ve druhém a třetím článku používáme množinově-teoretickou metodu založenou na Löwenheim-Skolemově větě (tzv. metodu elementárních submodelů) k důkazu separabilní determinovanosti jistých σ-ideálů množin v Bana- chových prostorech. Činíme tak nejprve pro pojmy σ-pórovitosti a σ- zdola pórovitosti (v článku druhém) a zjemněním použitých metod pak ve třetím článku dostaneme separabilní determinovanost dalších vlastností. V obou případech dostáváme zajímavé důsledky v podobě rozšíření vět známých pro separabilní prostory do kontextu nesepara- bilního; například: Libovolná spojitá konvexní funkce na Asplundově prostoru je fréchetovsky diferencovatelná ve všech bodech mimo ku- želově malou (cone small) množinu. Čtvrtý článek zavádí následující pojem. Řekneme, že uzavřená množina A ⊂ R je c-odstranitelná, jest- liže platí: Reálná funkce f je konvexní na Rd , kdykoliv...
|
host ::
RSS.