|
|
Ilustrace zákona velkých čísel pomocí simulací
Chabičovský, Martin ; Kříž, Oldřich (oponent) ; Michálek, Jaroslav (vedoucí práce)
Stochastická konvergence, zákon velkých čísel a centrální limitní věta představují důležitou část teorie pravděpodobnosti, která se často užívá v matematické statistice. Cílem této práce je popsat tuto teorii a demonstrovat ji na příkladech a grafických simulacích. Kromě simulací stochastické konvergence, zákona velkých čísel a centrální limitní věty pro některá diskrétní a spojitá rozdělení pravděpodobnosti práce obsahuje i několik zajímavých simulací a to simulaci Galtonovy desky, Buffonovy úlohy a Bertrandova paradoxu. K vytvoření grafických simulací byl použit programovací jazyk matlab.
|
|
|
Small sample asymptotics
Tomasy, Tomáš ; Sabolová, Radka (vedoucí práce) ; Omelka, Marek (oponent)
V tejto práci budeme študovať správanie sa odhadov pre malý počet pozorovaní. Popíšeme si metódu sedlového bodu, ktorá je vhodná na riešenie tohto problému. Presnejšie sa budeme zaoberať aproximáciou hustoty daného odhadu, ktorú je súčasťou druhej a tretej kapitoly. V prvej kapitole uvedieme centrálnu limitnú vetu, M-odhady a ich asymptotické správanie medzi základnými pojmami. V praktickej časti práce aplikujeme túto metódu na vybrané odhady pre niektoré rozdelenia a porovnáme ju s aplikovaním centrálnej limitnej vety. Výsledky predvedieme v grafoch a zhrnieme si ich v závere.
|
|
|
Central and Non-Central Limit Theorems
Kiška, Boris ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Beneš, Viktor (oponent)
V této práci zkoumáme centrální limitní věty (CLT) a jejich různé varianty. Zpočátku je uvedena CLT pro nezávislé a stejně rozdělené náhodné veličiny. Dále studujeme případ nezávislých a nestejně rozdělených náhodných veličin, kde porovnáme různé verze a různé podmínky, za kterých CLT platí. Tyto klasické výsledky jsou prezentovány spolu s několika protipříklady, které porušují předpoklady CLT různými způsoby. V této práci je také uvažován případ závislých náhodných veličin. Zejména CLT pro a-mixující náhodné posloupnosti je dána společně s Rosenblattovým protipříkladem, který zahrnuje limitní ne- Gaussovské rozdělení, které se nyní nazývá Rosenblattovo rozdělení.
|
|
|
Tři důkazy centrální limitní věty
Marcinčín, Martin ; Štěpán, Josef (vedoucí práce) ; Beneš, Viktor (oponent)
Práce ukazuje tři různé důkazy centrální limitní věty s použitím elementárních metod. Centrální limitní věta ve Feller - Lindebergově tvaru je dokázána pomocí konvergence charakteristických funkcí a Fejérovy věty díky stejnoměrné aproximaci omezené funkce trigonometrickým polynomem na omezeném intervalu. Dále je uveden důkaz využívající charakterizace konvergence v distribuci jako konvergence středních hodnot funkcí s omezenými derivacemi všech řádů. Ve tvaru pro součty nezávislých náhodných veličin se všemi momenty konečnými je věta dokázána pomocí konvergence všech momentů k momentům normálního rozdělení, které jej jednoznačně definují.
|
|
|
Edgeworth expansion
Dzurilla, Matúš ; Omelka, Marek (vedoucí práce) ; Nagy, Stanislav (oponent)
Táto práca sa zaoberá Edgeworthovým rozvojom pre aproximáciu rozdelenia odhadu parametra. Úloha práce je uviesť pojem Edgeworthov rozvoj, zaviesť jeho predpoklady a s nimi súvisiace termíny. Následne ukázať postup pre odvodenie prvého člena Edgeworthovho rozvoja. Nakoniec túto aproximáciu demonštrovať na príkladoch, porovnať ho s inými aproximáciami (hlavne centrálnou limitnou vetou) a ukázať silné a slabé stránky Edgeworthovho rozvoja
|
|
|
Chaotic random variables in applied probability
Večeřa, Jakub ; Beneš, Viktor (vedoucí práce) ; Reitzner, Matthias (oponent) ; Pawlas, Zbyněk (oponent)
Tato práce se zabývá modelováním částicových procesů. V první části zk- oumáme Gibbsův proces faset na omezeném okně s diskrétním rozdělením orien- tací a odvodíme centrální limitní větu pro U-statistiky procesů faset s rostoucí intenzitou. Spočítáme všechny momenty pro interakční U-statistiky a použijeme momentovou metodu pro odvození centrální limitní věty. Dále představíme al- ternativní verzi důkazu, která využívá centrální limitní větu pro U-statistiky Poissonova procesu faset. V druhé části práce modelujeme segmenty v R2 s rozdělením definovaným po- mocí hustoty vzhledem k Poissonovu procesu. Parametrické modely obsahují ref- erenční rozdělení orientací a délek segmentů. Prezentujeme statistickou metodu, která nejprve odhadne skalární parametry pomocí existujících metod a poté odhadne referenční hustotu neparametricky. Dále přestavíme Takacs-Fikselovu metodu odhadu a předvedeme použití odhadů v simulační studii. Jako aplikaci zpracujeme data z obrazů aktinových vláken v kmenových buňkách. V třetí části studujeme stacionární Gibbsův částicový proces s deterministicky omezenou velikostí částic na Euklidovském prostoru definovaném za pomoci po- tenciálu s konečným rozsahem a...
|
|
|
Oprava na spojitost
Štěpán, Marek ; Omelka, Marek (vedoucí práce) ; Maciak, Matúš (oponent)
Pro aproximaci rozdělení náhodné veličiny, která je součtem n nezávislých, stejně rozdělených diskrétních náhodných veličin můžeme využít centrální limitní větu. Ukazuje se však, že pro konečná n umíme tuto aproximaci zpřesnit použitím opravy na spojitost. Tento pojem je v práci vysvětlen a také je v ní ilustrováno, jak může být oprava na spojitost odvozena. V práci je také numericky porov- nána chyba aproximace binomického rozdělení rozdělením normálním s opravou na spojitost a aproximace bez opravy. Dále jsou zde popsány intervalové odhady a χ2 test nezávislosti v kontingenčních tabulkách, ve kterých se používá oprava na spojitost. Na simulacích pro různé parametry vyzkoušíme vlastnosti těchto intervalů (skutečnou spolehlivost a délku) a testů (skutečnou hladinu a sílu).
|
|
|
Central and Non-Central Limit Theorems
Kiška, Boris ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Beneš, Viktor (oponent)
V této práci zkoumáme centrální limitní věty (CLT) a jejich různé varianty. Zpočátku je uvedena CLT pro nezávislé a stejně rozdělené náhodné veličiny. Dále studujeme případ nezávislých a nestejně rozdělených náhodných veličin, kde porovnáme různé verze a různé podmínky, za kterých CLT platí. Tyto klasické výsledky jsou prezentovány spolu s několika protipříklady, které porušují předpoklady CLT různými způsoby. V této práci je také uvažován případ závislých náhodných veličin. Zejména CLT pro a-mixující náhodné posloupnosti je dána společně s Rosenblattovým protipříkladem, který zahrnuje limitní ne- Gaussovské rozdělení, které se nyní nazývá Rosenblattovo rozdělení.
|
|
|
Edgeworth expansion
Dzurilla, Matúš ; Omelka, Marek (vedoucí práce) ; Nagy, Stanislav (oponent)
Táto práca sa zaoberá Edgeworthsovím rozvojom pre aproximáciu rozdelenia odhadu parametra. Úloha práce je uviesť pojem Edgeworthsov rozvoj, zaviesť jeho predpokaldy a s nimy súvisiace termíny. Následne ukázať postup pre odvodenie prvého člena Edgeworthsovho rovoju. Nakoniec túto aproximáciu demonštrovať na príkaldoch, porovnať ho s inými aproximáciami (hlavne celntrálnou limitnou vetou), a ukázať silné a slabé stránky Edgeworthsovho rozvoja.
|
|
|
Selected problems of random walks
Pavčová, Eva ; Hlubinka, Daniel (vedoucí práce) ; Pawlas, Zbyněk (oponent)
Název práce: Vybrané problémy v náhodných procházkách Autor: Eva Pavčová Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Daniel Hlubinka, Ph.D., Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstrakt: V této práci se zabýváme prostými náhodnými procházkami a řešíme teoretické vybrané problémy. Definujeme cestu, kterou můžeme interpretovat jako realizaci náhodné procházky. Uvádíme příklady cest spolu s ilustracemi a základní vlastnosti jako hlasovací problém a princip odrazu. Definujeme náhodnou procházku a uvádíme pravděpodobnosti, s jakými může daná procházka nastat. Pozornost věnujeme hlavnímu lemmatu, ze kterého vycházejí další zajímavá tvrzení jako například zákon arcsinu. Cílem práce je vyřešení vybraných problémů s využitím teoretických poznatků. Problémy se týkají pravděpodobností a počtu cest s určitými restrikcemi. Například problém kladných cest geometricky dokazuje rovnost počtu cest dvou typů. Speciálně se zabýváme důkazem reformulace hlavního lemmatu. Klíčová slova: cesta, princip odrazu, hlavné lemma, zákon arcsinu
|
host ::
RSS.