|
|
Základy perzistentní homologie
Novák, Jakub ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Hrbek, Michal (oponent)
V této práci seznámíme čtenáře s teorií perzistentní homologie a na- značíme její aplikace. V první kapitole ukážeme základy simpliciální a singulární homologie a dokážeme základní vztahy, zejména nezávislost simpliciálních ho- mologických grup na zvoleném △-komplexu a izomorfismus mezi homologickými grupami homotopických prostorů. V druhé kapitole vysvětlíme motivaci za perzis- tentní homologií, popíšeme její algebraickou strukturu a způsob, jak lze vizuálně reprezentovat. Popíšeme a dokážeme správnost algoritmu na její výpočet. Teorii poté ilustrujeme na příkladu. 1
|
|
|
Modules over string algebras
Löwit, Jakub ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
Cı́lem této práce je prozkoumat kategorie modulůnad takzvanými řetězcovými algebrami. Přitom se předevšı́m budeme soustředit na porozuměnı́ kotorznı́m párům v těchto kategoriı́ch, jejichž pochopenı́ se redukuje na určenı́ direktnı́ch rozkladů extenzı́ mezi moduly nad danou algebrou. V přı́padě těch řetězcových algeber, jejichž toulec je pouze orientovaný strom, se nám skutečně povede popsat jisté třı́dy dané těmito kotorznı́mi páry, a to pouze pomocı́čistě kombinatorických uzávěrových vlastnostı́. Pro obecné řetězcové algebry se odpovı́dajı́cı́ kombina- torika zdá být poměrně podobná, ačkoli mnohem techničtějšı́.
|
|
|
Counting the points on elliptic curves over finite fields
Eržiak, Igor ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Stanovský, David (oponent)
Cieľom tejto práce je vysvetliť a naimplementovať Schoofov algoritmus na počítanie bodov na eliptických krivkách nad konečnými telesami. Začneme definíciou eliptickej krivky ako množiny bodov spĺňajúcich istú rovnicu a pokračujeme definovaním operácie na tejto množine. Teoretické poznatky potrebné k algoritmu sú predstavené v druhej kapitole. Napokon je prestavený Schoofov algoritmus v tretej kapitole, doplnený o implementáciu v SageMath open-source software.
|
|
|
Eliptické křivky nad konečnými tělesy
Beran, Adam ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
V této práci se zabýváme teorií eliptických křivek, zvláštní pozornost věnujeme eliptickým křivkám nad konečnými tělesy. Představíme základní teorii, zohled- níme přitom několik technických aspektů (singularita křivky, vliv charakteristiky tělesa na rovnici křivky). Algebraicky odvodíme a zformulujeme grupový zákon neboli definici operace sčítání na množině bodů na eliptické křivce. Dále zpracu- jeme důkaz známého faktu, že množina bodů na eliptické křivce spolu s operací sčítání tvoří komutativní grupu. K důkazu přistoupíme elementárně, některé vý- počty z důvodu jejich náročnosti provedeme v počítačovém programu Mathema- tica. Nakonec studujeme endomorfismy eliptických křivek nad konečnými tělesy (homomorfismy na množině bodů eliptické křivky, jež jsou zadané racionálními funkcemi). Pomocí získaných výsledků dokážeme Hasseho větu, která poskytuje odhad na řád grupy bodů na eliptické křivce nad konečným tělesem. 1
|
|
|
Quotients in algebraic geometry
Kopřiva, Jakub ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Tato diplomová práce se zabývá existencí pushoutů ve dvou různých kontextech algebraické geometrie. Nejprve studujeme pushouty v kategorii afinních algebraických množin nad nekonečným tělesem. Ukazujeme, že lze tento problém nazírat jako instanci mnohem obecnějšího problému, kdy je pullback konečně generovaných algeber nad komutativním noetherovským okruhem konečně generovaný. Dáváme částečné řešení toho problému a stu- dujeme některé příklady. Dále se zabýváme existencí pushoutů v katego- rii schémat s důrazem na diagramy afinních schémat. Používáme metody Ferranda [2003] a Schwedeho [2004] a zobecňujeme některé jejich výsledky. Na závěr uvádíme rovněž příklady a naznačujeme možný další přístup k prob- lému.
|
|
|
Jonesův polynom
Gajdová, Anna ; Stanovský, David (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
Tématem této práce je Jonesův polynom daného uzlu a jeho výpočet. Nej- prve definujeme Jonesův polynom dvěma způsoby: pomocí skein vztahů a po- mocí závorkového polynomu a dokážeme ekvivalenci těchto definic. Dále na zá- kladě vztahu Jonesova a závorkového polynomu odvodíme algoritmus na jeho výpočet. Dokážeme, že algoritmus má časovou složitost O 20,823n , kde n značí počet křížení linkového diagramu. Nakonec shrneme výsledky testování algo- ritmu a jeho variant na datech. Algoritmus otestujeme mimo jiné na malých tabulkových uzlech, větších náhodných uzlech a torusových uzlech. U nejrych- lejší varianty algoritmu odhadneme průměrnou časovou složitost výpočtu na náhodných uzlech O 20,487n+o(n) . 1
|
|
|
Moduly a lokalizace
Lysoněk, Tomáš ; Trlifaj, Jan (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
V práci je zaveden pojem lokalizace a zkoumán jeho vztah k vlastnostem modulů nad komutativními okruhy - lokálním vlastnostem a AD-vlastnostem, především projek- tivitě. Je v ní prezentován důkaz, že projektivita modulů je AD-vlastností, pocházející od Raynauda a Grusona, v opravené verzi od Perryho z roku 2010. Tento důkaz je rozpra- cován do detailní podoby a doplněn o příklady a význam zkoumaných pojmů v kontextu algebraické geometrie. 1
|
|
|
Invariant theory for finite groups
Žurav, Martin ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Hlavným cieľom tejto práce je podať patričný úvod do teórie invariantov pre konečné grupy. Našu charakterizáciu začneme pri symetrických polynómoch a ich základných vlastnostiach. Študujeme najmä okruh symetrických polynómov a dokážeme, že je konečne generovaný elementárnymi symetrickými funkciami. Potom sa zaoberáme niektorými kritériami toho, kedy je polynóm symetrický. V druhej časti zovšeobecňujeme tieto idey pre ľubovoľnú konečnú podgrupu GL(n,k). Definujeme akciu konečnej lineárnej grupy na k[x_1,...,x_n] a uvažujeme polynómy, ktoré sú invariantné voči tejto akcii. Ukážeme, že tvoria okruh, ktorý je vždy konečne generovaný, čo plynie z Noetherovej vety o medzi. Na záver dôkladnejšie popíšeme okruh invariantov a vzťahy medzi jeho generátormi.
|
|
|
Planimetrické problémy řešené algebraickou geometrií
Trummová, Ivana ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Růžička, Pavel (oponent)
Práce je zaměřena na oblast algebraické geometrie, která se zabývá rovinnými křivkami a jejich křížícími body. Hlavní částí je důkaz Bézoutovy věty a přehled jejích důsledků, které mají zajímavé geometrické znázornění. Mezi důsledky je pro praxi nejdůležitější důkaz asociativity sčítání na eliptických křivkách - sčítání je hojně využívané v moderní kryptografii. 21
|
|
|
Řešení soustav polynomiálních rovnic
Kubej, Lukáš ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Holub, Štěpán (oponent)
Práce se zabývá teorií kolem soustav polynomiálních rovnic. Jejím cílem je především předvést a dokázat Tvrzení o eliminaci a Tvrzení o rozšíření, přičemž Tvrzení o eliminaci pomáhá řešit zadané polynomiální soustavy a Tvrzení o rozšíření nám umožňuje určit, která z částečných řešení půjde s jistotou doplnit na řešení kompletní. Pro formulaci a důkaz těchto tvrzení vyložíme teorii zabývající se mimo jiné monomickým uspořádáním, algoritmem dělení polynomů a především klíčového pojmu Groebnerovy báze. Nakonec jsou uvedeny řešené příklady ukazující aplikaci teorie popsané v této práci.
|
host ::
RSS.