|
| |
|
| |
|
|
Riemannův integrál pro zobrazení do Banachových prostorů
Mrhal, Filip ; Lukeš, Jaroslav (vedoucí práce) ; Zajíček, Luděk (oponent)
Název práce: Riemannův integrál pro zobrazení do Banachových prostorů Autor: Filip Mrhal Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: Prof. RNDr. Jaroslav Lukeš, DrSc., Katedra matema- tické analýzy Abstrakt: V této práci studujeme společné vlastnosti a rozdíly v chování Rie- mannova integrálu pro zobrazení do reálných čísel a do libovolného Banachova prostoru. Nejpodstatnější je pro nás v tomto směru Lebesgueova věta, rieman- novsky integrovatelná zobrazení do některých Banachových prostorů totiž necha- rakterizuje, tak jak je tomu v případě reálných funkcí. Toto je, pro případ Bana- chových prostorů známých ze základního kurzu funkcionální analýzy, dokázáno pomocí několika protipříkladů. Klíčová slova: Riemannův integrál, Banachův prostor, Lebesgueova věta 1
|
|
|
Semikonvexní funkce a jejich rozdíly
Kryštof, Václav ; Zajíček, Luděk (vedoucí práce) ; Johanis, Michal (oponent)
Hlavní výsledek této práce je, že dokážeme určité verze Ilmanenova lemmatu. To znamená, že pro danou semikonvexní (nebo lokálně semikonvexní) funkci f1 a pro semikonkávní (nebo lokálně semikonkávní) funkci f2 takovou, že f1 ≤ f2, najdeme funkci f tak, že f1 ≤ f ≤ f2 a f je semikonvexní i semikonkávní (nebo lokálně stejnoměrně diferencovatelná). Také dokážeme charakterizaci (pomocí nové variace) těch funkcí, které jsou rozdílem dvou ω-neklesajících funkcí. 1
|
|
|
Riemannův integrál pro zobrazení do Banachových prostorů
Mrhal, Filip ; Lukeš, Jaroslav (vedoucí práce) ; Zajíček, Luděk (oponent)
Název práce: Riemannův integrál pro zobrazení do Banachových prostorů Autor: Filip Mrhal Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: Prof. RNDr. Jaroslav Lukeš, DrSc., Katedra matema- tické analýzy Abstrakt: V této práci studujeme společné vlastnosti a rozdíly v chování Rie- mannova integrálu pro zobrazení do reálných čísel a do libovolného Banachova prostoru. Nejpodstatnější je pro nás v tomto směru Lebesgueova věta, rieman- novsky integrovatelná zobrazení do některých Banachových prostorů totiž necha- rakterizuje, tak jak je tomu v případě reálných funkcí. Toto je, pro případ Bana- chových prostorů známých ze základního kurzu funkcionální analýzy, dokázáno pomocí několika protipříkladů. Klíčová slova: Riemannův integrál, Banachův prostor, Lebesgueova věta 1
|
|
|
Semikonvexní funkce a jejich rozdíly
Kryštof, Václav ; Zajíček, Luděk (vedoucí práce) ; Johanis, Michal (oponent)
Hlavní výsledek této práce je, že dokážeme určité verze Ilmanenova lemmatu. To znamená, že pro danou semikonvexní (nebo lokálně semikonvexní) funkci f1 a pro semikonkávní (nebo lokálně semikonkávní) funkci f2 takovou, že f1 ≤ f2, najdeme funkci f tak, že f1 ≤ f ≤ f2 a f je semikonvexní i semikonkávní (nebo lokálně stejnoměrně diferencovatelná). Také dokážeme charakterizaci (pomocí nové variace) těch funkcí, které jsou rozdílem dvou ω-neklesajících funkcí. 1
|
|
|
Modifikace Whitneyovy $C^1$ rozšiřovací věty
Dovhoruk, Olesya ; Zajíček, Luděk (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent)
Název práce: Modifikace Whitneyovy C1 rozšiřovací věty Autor: Olesya Dovhoruk Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Luděk Zajíček, DrSc., Katedra matema- tické analýzy Abstrakt: Tato práce se zabývá modifikací Whitneyovy C1 rozšiřovací věty pro speciální uzavřené množiny M v Rn . Práce zkoumá, zda lze vynechat některé předpoklady ve Whitneyově větě. Uka- zuje se, že pokud ve Whitneyově větě nepředpokládáme spojitost funkce f : M → R, kterou rozšiřujeme, na obecné uzavřené množině M ⊂ Rn , pak f je spojitá ze zbylých předpokladů, kdežto pokud vynecháme spojitost funkce d, která figuruje ve Whitneyově větě a hraje jistou roli zobecněného diferenciálu funkce f, pak d je spojitá ze zbylých předpokladů jen pro n = 1. Dále se dokazují věty založené na zesílení (neboli modifikaci) předpokladů Whit- neyovy věty. Například se dokazuje věta o existenci C1 rozšíření funkce f : (a, b)×[0, c), f ∈ C1 ((a, b)×(0, c)), pro kterou platí, že funkce gradf má konečné limity v bodech (a, b) × {0}. Dalším podobným výsledkem práce je existence C1 rozšíření pro funkci f : M ⊂ Rn → R, kde M = M◦ = ∅ je kompaktní a konvexní a funkce gradf má v hraničních bodech konečnou limitu. Práce také charakterizuje funkce f na omezené otevřené množině G, které lze C1 rozšířit na celý prostor: nutnou a...
|
|
|
Semikonvexní funkce a jejich rozdíly
Kryštof, Václav ; Zajíček, Luděk (vedoucí práce) ; Zelený, Miroslav (oponent)
Semikonvexní funkce jsou zobecněním konvexních funkcí na normovaném lineárním prostoru. V této práci se zabýváme semikonvexními funkcemi jedné reálné proměnné, tedy se speciálním případem. V první části zkoumáme především vlastnosti semikonvexních funkcí z hlediska jednostranných deri- vací a podáváme charakterizaci lokálně semikonvexních funkcí na otevřeném intervalu pomocí derivace zprava. Druhá část práce se týká funkcí, které jsou rozdílem dvou semikonvexních funkcí. I v tomto případě podáváme (pomocí derivace zprava) charakterizaci funkcí, které jsou rozdílem dvou lokálně semi- konvexních funkcí na otevřeném intervalu. To souvisí se zobecněnou variací, kterou zavádíme a která umožňuje pro daný modulus ω charakterizovat ty funkce, které jsou rozdílem dvou semikonvexních funkcí na otevřeném inter- valu s modulem Mω, kde M ∈ (0, ∞). 1
|
|
|
Relations of a function and its graph
Drahovský, Matej ; Zajíček, Luděk (vedoucí práce) ; Honzík, Petr (oponent)
V předložené práci studujeme vztah funkce, respektive zobrazení mezi metrickými prostory, a jejího grafu, tedy podmnožiny kartézského součinu dvou metrických prostorů. Hlavní oblastí zájmu pro nás budou reálné funkce jedné reálné proměnné, no jestli to bude možné, budou tvrzení formulována i pro zo- brazení mezi jinými prostory. V první kapitole studujeme funkce s uzavřeným grafem. Tito funkce nejdříve charakterizujeme pomocí jejich hromadných hod- not a poté, za určitých předpokladů, charakterizujeme množinu bodů nespoji- tosti funkce s uzavřeným grafem. Ve druhé kapitole zavedeme pojem Hausdorf- fovy vzdálenosti podmnožin metrického prostoru a ukážeme vztah mezi různými druhy konvergence funkcí a konvergencí Hausdorffovy vzdálenosti jejich grafů k nule. V poslední kapitole formulujeme Gibbsův jev z teorie Fourierových řad jako konvergenci Hausdorffovy vzdálenosti grafů částečných součtů Fourierovej řady od vhodně upraveného grafu aproximované funkce k nule. 1
|
|
|
Sigma-porous sets and the differentiation theory
Koc, Martin ; Zajíček, Luděk (vedoucí práce) ; Zelený, Miroslav (oponent) ; Kolář, Jan (oponent)
disertační práce Název práce:: Sigma-pórovité množiny a teorie derivací Autor: Martin Koc Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí disertační práce: Prof. RNDr. Luděk Zajíček, DrSc., Katedra matematické analýzy Abstrakt: Práce sestává z pěti odborných článků. V prvním z nich je ukázáno, že existuje uzavřená shora pórovitá (v silném smyslu) podmnožina neprázdného topologicky úplného metrického prostoru bez izolovaných bodů, která není σ-zdola pórovitá (ve slabém smyslu). Ve druhém článku je zaveden nový pojem pórovitosti vzhle- dem k míře, který zobecňuje horní pórovitost míry. Je zkoumáno několik přiroze- ných definic tohoto pojmu. Hlavním výsledkem této kapitoly je dekompoziční věta pro množiny σ-pórovité vzhledem k míře. Třetí článek se zabývá množinami bodů, v nichž jsou libovolné reálné funkce lipschitzovské z jedné strany a zároveň nejsou lipschitzovské z druhé strany. Je ukázána úplná charakterizace systému generovaného množinami tohoto typu. Ve čtvrtém článku je dokázáno několik výsledků o vztazích mezi metrickými derivovanými čísly funkcí s hodnotami v metrických prostorech. Poslední kapitola se zabývá existencí diferencovatelných rozšíření pro funkce definované...
|
host ::
RSS.