|
|
Stabilita nenormálních úloh
Váša, Ondřej ; Kaplický, Petr (vedoucí práce) ; Pražák, Dalibor (oponent)
Cílem práce bylo vyšetřit globální chování řešení konkrétního systému ne- lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. V práci jsme se nejprve zabývali základními vlastnostmi řešení, tj. existencí, jednoznačností a definičním oborem maximálních řešení. Dále jsme nalezli stacionární řešení a užitím známých vět rozhodli o jejich stabilitě a typu. Poté jsme dokázali existenci pozitivně invari- antní množiny obsahující počátek, která nám umožní vyšetřovat globální chování řešení daného systému. Pomocí věty o stabilní a nestabilní varietě a opakovaným použitím vhodných vět z Poincaré-Bendixsonovy teorie jsme následně určili cel- kový tvar jednotlivých variet. Získané výsledky nám umožnily popsat globální chování libovolného řešení, přičemž jsme ukázali, že stabilní variety nestabilních ekvilibrií rozdělí rovinu na tři množiny tak, že každá množina bude globálním atraktorem konkrétního stabilního ekvilibria. 1
|
|
|
O rovnici div u=f
Mielec, Jaromír ; Malý, Jan (vedoucí práce) ; Kaplický, Petr (oponent)
V této práci dáváme odpověď na otázku, zda rovnice div u = f má řešení u s gradi- entem v Lp (Rn ) pro každou pravou stranu f ∈ Lp (Rn ). Dokážeme, že je to pravda pro 1 < p < ∞ a zkonstruujeme protipříklady pro p = 1 a p = ∞. In this thesis, we answer the question whether the equation div u = f has a solution u with gradient in Lp (Rn ) for each f ∈ Lp (Rn ). We prove that this is true for 1 < p < ∞ and construct counterexamples for p = 1 and p = ∞. 1
|
|
|
Optimalizace vytápění v čase
Smetana, Ondřej ; Pražák, Dalibor (vedoucí práce) ; Kaplický, Petr (oponent)
Jak co nejekonomičtěji regulovat teplotu v domě, který je vytopený na danou hodnotu a bude na určitý čas opuštěn? Použijeme obyčejné diferenciální rov- nice a teorii řízení k matematické formulaci problému. Budeme studovat dva modely změny teploty. Pomocí Pontrjaginova principu maxima nalezneme optimální regulace. Modely porovnáme a provedeme numerické simulace.
|
|
|
Taylorův Couettův tok s dynamickou okrajovou podmínkou
Mosný, Stanislav ; Kaplický, Petr (vedoucí práce) ; Bárta, Tomáš (oponent)
Cílem práce bylo najít ve speciálním tvaru řešení problému proudění nestlačitelné kapaliny mezi dvěma koncentrickými válci, které vzniká otáčením vnějšího válce. Jako okrajové podmínky jsme uvažovali homogenní Dirichletovu okrajovou podmínku na vnitř- ním válci a dynamickou okrajovou na vnějším válci. V práci nejprve převedeme původní problém do polárních souřadnic a následně hledáme řešení ve tvaru Fourierovy řady. Při tomto postupu odvodíme diferenciální rovnici a okrajové podmínky, které popisují bázi, vzhledem ke které vyjádříme řešení. Existence a jednoznačnost tohoto systému vede ke zobecněné Sturmově Liouvilleově teorii, kterou dokážeme v závěru práce. 1
|
|
|
Homogenization of flows of non-Newtonian fluids and strongly nonlinear elliptic systems
Kalousek, Martin ; Kaplický, Petr (vedoucí práce)
Teorie homogenizace umožňuje nalézt pro zadaný systém parciálních dife- renciálních rovnic popisující model s komplikovanou vnitřní strukturou systém popisující model bez této struktury, jehož řešení je v jistém smyslu aproximací řešení původního systému. V této práci jsou metody teorie homogenizace ap- likovány na tři systémy parciálních diferenciálních rovnic, z nichž první popisuje proudění jisté třídy nenewtonowských tekutin porézním prostředím. Druhý se používá pro modelování proudění tekutin v elektrickém poli, jejichž viskozita se výrazně mění v závislosti na intenzitě elektrického pole. Ve třetím systému je uvažován eliptický operátor, jehož růst a koercivita jsou určeny obecnou ani- zotropní nehomogenní N-funkcí. 1
|
|
|
Lineární teorie diferenciálních rovnic se zpožděním
Marková, Hana ; Pražák, Dalibor (vedoucí práce) ; Kaplický, Petr (oponent)
Tato práce se zabývá studiem zpožděných diferenciálních funkcionálních rovnic. Z Banachovy věty o pevném bodě plyne existence jednoznačného řešení, ale už žádná infor- mace o tom, jak vypadá. V práci se zaměřujeme právě na toto vyjádření, kterého docílíme pomocí aplikace Laplaceovy transformace na obě strany rovnice. Tedy řešíme modifiko- vaný problém, na jehož řešení následně aplikujeme inverzní Laplaceovu transformaci k vyjádření řešení původního problému. Na konci práce ještě formulujeme a dokazujeme nejlepší exponenciální odhad řešení. 1
|
|
|
Řešení Poiseuilleova a rovinného Couettova proudění s dynamickými okrajovými podmínkami
Vejvoda, Martin ; Málek, Josef (vedoucí práce) ; Kaplický, Petr (oponent)
V předložené práci studujeme vliv dynamických okrajových podmínek na Couettovo a Poiseuilleovo proudění, která představují dva typy proudění mezi dvěma nekonečnými nepropustnými deskami. Nejdříve uvažujeme Navier-Stokesovy rovnice, které popisují proudění nestlačitelné newtonovské tekutiny, a dynamické okrajové podmínky pro prou- dění v libovolných omezených třírozměrných oblastech. Poté se díváme, jakým způsobem se naše úloha a energetické odhady redukují ve zvolené zjednodušené geometrické situ- aci. Druhá část práce je věnována vybraným řešeným příkladům, z nichž některé jsou doplněny o numerickou simulaci. 1
|
|
|
Analysis of evolutionary problems with bounded gradients
Hruška, David ; Málek, Josef (vedoucí práce) ; Kaplický, Petr (oponent)
V práci jsou studovány nelineární evoluční parciální diferenciální rovnice, které mohou být interpretovány jako taková zobecnění rovnice vedení tepla, je- jichž teplotní gradient je a priori omezený, zatímco tepelný tok je pouze míra. Řešíme úlohu s periodickými okrajovými podmínkami a pomocí metod teorie regularity dokážeme existenci a jednoznačnost slabého řešení s integrovatelným tepelným tokem pro všechny hodnoty materiálového parametru a. Pro hod- noty tohoto parametru z určitého intervalu dále ukážeme vyšší integrovatelnost tepelného toku. 1
|
|
|
Dynamika epidemií
Švamberová, Lucie ; Kaplický, Petr (vedoucí práce) ; Pražák, Dalibor (oponent)
Šíření infekčních nemocí v populaci je jeden z mnoha jevů, které lze popisovat pomocí diferenciálních rovnic. V této bakalářské práci se budeme zabývat epidemiologickými modely SEIR, respektive SIR. Nejprve formulujeme modely SEIR a SIR a následně vyšetřujeme vlastnosti jejich řešení - existenci, jednoznačnost, omezenost. Ukážeme, že řešení SEIR lze převést na řešení SIR. Poté se budeme věnovat dynamice modelu SIR - vyšetříme stabilitu a typ stacionárních bodů v závislosti na hodnotách parametrů.
|
|
|
Integrální rovnice a aplikace na populační modely
Kárníková, Kateřina ; Bárta, Tomáš (vedoucí práce) ; Kaplický, Petr (oponent)
Předmětem první části bakalářské práce je seznámit čtenáře se základní teorií integrálních a integrodiferenciálních rovnic, vztahem mezi nimi. Obsahuje také věty týkající se především jádra a resolventy, pojmů, které s tímto druhem rovnic úzce souvisí. Důležitým početním aparátem je zde Laplaceova transformace a konvoluce. Dále se zabývá jednoduchými populačními modely a modely vycházejícími z integrodiferenciálních rovnic a následně se snaží aplikovat získané poznatky při řešení konkrétního zadaného modelu.
|
host ::
RSS.