|
|
Abelovsky regulární okruhy
Vejnar, Benjamin ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Růžička, Pavel (oponent)
Na/ev praco: Abelovsky regularni okruhy Autor: Benjamin Vejnar Katedra (listav): Katedra algebry VcdoLici bakalafske prace: Mgr. Jan 2emlicka, Ph.D. E-mail vedouctho: Jan.Zcmlicka&mJJ. cuni.cz Abstrakt: V pfcdloxene praci studujeme aritmeticke a strukturni vlastnosti abelovsky regularnich okruhu, tedy okruhu, jcjichx ka/xly levy i pravy konecne generova.ny ideal jo generovan idempotentnim prvkem, klery Ic/i v centra danoho okruhu. Napfiklad ka/,dy Boohmv okruh je abelovsky regularni. Venujume ye podininkam, ktere uplne diarakterizuji tn'du abelovsky regu- larnieli okruhu, jako napfiklad silna regularita. Vsimame si souvislosti mexi Booleovou algebrou vsch centralnich idempo1,entu daneho okruhu a hlavnimi idealy. Dale popiHUJeme topologit na nmo/ine visecli prvoidealu a avcdoniujeine si, '/e splyva s Lo])ologii ultrafiltrii na Booleove algebre idciiipotontd. Klicova slova: okruhy, idempoteiitni prvky, silne regularni okruhy Title: Abelian regular rings Author: Benjamin Vejnar Department: Department of Algebra Supervisor: Mgr. Jan Zemlieka, Ph.D. Supervisor's e-mail address: Jan.Zc:ttilicka((})'niff.cu'iii.cz Abstract: In the present work we study arithmetic and structural properties of abelian regular' rings. This means rings whose every left and right finitely generated ideal is generated by an idempotent...
|
|
|
Souvislé kompaktifikace
Vaváčková, Martina ; Simon, Petr (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Název práce: Souvislé kompaktifikace Autor: Martina Vaváčková Katedra: Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Petr Simon, DrSc., Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Abstrakt: Tato práce se věnuje studiu souvislých kompaktifikací vybraných Ticho- novových prostorů. Předmětem zájmu jsou především maximální prvky v relaci částečného uspořádání, definované na množině všech souvislých kompaktifikací daného prostoru. Nejprve charakterizujeme maximální souvislé kompaktifikace prostorů s konečně mnoha komponentami a zmiňujeme některé, zejména zobec- něné uspořádané prostory, které nemají žádnou souvislou kompaktifikaci. Dále se zabýváme souvislými kompaktifikacemi prostoru racionálních čísel. Popisujeme konstrukci kompaktifikace tohoto prostoru analogickou ke konstrukci Čechovy- Stoneovy kompaktifikace a ukazujeme nutnou a postačující podmínku souvislosti a maximality takové kompaktifikace. Klíčová slova: souvislý prostor, kompaktní prostor, konektifikace, kompaktifikace
|
|
|
Homeomorphisms in topological structures
Vejnar, Benjamin ; Pyrih, Pavel (vedoucí práce) ; Charatonik, Włodzimierz (oponent) ; Illanes, Alejandro (oponent)
V této práci představujeme řešení několika problémů týkajících se jedno- dimenzionálních kontinuí. Podáváme induktivní popis grafů s daným číslem nesouvislosti, čímž zodpovíme otázku S. B. Nadlera. Dále předkládáme topo- logickou charakterizaci Sierpi'nského trojúhelníku. Při studiu tzv. shore množin v dendroidech a λ-dendroidech obdržíme několik pozitivních výsledků a předvede- me také několik protipříkladů. Tímto pokračujeme v nedávné práci několika autorů. Zabýváme se také pojmem 1 2 -homogenity a dokazujeme, že až na home- omorfismus existují pouze dvě 1 2 -homogenní zřetězitelná kontinua s právě dvěma koncovými body. Předvedeme také nový elegantní důkaz jednoho Waraszkiewic- zova klasického výsledku. 1
|
|
|
Problém tří jezer
Šulc, Dominik ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Cílem této práce je nalezení řešení problému tří jezer a podrobný d·kaz jeho správnosti. Problém tří jezer (Lakes of Wada) je úloha, která spočívá v sestrojení tří otevřených souvislých množin v rovině, které se neprotínají a mají společnou hranici. Ukážeme, že takové množiny existují a že kromě uvedených vlastností mohou být dokonce obloukově souvislé. 1
|
|
|
Univerzální metrické prostory
Raška, Martin ; Hušek, Miroslav (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Předkládaná práce se zabývá vlastnostmi izometrických vnoření metrických prostorů do Urysohnova univerzálního prostoru U (P.S. Urysohn, 1927) a jeho zobecnění (M. Katětov, 1988). Zkoumání mnohých metrických vlastností prostoru U přechází na otázku rozšiřitelnosti vnoření ϕ: M → U z podprostoru M jistého prostoru P na vnoření Φ: P → U. K této otázce zde v situaci P = M ∪ {p} přistupujeme v jemnější podobě. Značí-li ϕ vnoření M → U, označme symbolem Rϕ množinu obrazů bodu p v U při všech možných izometrických rozšířeních vnoření ϕ (Rϕ nazýváme prostorem realizací). Hlavním předmětem práce je zodpovězení následující otázky: Jakých podob nabývají prostory Rϕ, prochází-li ϕ všechna vnoření prostoru M do prostoru U? Metrickou charakterizaci souboru {Rϕ|ϕ: M → U} podávají důsledek 1 a věta 3 ve II. části práce. V části III jsou předchozí výsledky užity k určení počtu tříd metricky ekvivalentních vnoření prostoru M do prostoru U. Jako důsledek obdržíme výsledek J. Melleraye (2007) o homogenitě prostoru U.
|
|
|
Aplikace teorie ultrafiltrů
Hýlová, Lenka ; Pražák, Dalibor (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
V této práci studujeme ultrafiltry a jejich různé aplikace v topologii, teorii veřejné volby a konstrukci nestandardního univerza. Nejprve uvedeme základní vlastnosti ultrafiltrů a ukážeme, jak se používají ke kon- strukci nestandardního univerza. Poté dokážeme Arrowovu větu o nemožnosti veřejné volby, která říká, že každý volební systém s konečnou množinou voličů splňující určité přirozené podmínky už nutně má aspoň jednoho diktátora, jenž určuje preference celé společnosti. To už ovšem není pravda, pokud je množina voličů nekonečná. Ultrafiltry hrají hlavní roli v důkazu tohoto tvrzení. S použitím nestandardního univerza ukážeme dva příklady volebních systémů s nekonečným počtem voličů, které nemají diktátora. Podobná věta platí i v případě, kdy preference jsou reálné funkce. Opět ukážeme dva příklady volebních systémů, které nejsou diktátorské - jeden s použitím Banachových limit a druhý pomocí hyperkonečných součtů. Nakonec použijeme ultrafiltry ke konstrukci Čechovy-Stoneovy kompaktifikace přirozených čísel. Ukážeme, že nestandardní rozšíření přirozených čísel spolu s vhodnou topologií je Čechova-Stoneova kompaktifikace množiny přirozených čísel. 1
|
|
|
Komutující spojité funkce bez společného pevného bodu
Karasová, Klára ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Cúth, Marek (oponent)
Tématem práce jsou společné pevné body komutujících funkcí. Pomocí Mountain climbing theorem dokážeme větu o rozšiřování komutujících funkcí, která nám umožní zkonstruovat komutující funkce intervalu [0, 1] na sebe, které nemají společný pevný bod. Dále jsou dokázány různé verze věty o rozšiřování komutujících funkcí pomocí růz- ných verzí Mountain climbing theorem. Také dokážeme, že je-li X dendroid, S abelovská semigrupa monotónních zobrazení na X a f : X → X komutuje se všemi prvky S, pak f a S mají společný pevný bod. 1
|
|
|
Slabé a slabé* homeomorfismy
Švarc, Radovan ; Kalenda, Ondřej (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
V práci zkoumáme vlastnosti slabě sekvenciálních homeomorfismů mezi Banachovými prostory. Nejprve uvádíme výsledky, které shrnují, jak jsou některé třídy Banachových prostorů (konkrétně separabilní prostory, prostory se separabilním duálem, Asplundovy prostory, reflexivní prosotory, slabě kompaktně generované prostory a prostory neobsahu- jící izomorfní kopii ℓ1) určené pomocí slabé topologie prostoru. Následně ukážeme, že na zachování některých vlastností (separability, reflexivity a slabě kompaktní generovanosti) stačí, aby dané prostory byly slabě sekvenciálně homeomorfní. Dále ukážeme, že pokud jsou dva prostory slabě sekvenciálně stejnoměrně homeomorfní, pak jeden obsahuje izo- morfní kopii ℓ1 právě tehdy, když tuto vlastnost má i druhý prostor. Nakonec sestrojíme slabě sekvenciální homeomorfismy mezi určitou třídou Banachových prostorů.
|
|
|
Arrowovy věty o rozporech veřejné volby
Žárský, David ; Pražák, Dalibor (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
V roce 1950 dokázal Kenneth Arrow slavnou větu, která říká, že za určitých poměrně přirozených podmínek na volební systém už mezi voliči musí existovat diktátor. Jinými slovy, žádný volební systém není bezchybný. V této práci nejprve formalizujeme pojem volebního systému a zformulujeme podmínky, které na něj klademe. Následně vyložíme pomocnou teorii a poté přistoupíme k modernějšímu důkazu Arrowovy věty pomocí mno- žinových ultrafiltrů. Nakonec se budeme věnovat situaci, kdy je voličů nekonečně mnoho. Ukazuje se totiž, že v takovém případě už existuje volební systém splňující veškeré naše požadavky včetně neexistence diktátora. Problém diktatury však ani v nekonečném pří- padě zcela nemizí. Ukážeme, že za jistých podmínek namísto diktátora existuje libovolně malá diktátorská skupina a také jedinec, kterého nazveme neviditelný diktátor. 1
|
|
|
Rotation Number on a Circle
Bíma, Jan ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Pražák, Dalibor (oponent)
Práce se zabývá vybranými partiemi z teorie jednodimenzionálních dynamických sys- témů. Klíčovým pojmem je zde dynamický invariant rotačního čísla na kružnici a jeho vztah k existenci periodických bodů daného orientaci zachovávajícího homeomorfismu kružnice. Pojem rotačního čísla je dále rozšířen pro taková spojitá zobrazení kružnice do sebe, která jsou stupně jedna. Podrobně jsou studovány asymptotické vlastnosti homeo- morfismů kružnice s iracionální hodnotou rotačního čísla, tyto úvahy pak vedou k důkazu Poincarého klasifikační věty postulující (semi-)konjugovanost homeomorfismu kružnice s iracionálním rotačním číslem a rotace se stejným rotačním číslem. 1
|
host ::
RSS.