|
|
Homeomorphisms in topological structures
Vejnar, Benjamin ; Pyrih, Pavel (vedoucí práce) ; Charatonik, Włodzimierz (oponent) ; Illanes, Alejandro (oponent)
V této práci představujeme řešení několika problémů týkajících se jedno- dimenzionálních kontinuí. Podáváme induktivní popis grafů s daným číslem nesouvislosti, čímž zodpovíme otázku S. B. Nadlera. Dále předkládáme topo- logickou charakterizaci Sierpi'nského trojúhelníku. Při studiu tzv. shore množin v dendroidech a λ-dendroidech obdržíme několik pozitivních výsledků a předvede- me také několik protipříkladů. Tímto pokračujeme v nedávné práci několika autorů. Zabýváme se také pojmem 1 2 -homogenity a dokazujeme, že až na home- omorfismus existují pouze dvě 1 2 -homogenní zřetězitelná kontinua s právě dvěma koncovými body. Předvedeme také nový elegantní důkaz jednoho Waraszkiewic- zova klasického výsledku. 1
|
|
|
Problém tří jezer
Šulc, Dominik ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Cílem této práce je nalezení řešení problému tří jezer a podrobný d·kaz jeho správnosti. Problém tří jezer (Lakes of Wada) je úloha, která spočívá v sestrojení tří otevřených souvislých množin v rovině, které se neprotínají a mají společnou hranici. Ukážeme, že takové množiny existují a že kromě uvedených vlastností mohou být dokonce obloukově souvislé. 1
|
|
|
Univerzální metrické prostory
Raška, Martin ; Hušek, Miroslav (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Předkládaná práce se zabývá vlastnostmi izometrických vnoření metrických prostorů do Urysohnova univerzálního prostoru U (P.S. Urysohn, 1927) a jeho zobecnění (M. Katětov, 1988). Zkoumání mnohých metrických vlastností prostoru U přechází na otázku rozšiřitelnosti vnoření ϕ: M → U z podprostoru M jistého prostoru P na vnoření Φ: P → U. K této otázce zde v situaci P = M ∪ {p} přistupujeme v jemnější podobě. Značí-li ϕ vnoření M → U, označme symbolem Rϕ množinu obrazů bodu p v U při všech možných izometrických rozšířeních vnoření ϕ (Rϕ nazýváme prostorem realizací). Hlavním předmětem práce je zodpovězení následující otázky: Jakých podob nabývají prostory Rϕ, prochází-li ϕ všechna vnoření prostoru M do prostoru U? Metrickou charakterizaci souboru {Rϕ|ϕ: M → U} podávají důsledek 1 a věta 3 ve II. části práce. V části III jsou předchozí výsledky užity k určení počtu tříd metricky ekvivalentních vnoření prostoru M do prostoru U. Jako důsledek obdržíme výsledek J. Melleraye (2007) o homogenitě prostoru U.
|
|
|
Aplikace teorie ultrafiltrů
Hýlová, Lenka ; Pražák, Dalibor (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
V této práci studujeme ultrafiltry a jejich různé aplikace v topologii, teorii veřejné volby a konstrukci nestandardního univerza. Nejprve uvedeme základní vlastnosti ultrafiltrů a ukážeme, jak se používají ke kon- strukci nestandardního univerza. Poté dokážeme Arrowovu větu o nemožnosti veřejné volby, která říká, že každý volební systém s konečnou množinou voličů splňující určité přirozené podmínky už nutně má aspoň jednoho diktátora, jenž určuje preference celé společnosti. To už ovšem není pravda, pokud je množina voličů nekonečná. Ultrafiltry hrají hlavní roli v důkazu tohoto tvrzení. S použitím nestandardního univerza ukážeme dva příklady volebních systémů s nekonečným počtem voličů, které nemají diktátora. Podobná věta platí i v případě, kdy preference jsou reálné funkce. Opět ukážeme dva příklady volebních systémů, které nejsou diktátorské - jeden s použitím Banachových limit a druhý pomocí hyperkonečných součtů. Nakonec použijeme ultrafiltry ke konstrukci Čechovy-Stoneovy kompaktifikace přirozených čísel. Ukážeme, že nestandardní rozšíření přirozených čísel spolu s vhodnou topologií je Čechova-Stoneova kompaktifikace množiny přirozených čísel. 1
|
|
|
Komutující spojité funkce bez společného pevného bodu
Karasová, Klára ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Cúth, Marek (oponent)
Tématem práce jsou společné pevné body komutujících funkcí. Pomocí Mountain climbing theorem dokážeme větu o rozšiřování komutujících funkcí, která nám umožní zkonstruovat komutující funkce intervalu [0, 1] na sebe, které nemají společný pevný bod. Dále jsou dokázány různé verze věty o rozšiřování komutujících funkcí pomocí růz- ných verzí Mountain climbing theorem. Také dokážeme, že je-li X dendroid, S abelovská semigrupa monotónních zobrazení na X a f : X → X komutuje se všemi prvky S, pak f a S mají společný pevný bod. 1
|
|
|
Slabé a slabé* homeomorfismy
Švarc, Radovan ; Kalenda, Ondřej (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
V práci zkoumáme vlastnosti slabě sekvenciálních homeomorfismů mezi Banachovými prostory. Nejprve uvádíme výsledky, které shrnují, jak jsou některé třídy Banachových prostorů (konkrétně separabilní prostory, prostory se separabilním duálem, Asplundovy prostory, reflexivní prosotory, slabě kompaktně generované prostory a prostory neobsahu- jící izomorfní kopii ℓ1) určené pomocí slabé topologie prostoru. Následně ukážeme, že na zachování některých vlastností (separability, reflexivity a slabě kompaktní generovanosti) stačí, aby dané prostory byly slabě sekvenciálně homeomorfní. Dále ukážeme, že pokud jsou dva prostory slabě sekvenciálně stejnoměrně homeomorfní, pak jeden obsahuje izo- morfní kopii ℓ1 právě tehdy, když tuto vlastnost má i druhý prostor. Nakonec sestrojíme slabě sekvenciální homeomorfismy mezi určitou třídou Banachových prostorů.
|
|
|
Arrowovy věty o rozporech veřejné volby
Žárský, David ; Pražák, Dalibor (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
V roce 1950 dokázal Kenneth Arrow slavnou větu, která říká, že za určitých poměrně přirozených podmínek na volební systém už mezi voliči musí existovat diktátor. Jinými slovy, žádný volební systém není bezchybný. V této práci nejprve formalizujeme pojem volebního systému a zformulujeme podmínky, které na něj klademe. Následně vyložíme pomocnou teorii a poté přistoupíme k modernějšímu důkazu Arrowovy věty pomocí mno- žinových ultrafiltrů. Nakonec se budeme věnovat situaci, kdy je voličů nekonečně mnoho. Ukazuje se totiž, že v takovém případě už existuje volební systém splňující veškeré naše požadavky včetně neexistence diktátora. Problém diktatury však ani v nekonečném pří- padě zcela nemizí. Ukážeme, že za jistých podmínek namísto diktátora existuje libovolně malá diktátorská skupina a také jedinec, kterého nazveme neviditelný diktátor. 1
|
|
|
Rotation Number on a Circle
Bíma, Jan ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Pražák, Dalibor (oponent)
Práce se zabývá vybranými partiemi z teorie jednodimenzionálních dynamických sys- témů. Klíčovým pojmem je zde dynamický invariant rotačního čísla na kružnici a jeho vztah k existenci periodických bodů daného orientaci zachovávajícího homeomorfismu kružnice. Pojem rotačního čísla je dále rozšířen pro taková spojitá zobrazení kružnice do sebe, která jsou stupně jedna. Podrobně jsou studovány asymptotické vlastnosti homeo- morfismů kružnice s iracionální hodnotou rotačního čísla, tyto úvahy pak vedou k důkazu Poincarého klasifikační věty postulující (semi-)konjugovanost homeomorfismu kružnice s iracionálním rotačním číslem a rotace se stejným rotačním číslem. 1
|
|
|
Complexity of compact metrizable spaces
Dudák, Jan ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Zelený, Miroslav (oponent)
Práce zkoumá složitost relace homeomorfismu na třídách metrizovatelných kompaktních prostorů a Peanových kontinuí s využitím techniky borelovských redukcí. Pro každou z těchto dvou tříd uvažujeme dvě různá kódování. Třídu metrizovatelných kompaktních prostorů lze přirozeně kódovat pomocí prostoru kompaktních podmnožin Hilbertovy krychle opatřeného Vietorisovou topologií. Alternativou je použití prostoru spojitých funkcí z Cantorova prostoru do Hil- bertovy krychle s topologií stejnoměrné konvergence a s relací ekvivalence, která ztotožňuje funkce mající homeomorfní obrazy. V případě Peanových kontinuí je situace podobná. Můžeme je kódovat pomocí prostoru Peanových podkontinuí Hilbertovy krychle, ale také (díky Hahnově-Mazurkiewiczově větě) pomocí pro- storu spojitých funkcí z r0, 1s do Hilbertovy krychle. V případě metrizovatelných kompaktů i v případě Peanových kontinuí ukážeme, že obě uvažovaná kódování dávají tutéž složitost (v obou případech se jedná o složitost univerzální orbitální ekvivalence). Mezi další výsledky této práce patří věta, která říká, že pro každý polský prostor X je relace homeomorfismu na prostoru neprázdných kompaktních podmnožin X borelovsky bireducibilní s relací ekvivalence (definované analogicky jako výše) na prostoru spojitých funkcí z Cantorova prostoru do X.
|
|
|
Families of connected spaces
Bartoš, Adam ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Charatonik, Włodzimierz (oponent) ; Hušek, Miroslav (oponent)
Soubory souvislých prostorů Adam Bartoš Abstrakt Zabýváme se dvěma zcela odlišnými druhy souvislých prostorů - maximálně souvislými prostory a metrizovatelnými kontinui. Topo- logický prostor je maximálně souvislý, pokud je souvislý, ale každá ostře jemnější topologie na téže základové množině už je nesouvislá. Název "Soubory souvislých prostorů" zde odkazuje ke kolekci všech souvislých topologií na dané množině. Ta je uspořádaná inkluzí a ma- ximálně souvislé topologie jsou její maximální prvky. Zkoumáme kon- strukci stromových sum topologických prostorů a jak tato konstrukce zachovává maximální souvislost. Dále charakterizujeme konečně ge- nerované maximálně souvislé prostory jako T1 2 -kompatibilní stromové sumy kopií Sierpińského prostoru. Na druhé straně nás zajímá obecná otázka, kdy k dané třídě kontinuí existuje metrizovatelný kompakt, jehož množina komponent je ekvivalentní dané třídě. (Dvě třídy jsou ekvivalentní, jestliže obsahují až na homeomorfní kopie stejné pro- story.) Zavádíme kompaktifikovatelné, polišovatelné, silně kompakti- fikovatelné a silně polišovatelné třídy kompaktů a zkoumáme jejich vlastnosti. Toto souvisí s deskriptivní složitostí ekvivalentních reali- zací dané třídy v hyperprostoru všech kompaktů. Ukážeme, že v tomto hyperprostoru je každý analytický soubor ekvivalentní...
|
host ::
RSS.