Název: Aplikace teorie ultrafiltrů
Překlad názvu: Ultrafilters and their applications
Autoři: Hýlová, Lenka ; Pražák, Dalibor (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Typ dokumentu: Diplomové práce
Rok: 2021
Jazyk: cze
Abstrakt: [cze] [eng]
V této práci studujeme ultrafiltry a jejich různé aplikace v topologii, teorii veřejné volby a konstrukci nestandardního univerza. Nejprve uvedeme základní vlastnosti ultrafiltrů a ukážeme, jak se používají ke kon- strukci nestandardního univerza. Poté dokážeme Arrowovu větu o nemožnosti veřejné volby, která říká, že každý volební systém s konečnou množinou voličů splňující určité přirozené podmínky už nutně má aspoň jednoho diktátora, jenž určuje preference celé společnosti. To už ovšem není pravda, pokud je množina voličů nekonečná. Ultrafiltry hrají hlavní roli v důkazu tohoto tvrzení. S použitím nestandardního univerza ukážeme dva příklady volebních systémů s nekonečným počtem voličů, které nemají diktátora. Podobná věta platí i v případě, kdy preference jsou reálné funkce. Opět ukážeme dva příklady volebních systémů, které nejsou diktátorské - jeden s použitím Banachových limit a druhý pomocí hyperkonečných součtů. Nakonec použijeme ultrafiltry ke konstrukci Čechovy-Stoneovy kompaktifikace přirozených čísel. Ukážeme, že nestandardní rozšíření přirozených čísel spolu s vhodnou topologií je Čechova-Stoneova kompaktifikace množiny přirozených čísel. 1 This thesis studies ultrafilters and their various applications in topology, social choice theory and construction of a nonstandard universe. First of all, we introduce basic properties of ultrafilters and show how to use them to construct nonstandard framework. Next, we prove Arrow's impossibility theorem which states that every electoral system with a finite set of voters satisfying certain natural conditions necessarily admits at least one dictator who determines the society's preferences. However, if the set of voters is infinite, this is not true anymore and ultrafilters play a key role in the proof. We present two counterexamples in the infinite case using nonstandard framework. A similar theorem holds in the case where the preferences are real functions. Again, we show two examples of electoral systems that are not dictatorial - one using Banach limits and the other using hyperfinite sums. Finally, we use the ultrafilters to construct the Čech-Stone compactification of natural numbers. We show that the nonstandard enlargement of natural numbers equipped with suitable topology is the Čech-Stone compactification of the set of natural numbers. 1
Klíčová slova: ultrafiltr|nestandardni univerzum|teorie veřejné volby|Čech-Stoneova kompaktifikace; ultrafilter|nonstandard universe|social choice theory|Čech-Stone compactification

Instituce: Fakulty UK (VŠKP) (web)
Informace o dostupnosti dokumentu: Dostupné v digitálním repozitáři UK.
Původní záznam: http://hdl.handle.net/20.500.11956/127816

Trvalý odkaz NUŠL: http://www.nusl.cz/ntk/nusl-448357


Záznam je zařazen do těchto sbírek:
Školství > Veřejné vysoké školy > Univerzita Karlova > Fakulty UK (VŠKP)
Vysokoškolské kvalifikační práce > Diplomové práce