|
|
Normově-euklidovská kvadratická rozšíření tělesa racionálních čísel
Zemková, Kristýna ; Šaroch, Jan (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Cílem této práce je podat ucelenou charakterizaci všech normově-euklidovských kvadratických rozšíření Q. Práce obsahuje kompletně zpracovanou část pro imaginární kvadratická rozšíření. V případě reálných kvadratických rozšíření uvádíme úplný seznam diskriminantů D, pro něž je těleso Q( √ D) normově- euklidovské. Dále je v práci obsažen důkaz odhadu D < 214 pro všechna Q( √ D) normově-euklidovská a podrobně rozebraný případ D ≡ 1 (mod 4). Pro případ D ≡ 1 (mod 4) jsou v práci uvedeny odkazy na výsledky jiných autorů. 1
|
|
|
Kvazieuklidovské obory integrity
Čoupek, Pavel ; Šaroch, Jan (vedoucí práce) ; Glivický, Petr (oponent)
Tato práce shrnuje některé známé výsledky, týkající se k-stage euklidovských a kvazieuklidovských okruhů a oborů integrity, jistých zobecnění pojmu eukli- dovského okruhu, a prezentuje nové výsledky. Mezi ně patří zejména zavedení transfinitní konstrukce k-stage euklidovského okruhu, vedoucí k charakterizaci k- stage euklidovských okruhů nevyužívající pojmu normy, a její důsledky. Pozornost je dále věnována tvrzením, dávajícím návod, jak konstruovat nové k-stage eukli- dovské oruhy z jiných k-stage euklidovských okruhů (a popř. tak, aby se jednalo o obory integrity). Prezentujeme také příklad oboru integrity, který se jeví jako dobrý kandidát na 3-stage euklidovský okruh, který není 2-stage euklidovský. 1
|
|
|
Ortogonální báze a Jordanův normální tvar
Kučera, Daniel ; Šaroch, Jan (vedoucí práce) ; Barto, Libor (oponent)
Unitárně diagonalizovatelné endomorfismy jsou popsány jako zobrazení, která komutují s adjungovaným zobrazením. Tato práce z Lineární algebry se snaží popsat endomorfismy komplexního vektorového prostoru, pro které existuje ortogonální báze taková, že matice endomorfismu vzhledem k této bázi je v Jordanově tvaru. Zavádíme pro ně pojem unitárně jordanizovatelný endomorfismus. První dvě kapitoly obsahují charakterizaci unitárně diag- onalizovatelných zobrazení a důkaz existence a jednoznačnosti Jordanova normálního tvaru. V třetí kapitole se objevuje souvislost s bilineárními for- mami; s jejich pomocí je dokázáno, že endomorfismus s jediným vlastním číslem a Jordanovými řetízky délky nejvýše dva je vždy unitárně jordanizo- vatelný. V poslední kapitole je diskutována jednoznačnost ortogonální polární báze bilineární formy a je představen algoritmus, který rozhodne, zda je en- domorfismus unitárně jordanizovatelný. 1
|
|
|
Struktura samomalých grup a modulů
Dvořák, Josef ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Název práce: Struktura samomalých grup a modulů Autor: Josef Dvořák Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. E-mail vedoucího: zemlicka@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: Práce shrnuje základní strukturní vlastnosti samomalých grup. Dále důkladně buduje teorii kvocientových kategorií dle Serreových tříd, přičemž se následně soustředí na kvocientovou kategorii dle třídy B ome- zených abelovských grup, nebot' ta je, jak je ukázáno, kategoriálně ekviva- lentní kvazikategorii, tj. kategorii s objekty abelovskými grupami a mnoa- žia-naa-mi homomorfismů Q⊗ZHomA (A, B). Tento přístup je dále rozvíjen ve větší obecnosti ve formě zobecněných kvocientových kategorií. Jsou též dopodrobna studovány duality mezi kvazikategoriemi beztorních a fak- torově divisibilních grup konečného ranku, resp. mezi kategoriemi samo- malých grup konečného ranku, přičemž tato dualita je užita na modifiko- vaný Fuchsův problém č. 34. Klíčová slova: samomalá grupa, faktorově divisibilní grupa, kvazikategorie, kvocientová kategorie 1
|
|
|
Semigroups of lattice points
Scholle, Marek ; Kepka, Tomáš (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
V práci se zabýváme podpologrupami (Nm 0 , +), speciální diskuse je posléze věnována případům m = 1, m = 2 a m = 3. Dokážeme, že podpologrupa Nm 0 je konečně genero- vaná, právě když jí generovaný kužel je konečně generovaný, ekvivalentně polyhedrální, a popisujeme základní topologické vlastnosti takovýchto kuželů. Na příkladech doklá- dáme, že podmínky zaručující konečnou generovanost v N2 0 nelze snadno přenést do vyš- ších dimenzí. Definujeme Hilbertovu bázi a s ní související pojem Carathéodoryho ranku a kromě základních vlastností dokážeme, že Carathéodoryho rank podpologrupy Nm 0 , m = 1, 2, 3, je menší nebo roven m. Zvláštní pozornost věnujeme pologrupám obsahu- jícím netriviální podpologrupu "odčítacích prvků.
|
|
|
Triangulační algoritmus pro systémy nelineárních rovnic
Väter, Ondřej ; Hojsík, Michal (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Tato práce se zabývá triangulačním algoritmem a jeho využitím v kryptoanalýze. Uvedeme si definici soustavy nelineárních rovnic, na kterou můžeme aplikovat trian. alg., a objasníme si co je výstupem trian. alg. Ukážeme si použití tohoto algoritmu v kryptoanalýze, konkrétně při útoku na šifru Rijndael. Tento útok si ilustrujeme při hledání kolize pro námi vytvořenou hashovací funkci v Davies-Mayerově módu za použití šifry Rijndael. Součástí této práce je implementační část, ve které si ukážeme reálné využití trian. alg. při hledání kolize pro výše zmíněnou hashovací funkci.
|
|
|
Kombinatorika hashovacích funkcí
Sýkora, Jiří ; Holub, Štěpán (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
V této práci se zabýváme hašovacími funkcemi. Soustředíme se především na známou Merkle-Damg˚ardovu konstrukci a její zobecnění. Ukazujeme, že ani tato zobecněná kon- strukce není odolná proti útokům hledajícím multikolize. Zásadní roli při tvorbě našeho útoku hraje kombinatorika na slovech. Ukazuje se totiž, že v dostatečně dlouhých slovech s omezeným počtem výskytů jednotlivých symbolů se nutně musí objevovat určité pra- videlnosti. V této oblasti předvádíme vlastní původní výsledky, kterými zlepšujeme dříve publikované odhady, čímž snižujeme složitost útoku. Z toho plyne, že zobecněné hašovací funkce jsou zajímavé spíše z teoretického než praktického hlediska. 1
|
|
|
Set-theoretic Methods in the Theory of Modules
Šaroch, Jan ; Trlifaj, Jan (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent) ; Struengmann, Lutz (oponent)
Disertační práce shrnuje mé dosvadní příspěvky k teorii kotorzních párů modulů, s užším zaměřením na aplikaci množinově-teoretických metod v této oblasti. Sestává z úvodu a tří článků se spoluautory. První dva - již publikované - se věnují tzv. teleskopické hypotéze pro kategorie modulů. Dokazujeme zde například, že dědičný kotorzní pár (A,B) s třídou B uzavřenou na direktní limity je již úplný a generovaný množinou spočetně prezentovaných modulů. Je-li navíc i třída A uzavřena na direktní limity, je (A,B) kogenerován množinou nerozložitelných čistě-injektivních modulů. Ve třetím článku se blíže zabýváme jednak kotorzními páry, jež poskytují netriviální příklady abstrakních elementárních tříd (v Shelahově smyslu), a dále zkoumáme třídu D a všech N1-prjektních modulů, přičemž kupříkladu ukazujeme, že se - nezávisle na okruhu - jedná vždy o Kaplanského třídu.
|
|
|
Tiliting modules of finite type
Šaroch, Jan ; Žemlička, Jan (oponent) ; Trlifaj, Jan (vedoucí práce)
Diplomová práce se zabývá studiem vlastností kotorzních párů v kategorii modulů; zejména nás zajímají podmínky, za nichž je daný kotorzní pár úplný či dokonce konečného typu. Metody dekonstrukce kotorzních párů, které při našem zkoumání rozvineme, posléze využijeme k důkazu tvrzení vychylující modul je konečného typu. Ukážeme také souvislost prezentované problematiky s tzv. teleskopickou hypotézou.
|
|
|
Definovatelné třídy modulů a dekonstrukce kotorzních párů
Dohnal, Garik ; Šaroch, Jan (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
Cílem této práce bylo dokázat, že definovatelný uzávěr libovolné podtřídy kotorzních modulů uzavřené na direktní sumy sestává ze $\Sigma$-kotorzních modulů. Jediný známý důkaz využívá silně kalkulus v derivované kategorii, v této práci jsme se k důkazu pokusili využít pouze prostředků kategorie pravých $R$-modulů a množinově-teoretických vlastností indexových uspořádání direktních systémů z nich složených. Výsledkem jsou důkazy za dodatečných předpokladů na okruh $R$, totiž $\vert R\vert\leq\aleph_{\omega}$ nebo $\text{dim}(R)<\aleph_{\omega}$. Podat důkaz ve stejně obecné situaci, jako je ta, ve které je již známý, se nepovedlo. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
host ::
RSS.