|
|
Parallel numeric solution of differential equations
Nečasová, Gabriela ; Čermák, Martin (referee) ; Kozek, Martin (referee) ; Šátek, Václav (advisor)
Diferenciální rovnice se studují již vice než 300 let. Poprvé parciální diferenciální rovnice použil švýcarský matematik a právník Nicolaus Bernoulli v 18. století. Parciální diferenciální rovnice druhého řádu se používají k modelování široké škály jevů ve vědě, technice a matematice, například šíření světelných a zvukových vln, pohybu tekutin a šíření tepla. Práce se zabývá paralelním numerickým řešením parciálních diferenciálních rovnic. Parciální diferenciální rovnice druhého řádu jsou pomocí metody přímek převedeny na rozsáhlé soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. Prostorové derivace v parciální diferenciální rovnici jsou nahrazeny různými typy konečných diferencí. Výsledné soustavy obyčejných diferenciálních rovnic (problémy počátečních hodnot) jsou řešeny paralelně pomocí Runge-Kutta metod a nově navržené metody vyššího řádu založené na Taylorově řadě. Numerické experimenty vybraných problémů jsou realizovány na superpočítači s různým počtem výpočetních uzlů. Výsledky ukazují, že metoda založená na Taylorově řadě výrazně překonává standardní Runge-Kutta metody.
|
|
|
High order numerical method in modelling and control systems
Veigend, Petr ; Horák, David (referee) ; Schirrer, Alexander (referee) ; Šátek, Václav (advisor)
Systémy pro řízení a regulaci jsou používány téměř ve všech průmyslových oblastech. Pro jejich modelování se často používají diferenciální rovnice, které popisují dynamické chování těchto systémů a umožňují je detailněji analyzovat z hlediska přesnosti, stability, výkonu a reakcí těchto systémů v reálném čase. V této oblasti se běžně nepoužívají metody vyšších řádů, protože vykonávají velké množství operací. Tato práce zkoumá numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s použitím metody s proměnným řádem a proměnnou velikostí kroku, která je založena na Taylorově řadě. Metoda je navržena jak pro lineární, tak pro nelineární problémy a jsou implementovány její optimalizace pro snížení výpočetního času bez degradace jejích vlastností. Pozitivní vlastnosti metody jsou demonstrovány na sadě příkladů z technické praxe. Výsledky práce ukazují, že metoda založena na Taylorově řadě může být použita v oblasti řízení a regulace a má lepší vlastnosti než běžně používané metody.
|
|
|
The solving of ordinary differential equations by means of the Laplace transform method
Klimeš, Lubomír ; Tomášek, Petr (referee) ; Čermák, Jan (advisor)
The Laplace transform is a very powerful mathematical tool for solving of ordinary linear differential equations with constant coefficients. Its usage is wide - it can be applied to first order and also to higher order equations, it is very convenient for solving of differential equations with several forcing terms (including noncontinuous terms) and of course, it can be used for solving of systems of ordinary differential equations. The Laplace transform plays the key role in control theory, where the transformation of the differential equation of the control system enables to analyse the behavior of this system, e. g. its reaction to input values. Our aim was to present essentials of the Laplace transform theory and demonstrate this strong mathematical tool in the solving of concrete problems, including the usage of the software Maple.
|
|
|
Stiff Systems Analysis
Šátek, Václav ; Dalík, Josef (referee) ; Horová, Ivana (referee) ; Kunovský, Jiří (advisor)
The solving of stiff systems is still a contemporary sophisticated problem. The basic problem is the absence of precise definition of stiff systems. A question is also how to detect the stiffness in a given system of differential equations. Implicit numerical methods are commonly used for solving stiff systems. The stability domains of these methods are relatively large but the order of them is low. The thesis deals with numerical solution of ordinary differential equations, especially numerical calculations using Taylor series methods. The source of stiffness is analyzed and the possibility how to reduce stiffness in systems of ordinary differential equations (ODEs) is introduced. The possibility of detection stiff systems using explicit Taylor series terms is analyzed. The stability domains of explicit and implicit Taylor series are presented. The solutions of stiff systems using implicit Taylor series method are presented in many examples. The multiple arithmetic must be used in many cases. The new suitable parallel algorithm based on implicit Taylor series method with recurrent calculation of Taylor series terms and Newton iteration method (ITMRN) is proposed.
|
|
| |
|
|
Lagrangian tracking of the cavitation bubble
Bossio Castro, Alvaro Manuel ; Zatočilová, Jitka (referee) ; Rudolf, Pavel (advisor)
In this thesis, the dynamics of an isolated cavitation bubble submerged in a steady flow is studied numerically. A Lagrangian-Eulerian approach is considered, in which properties of the fluid are computed first by means of Eulerian methods (in this study the commercial CFD software Ansys Fluent 19 was used) and the trajectory of the bubble is then computed in a Lagrangian fashion, i.e. the bubble is considered as a small particle moving relative to the fluid, due to the effect of several forces depending on fluid's pressure field, fluid's velocity field and bubble's radius. Bubble's radius dynamics, modeled by Rayleigh-Plesset equation, has a big influence on its kinetics, so a special attention is given to it. Two study cases are considered. The first one, motivated by acoustic cavitation is concerned with the response of the bubble's radius in a static flow under the influence of an oscillatory pressure field, the second one studies the trajectory of the bubble submerged in a fluid passing by a Venturi tube and a sharp-edged orifice plate.
|
|
|
Optimization for Engineering Design
Fedorko, Tomáš ; Mauder, Tomáš (referee) ; Popela, Pavel (advisor)
This bachelor's thesis concerns the problem of finding an optimal cooling solution in respect to cooling costs. It describes the problem of heat transfer, its analytical solution, numerical solution of the boundary values problem and its implementation in MATLAB using the FMINCON function. Individual results are presented graphically, as well as, summarized in calculations and interpreted.
|
|
|
Mathematical Methods in Economics
Válka, Vojtěch ; Doubravský, Karel (referee) ; Novotná, Veronika (advisor)
This thesis is focused on problems of ordinary differential equations of the first degree. The first part is dedicated to theory of differential equations. In the second part, solved and unsolved examples of individual types of differential equations are presented. In closing, there are few examples of economic applications. The thesis serve as a study material for students of economic faculty.
|
|
|
Stability and convergence of numerical computations
Sehnalová, Pavla ; Dalík, Josef (referee) ; Horová, Ivana (referee) ; Kunovský, Jiří (advisor)
Tato disertační práce se zabývá analýzou stability a konvergence klasických numerických metod pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Jsou představeny klasické jednokrokové metody, jako je Eulerova metoda, Runge-Kuttovy metody a nepříliš známá, ale rychlá a přesná metoda Taylorovy řady. V práci uvažujeme zobecnění jednokrokových metod do vícekrokových metod, jako jsou Adamsovy metody, a jejich implementaci ve dvojicích prediktor-korektor. Dále uvádíme generalizaci do vícekrokových metod vyšších derivací, jako jsou např. Obreshkovovy metody. Dvojice prediktor-korektor jsou často implementovány v kombinacích modů, v práci uvažujeme tzv. módy PEC a PECE. Hlavním cílem a přínosem této práce je nová metoda čtvrtého řádu, která se skládá z dvoukrokového prediktoru a jednokrokového korektoru, jejichž formule využívají druhých derivací. V práci je diskutována Nordsieckova reprezentace, algoritmus pro výběr proměnlivého integračního kroku nebo odhad lokálních a globálních chyb. Navržený přístup je vhodně upraven pro použití proměnlivého integračního kroku s přístupe vyšších derivací. Uvádíme srovnání s klasickými metodami a provedené experimenty pro lineární a nelineární problémy.
|
|
|
Partial Differential Equations Parallel Solutions
Nečasová, Gabriela ; Šátek, Václav (referee) ; Kunovský, Jiří (advisor)
This thesis deals with the topic of partial differential equations parallel solutions. First, it focuses on ordinary differential equations (ODE) and their solution methods using Taylor polynomial. Another part is devoted to partial differential equations (PDE). There are several types of PDE, there are parabolic, hyperbolic and eliptic PDE. There is also explained how to use TKSL system for PDE computing. Another part focuses on solution methods of PDE, these methods are forward, backward and combined methods. There was explained, how to solve these methods in TKSL and Matlab systems. Computing accuracy and time complexity are also discussed. Another part of thesis is PDE parallel solutions. Thanks to the possibility of PDE convertion to ODE systems it is possible to represent each ODE equation by independent operation unit. These units enable parallel computing. The last chapter is devoted to implementation. Application enables generation of ODE systems for TKSL system. These ODE systems represent given hyperbolic PDE.
|
guest ::
