Original title: Paralelní numerické řešení diferenciálních rovnic
Translated title: Parallel numeric solution of differential equations
Authors: Nečasová, Gabriela ; Čermák, Martin (referee) ; Kozek, Martin (referee) ; Šátek, Václav (advisor)
Document type: Doctoral theses
Year: 2024
Language: eng
Publisher: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta informačních technologií
Abstract: [eng] [cze]
Diferenciální rovnice se studují již vice než 300 let. Poprvé parciální diferenciální rovnice použil švýcarský matematik a právník Nicolaus Bernoulli v 18. století. Parciální diferenciální rovnice druhého řádu se používají k modelování široké škály jevů ve vědě, technice a matematice, například šíření světelných a zvukových vln, pohybu tekutin a šíření tepla. Práce se zabývá paralelním numerickým řešením parciálních diferenciálních rovnic. Parciální diferenciální rovnice druhého řádu jsou pomocí metody přímek převedeny na rozsáhlé soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. Prostorové derivace v parciální diferenciální rovnici jsou nahrazeny různými typy konečných diferencí. Výsledné soustavy obyčejných diferenciálních rovnic (problémy počátečních hodnot) jsou řešeny paralelně pomocí Runge-Kutta metod a nově navržené metody vyššího řádu založené na Taylorově řadě. Numerické experimenty vybraných problémů jsou realizovány na superpočítači s různým počtem výpočetních uzlů. Výsledky ukazují, že metoda založená na Taylorově řadě výrazně překonává standardní Runge-Kutta metody. Differential equations have been studied for over 300 years. Partial differential equations were first used by the Swiss mathematician and lawyer Nicolaus Bernoulli in the 18th century. Second-order partial differential equations are used to model a wide range of phenomena in science, engineering, and mathematics, such as the propagation of light and sound waves, the motion of fluids, and the diffusion of heat. The thesis deals with the parallel numerical solution of partial differential equations. Second-order partial differential equations are transformed into large systems of ordinary differential equations using the method of lines. The spatial derivatives in the partial differential equation are replaced by various types of finite differences. The resulting large systems of ordinary differential equations (initial value problem) are solved in parallel using Runge-Kutta methods and the newly proposed higher-order method based on Taylor series. The numerical experiments of the selected problems are calculated using a supercomputer with different numbers of compute nodes. The results show that the Taylor-series-based numerical method significantly over-performs state-of-the-art Runge-Kutta methods.
Keywords: konečné diference; metoda přímek; obyčejné diferenciální rovnice; paralelní výpočty; parcilální diferenciální rovnice; problémy počátečních hodnot; Runge-Kutta; superpočítače; Taylorova řada; finite differences; initial value problems; method of lines; ordinary differential equations; parallel computations; partial differential equations; Runge-Kutta; supercomputers; Taylor series

Institution: Brno University of Technology (web)
Document availability information: Fulltext is available in the Brno University of Technology Digital Library.
Original record: http://hdl.handle.net/11012/245530

Permalink: http://www.nusl.cz/ntk/nusl-614807


The record appears in these collections:
Universities and colleges > Public universities > Brno University of Technology
Academic theses (ETDs) > Doctoral theses