|
|
Selfdistributive quasigroups of size 2^k
Nagy, Tomáš ; Stanovský, David (vedoucí práce) ; Kepka, Tomáš (oponent)
V této práci představíme teorii samodistributivních kvazigrup a konstrukci ne- afinní samodistributivní kvazigrupy velikosti 216 , která byla zkonstruována Ono- iem v roce 1970 a která představovala nejmenší známý příklad takovéto struktury velikosti 2k . Na základě této konstrukce představíme koncept Onoiových struktur a Onoiových zobrazení mezi nimi, který zobecňuje Onoiovu konstrukci a který nám umožní zkonstruovat neafinní samodistribuivní kvazigrupu velikosti 22k pro k ≥ 3. Představíme a implementujeme algoritmus na hledání centrálních extenzí sa- modistributivních kvazigrup, což nám umožní klasifikovat neafinní samodistri- butivní kvazigrupy velikosti 2k a dokázat, že tyto kvazigrupy existují právě pro k ≥ 6, k ̸= 7. Tento algoritmus také použijeme pro lepší porozumění struktuře neafinních samodistributivních kvazigrup velikosti 26 . 1
|
|
|
Enumeration of affine quasigroups
Semanišinová, Žaneta ; Stanovský, David (vedoucí práce) ; Kepka, Tomáš (oponent)
Práca je venovaná problému enumerácie paramediálnych kvázigrúp. V práci je dokázané, že existuje práve 2p − 1 paramediálnych kvázigrúp rádu p, kde p je nepárne prvočíslo. Ďalej je v nej dokázané, že existuje práve 11 2 p2 + 3 2 p − 4 paramediálnych kvázigrúp rádu p2 pre nepárne prvočíslo p. Odpovedajúce vý- počty zahŕňajú enumeráciu paramediálnych kvázigrúp afinných nad grupou Zp a grupami Zp2 a Z2 p. Algoritmus na enumeráciu týchto kvázigrúp je špeciálnym prípadom výsledku, ktorého autorom je Aleš Drápal. Najťažší je prípad enume- rácie nad grupou Z2 p, ktorý zahŕňa skúmanie druhých odmocnín a konjugačných tried v grupe GL(2, p).
|
|
|
Quasigroups with few associative triples
Valent, Viliam ; Drápal, Aleš (vedoucí práce) ; Kepka, Tomáš (oponent)
Táto bakalárska práca sa zaoberá kvazigrupami s malým počtom asociatívnych trojíc. Tie už boli predmetom algebraického štúdia Drápala, Ježka a Kepku, Kotziga a nedávno Grošeka a Horáka. Cieľom tejto práce je budovať na výskume Ǧrošeka a Horáka, replikovať a zlepšiť ich výsledky ohľadom minimálneho počtu asociatívnych trojíc v malých kvazigrupách. Ďalšou dôležitou časťou je zavedenie novej hornej medze na minimálny počet asociatívnych trojíc medzi všetkými kvazigrupami rovnakého stupňa. Poskytneme algoritmus, ktorý konštruuje kvazigrupy s počtom asociatívnych trojíc menším alebo rovným druhej mocnine ich stupňa. Takisto prezentujeme aplikácie takýchto kvazigrúp v kryptografii, hlavne v hašovacích funkciách a zero-knowledge protokoloch. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
An elementary proof of the existence of primitive elements
Majerčík, Miroslav ; Kepka, Tomáš (vedoucí práce) ; Bulín, Jakub (oponent)
Názov práce: Elementárny dôkaz vety o primitívnom prvku Autor: Miroslav Majerčík Katedra / Ústav: Katedra algebry Vedúcí bakalárskej práce: prof. RNDr. Tomáš Kepka, DrSc. Abstrakt: Tento text je venovaný elementárnym dôkazom dvoch významných viet teórie čísel a to Gaussovmu kvadratickému zákonu reciprocity a vete o primitívnom prvku. Dôkazy týchto viet sú vo forme menších na seba nadväzujúcich lemmat a dôkazov. Úvod je venovaný historickému priblíženiu a metóde dôkazov viet. Prvá kapitola smeruje k dôkazu Gaussovmu kvadratickému zákonu reciprocity a druhá k dôkazu vety o primitívnom prvku a k určeniu prirodzených čísel n pre ktoré existuje primitívny prvok modulo n a pre ktoré nie. K dôkazu týchto viet bolo potrebné dokázat aj niekol'ko dalších viet, napríklad malú Fermatovu vetu alebo schému rozdielu mocnín. Klúčové slová: Kvadratický zbytok, Primitívny koreň, Rád prvku modulo n, Eulerova funkcia Title: An elementary proof of the existence of primitive elements Author: Miroslav Majerčík Department: Department of Algebra Supervisor: prof. RNDr. Tomáš Kepka, DrSc. Abstract: This text is about elementary proofs of two well known number theory statements, Gauss quadratic reciprocity law and proof of the existence of primitive elements....
|
|
|
Algebraic Substructures in Cm
Kala, Vítězslav ; Kepka, Tomáš (vedoucí práce) ; Stanovský, David (oponent) ; El Bashir, Robert (oponent)
Název práce: Algebraické podstruktury v ℂ Autor: Vítězslav Kala Katedra: Katedra algebry Vedoucí disertační práce: Prof. RNDr. Tomáš Kepka, DrSc., Katedra algebry Abstrakt: Tato práce je zaměřena na studium struktury konečně generovaných polookruhů, parapolotěles a dalších algebraických struktur za použití geomet- rických metod založených na algebraických podstrukturách Euklidovského pro- storu ℂ . Parapolotělesu , které je konečně generované jako polookruh, přiřadíme vhod- nou podpologrupu pologrupy ℕ0 (definovanou pomocí prvků takových, že + = pro nějaké ∈ a ∈ ℕ). Algebraické a geometrické vlastnosti obsahují důležité informace o struktuře ; použijeme jich k důkazu, že pokud je parapolotěleso 2-generované jako polookruh, pak je aditivně idempotentní. Uvedeme také okruhové přeformulování této hypotézy pro případ -generovaných polookruhů. Dále klasifikujeme všechna aditivně idempotentní parapolotělesa, která jsou ko- nečně generovaná jako polookruh, za použití skutečnosti, že odpovídají třídě jistých konečně generovaných unitálních svazově uspořádaných grup. Ty nedávno klasifikovali Busaniche, Cabrer a Mundici [4] pomocí kombinatorických a geomet- rických "hvězdných posloupností", což jsou posloupnosti...
|
|
|
Sudé triangulace a Abelovy grupy
Hrbek, Michal ; Drápal, Aleš (vedoucí práce) ; Kepka, Tomáš (oponent)
Název práce: Sudé triangulace a Abelovy grupy Autor: Michal Hrbek Katedra: Katedra algebry Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Aleš Drápal CSc., DSc. Abstrakt: Tato práce se zabývá sudými triangulacemi sféry a algebraickou strukturou na nich definovanou tak, aby odpovídala latinské záměně sdružené s touto triangulací. Nejprve uvedeme potřebné výsledky o vlastnostech těchto triangulací a jejich vnoření do Abelovských grup, potom se věnujeme jednomu konkrétnímu typu skoro 6-homogenních triangulací. V textu předvedeme několik příkladů, poté se explicitně popíší grupy nejjednodušší posloupnosti triangulací. Pro složitější posloupnosti presentujeme rekurentní vzorec pro definující relace grup a příklad jeho použití přes modulární aritmetiku. Nakonec se v textu disku- tují napočítaná data. Klíčová slova: latinská záměna, eulerovská triangulace, Abelova grupa 1
|
|
|
Kategoriální metody v teorii struktur
Opršal, Jakub ; Trnková, Věra (vedoucí práce) ; Kepka, Tomáš (oponent)
Název práce: Kategoriální metody v teorii struktur Autor: Jakub Opršal Katedra / Ústav: Matematický ústav Univerzity Karlovy Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Věra Trnková, DrSc. Abstrakt: V první části práce se věnujeme funktorovým algebrám. Výjmečnou roli hrají iniciální funk- torové algebry, které lze získat tzv. konstrukcí iniciální algebry. V tomto roce Adámek a Trnková dokázali, že v kategorii množin se konstrukce může zastavit pouze po nejvýše třech krocích, nebo až na libovol- ném regulárním kardinálu. My na tento výsledek navazujeme a zkoumáme souvislost délky konstrukce a velikosti iniciální algebry. Ukazujeme, že délka konstrukce nikdy nepřesáhne kardinalitu iniciální algebry. Jinou transfinitiní konstrukci studoval Kelly v roce 1980. Popsal konstrukci volných algeber pro pointo- vané funktory a definoval třídu dobře pointovaných funktorů, pro které je konstrukce obzvláště jedno- duchá (a ve skutečnosti je zvláštním případem konstrukce relativně terminální algebry, kterou nedávno zkoumali Adámek a Trnková). V poslední kapitole popisujeme všechny dobře pointované funktory v kate- gorii množin a v kategorii k ní duální. Dále se věnujeme dobře pointovaným funktorům v mnohasortových množinách a popíšeme všechny možné třídy algeber pro takové funktory. Klíčová slova: funktorové algebry, konstrukce...
|
|
|
Některé otázky definovatelnosti
Lechner, Jiří ; Stanovský, David (vedoucí práce) ; Kepka, Tomáš (oponent)
Zaměříme se na prvořádovou definovatelnost v kvaziuspořádané třídě konečných orientovaných grafů uspořádané vnořitelností. Nejprve dokážeme definovatelnost každého grafu až do velikosti tři. Protože budeme muset k jazyku kvaziuspořádání přidat některé grafy jako konstanty, budeme se snažit najít nejmenší potřebnou množinu co možná nejmenších konstant. Postupně vybudujeme aparát, jehož prostřednictvím budeme schopni vyjádřit v jazyce vnořitelnosti vnitřní strukturu každého grafu. Nakonec vyšetříme některé aspekty definovatelnosti ve svazu univerzálních tříd orientovaných grafů. Ukážeme, že množina konečně generovaných a množina konečně axiomatizovatelných univerzálních tříd jsou definovatelné podmnožiny svazu.
|
|
|
Semigroups of lattice points
Scholle, Marek ; Kepka, Tomáš (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
V práci se zabýváme podpologrupami (Nm 0 , +), speciální diskuse je posléze věnována případům m = 1, m = 2 a m = 3. Dokážeme, že podpologrupa Nm 0 je konečně genero- vaná, právě když jí generovaný kužel je konečně generovaný, ekvivalentně polyhedrální, a popisujeme základní topologické vlastnosti takovýchto kuželů. Na příkladech doklá- dáme, že podmínky zaručující konečnou generovanost v N2 0 nelze snadno přenést do vyš- ších dimenzí. Definujeme Hilbertovu bázi a s ní související pojem Carathéodoryho ranku a kromě základních vlastností dokážeme, že Carathéodoryho rank podpologrupy Nm 0 , m = 1, 2, 3, je menší nebo roven m. Zvláštní pozornost věnujeme pologrupám obsahu- jícím netriviální podpologrupu "odčítacích prvků.
|
|
|
Sudé triangulace a komutativní grupy
Luber, Jan ; Drápal, Aleš (vedoucí práce) ; Kepka, Tomáš (oponent)
Název práce: Sudé triangulace a komutativní grupy Autor: Jan Luber Katedra: Katedra algebry Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. Abstrakt: Tato práce se zabývá latinskými záměnami a z nich zkonstruovanými triangulacemi. Nejprve uvádíme potřebné definice, vlastnosti latinských záměn, podrobnou konstrukci triangulace a především pak možnosti vnoření latinských záměn do abelovských grup. Tyto grupy jsou určeny definujícími relacemi zada- nými na vrcholech triangulace. Poté se věnujeme jednomu typu 3-homogenních latinských záměn, které odpovídají toroidálním triangulacím, jejichž každý vr- chol je stupně šest. Pro grupy vyjádříme matici definujících relací a spočteme jim beztorzní hodnost. V případě jednoduchých triangulací uvedeme explicitní popis grup a pomocí modulární aritmetiky získáme i pro složitější triangulace jejich častečný popis. Klíčová slova: latinská záměna, eulerovská triangulace, abelovská grupa
|
host ::
RSS.