|
|
Gromov-Hausdorffova metrika
Horský, Miroslav ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Vlasák, Václav (oponent)
V této bakalářské práci definujeme pojmy Hausdorffova metrika a Gromov-Hausdorffova metrika. Tyto pojmy definujeme několika různými způsoby a ukážeme, že jsou si navzá- jem ekvivalentní. Také dokážeme základní vlastnosti těchto metrik. Nakonec se podíváme na Gromov-Hausdorffovu konvergenci a dokážeme několik silných vlastností této konver- gence. 1
|
|
|
Věta o horském sedle a její aplikace
Příhoda, Vojtěch ; Černý, Robert (vedoucí práce) ; Vlasák, Václav (oponent)
Cílem této práce je formulovat a dokázat Větu o horském sedle a ukázat příklady její aplikace tak, aby student třetího ročníku matematiky nebo fy- ziky, jenž absolvoval alespoň úvodní kurs funkcionální analýzy, byl schopen práci porozumět. D·kaz Věty o horském sedle provedeme s pomocí Ekelan- dova variačního principu, který si rovněž formulujeme a dokážeme. Následně si ukážeme dva příklady její aplikace na d·kaz existence netriviálního sla- bého řešení eliptické parciální diferenciální rovnice obsahující nelinearitu se subkritickým r·stem. 1
|
|
|
Collections of compact sets in descriptive set theory
Vlasák, Václav ; Zelený, Miroslav (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent) ; Tišer, Jaroslav (oponent)
1 Název práce: Systémy kompaktních množin v deskriptivní teorii Autor: Václav Vlasák Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí doktorské práce: Doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D. Autorova e-mailová adresa: vlasakmm@volny.cz Abstract: Tato práce se skládá ze tří článků. V kapitole 2 se zabýváme souvislostmi mezi složitostí dané funkce f z polského prostoru X do polského prostoru Y a složitostí množiny C(f) = {K ∈ K(X); f K je spojitá}, kde symbol K(X) označuje prostor všech kompaktních podmnožin prostoru X opatřený Vietorisovou topologii. Dokážeme, že jestliže C(f) je ana- lytická, pak f je borelovská. Za předpokladu ∆1 2-determinovanosti ukážeme, že f je borelovská právě tehdy když C(f) je koanalytická. Předkládáme též podobné výsledky pro projektivní třídy. V kapitole 3 pokračujeme ve zkoumání systému C(f) a taktéž studujeme re- strikci tohoto systému na konvergentní posloupnosti(C(f)). Ukážeme, že systém C(f) je borelovský právě tehdy když f je borelovská. Předkládáme též podobné výsledky pro projektivní třídy. V kapitole 4 pojednáváme o HN -množinách, které tvoří důležitou podtřídu třídy množin jednoznačnosti pro trigonometrické řady. Velikost těchto tříd je zk- oumána pomocí systému měr...
|
|
| |
|
| |
|
|
Collections of compact sets in descriptive set theory
Vlasák, Václav ; Zelený, Miroslav (vedoucí práce)
1 Název práce: Systémy kompaktních množin v deskriptivní teorii Autor: Václav Vlasák Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí doktorské práce: Doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D. Autorova e-mailová adresa: vlasakmm@volny.cz Abstract: Tato práce se skládá ze tří článků. V kapitole 2 se zabýváme souvislostmi mezi složitostí dané funkce f z polského prostoru X do polského prostoru Y a složitostí množiny C(f) = {K ∈ K(X); f K je spojitá}, kde symbol K(X) označuje prostor všech kompaktních podmnožin prostoru X opatřený Vietorisovou topologii. Dokážeme, že jestliže C(f) je ana- lytická, pak f je borelovská. Za předpokladu ∆1 2-determinovanosti ukážeme, že f je borelovská právě tehdy když C(f) je koanalytická. Předkládáme též podobné výsledky pro projektivní třídy. V kapitole 3 pokračujeme ve zkoumání systému C(f) a taktéž studujeme re- strikci tohoto systému na konvergentní posloupnosti(C(f)). Ukážeme, že systém C(f) je borelovský právě tehdy když f je borelovská. Předkládáme též podobné výsledky pro projektivní třídy. V kapitole 4 pojednáváme o HN -množinách, které tvoří důležitou podtřídu třídy množin jednoznačnosti pro trigonometrické řady. Velikost těchto tříd je zk- oumána pomocí systému měr...
|
|
| |
|
|
Mountain climbing theorem
Šmídová, Kristýna ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Vlasák, Václav (oponent)
Název práce: Mountain climbing theorem Autor: Kristýna Šmídová Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D., Katedra matema- tické analýzy Abstrakt: Předmětem této práce je tzv. Mountain climbers' problem. Práce se zabývá otázkou, kdy pro dvojici spojitých funkcí f, g : [0,1] → [0,1], spl- ňujících f(0) = g(0) = 0 a f(1) = g(1) = 1, existuje dvojice funkcí k, h se stejnými vlastnostmi taková, že f (k(x)) = g (h(x)) pro všechna x z intervalu [0,1]. Pro po částech prosté funkce je existence dokázána za pomoci vhodné grafové reprezentace a principu sudosti, pro lokálně nekonstantní funkce je existence dokázána konstrukčně za pomoci stejnoměrné konvergence. Dále je uveden příklad dvojice funkcí, pro které vyhovující dvojice funkcí neexistuje. Cílem práce je s použitím vhodných ilustrací názorně a srozumitelně vysvět- lit příslušné matematické konstrukce. Klíčová slova: spojitá funkce, mountain climber, stejnoměrná konvergence, princip sudosti
|
|
|
Descriptive set properties of collections of exceptional sets in Harmonic analysis
Kovařík, Vojtěch ; Vlasák, Václav (vedoucí práce) ; Zelený, Miroslav (oponent)
V této práci studujeme systémy malých množin, které se objevují v harmonické analýze. Zvláštní důraz je kladen na množiny jednoznačnosti U a přidružené systémy H(N) , N ∈ N, U a U0. Zejména se zaměřujeme na porovnání velikostí těchto systémů, což provádíme pomocí tzv. polár - množin měr, které měří nulou všechny množiny z příslušného systému. Lyons ukázal, že v tomto smyslu je systém N∈N H(N) menší než U0. Hlavním cílem této práce je studium otázky, zdali totéž platí, nahradíme-li U0 podstatně menším systémem U. Za tímto účelem definujeme systém H(∞) a systémy množin typu N pro N ∈ N∪{∞}, a dokazujeme některé jejich vlastnosti, které by mohly přispět k vyřešení dané otázky. 1
|
|
|
Konstrukce von Kochovy vločky
Bouchala, Ondřej ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce) ; Vlasák, Václav (oponent)
A Kvazikonformní zobrazení z C na C je neformálně řečeno takové zobra- zení, které "nekonečně malé kružnice" zobrazí na "nekonečně malé elipsy" s omezeným poměrem poloos. Formálněji je to zobrazení, jehož reálná deri- vace ve skoro všech bodech (což je pro každý bod lineární zobrazení roviny na rovinu) zobrazuje kruhy na elipsy s omezeným poměrem poloos. Kochova vločka je známý induktivně definovaný fraktál, viz obrázek: V této práci pomocí Beurling-Ahlforsova rozšíření dokážeme, že existuje kvazikonformní zobrazení roviny na rovinu, které jednotkový kruh zobrazí na Kochovu vločku. 1
|
host ::
RSS.