|
|
Obrazy typických spojitých funkcí
Nešvera, Michal ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent)
Z Baireovy věty plyne, že residuální množiny v úplných metrických prostorech jsou "topologicky velké". Vlastnosti, které splňuje velká množina, se nazývají typické. Hlavní částí této práce jsou důkazy tvrzení, týkající se typických vlastností spojitých funkcí. Za tímto účelem jsou v první kapitole zavedeny potřebné definice a dokázána úplnost pro- storů spojitých funkcí. Jako první příklad typické vlastnosti je v druhé kapitole dokázána Banach-Mazurkiewiczova věta, která tvrdí, že nediferencovatelnost je typická vlastnost. Třetí kapitola této práce je věnována studiu typických vlastností spojitých zobrazení jednotkového intervalu do roviny. V poslední kapitole jsou dokázána tvrzení ohledně ty- pických vlastností spojitých zobrazení jednotkového intervalu do euklidovských prostorů vyšších dimenzí. 1
|
|
|
Brouwerova věta o pevném bodě (přístupy a historie)
Vítek, Tomáš ; Hušek, Miroslav (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Cílem práce bylo uvézt různé přístupy k důkazu Brouwerovy věty o pevném bodě a vyhnout se důkazům založeným na teorii homotopie, stupně zobrazení nebo jakékoliv netriviální algebraické topologii. Důkazy byly zvoleny tak, aby pro jejich porozumění dostačovaly pouze základní znalosti kombinatoriky a ma- tematické analýzy a čtenář se u nich dozvěděl i o jiných základních topologických větách. V práci nejprve kombinatoricky dokážeme Borsukovu-Ulamovu větu, ze které už Brouwerova věta jednoduše plyne. Následně použijeme základy matematické analýzy k důkazu věty známé jako The hairy ball problem, která také přímo implikuje Brouwerovu větu. Nakonec si ukážeme netradiční aplikaci Brouwerovy věty k důkazu základní věty algebry. 1
|
|
|
Gromov-Hausdorffova metrika
Horský, Miroslav ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Vlasák, Václav (oponent)
V této bakalářské práci definujeme pojmy Hausdorffova metrika a Gromov-Hausdorffova metrika. Tyto pojmy definujeme několika různými způsoby a ukážeme, že jsou si navzá- jem ekvivalentní. Také dokážeme základní vlastnosti těchto metrik. Nakonec se podíváme na Gromov-Hausdorffovu konvergenci a dokážeme několik silných vlastností této konver- gence. 1
|
|
|
Dynamické vlastnosti kontinuí
Karasová, Klára ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Bobok, Jozef (oponent)
V této práci vyšetřujeme dlouhodobý vývoj jednoho nebo více zobrazení metrického prostoru, zpravidla Peanova kontinua, do sebe z topologického hlediska. První kapitola je přípravou na dvě následující, shrneme v ní některé vlastnosti kompaktních prostorů se zvláštním důrazem na Peanova kontinua. Ve druhé kapitole se nejprve věnujeme znakům chaosu a poté dokážeme, že pro každé Peanovo kontinuum X existuje LEO zobrazení f : X → X, jehož množina periodických bodů je hustá. Takové f speciálně splňuje široce uznávanou Devaneyho definici chaosu. Třetí kapitola se zabývá topologickými fraktály. Dokážeme novou postačující podmínku, za které je Peanovo kontinuum topologickým fraktálem, a tou je nespočetně mnoho lokálních dělících bodů. Tento výsledek pak použi- jeme k částečnému zodpovězení otázek týkajících se regenerujících fraktálů. 1
|
|
|
H-compactifications of topological spaces
Tížková, Tereza ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Hušek, Miroslav (oponent)
H-kompaktifikace tvoří důležitý typ kompaktifikací se speciální vlastností takovou, že všechny automorfismy daného topologického prostoru mohou být na takové kompaktifi- kace spojitě rozšířeny. Van Douwen dokázal, že existují pouze tři H-kompaktifikace prostoru reálných čísel a pouze jedna H-kompaktifikace racionálních. Vejnar dokázal, že existují právě dvě H- kompaktifikace euklidovských prostorů vyšších dimenzí. V úvodu představíme koncept H-kompaktifikace, přičemž zvláštní důraz je kladen na Alexandrovu a Čech-Stoneovu kompaktifikaci. Shrneme existující poznatky o H-kompaktifikacích několika známých pro- storů. Hlavním výsledkem třetí kapitoly je důkaz, že existuje jediná H-kompaktifikace mno- žiny všech racionálních posloupností, a tou je právě Čech-Stoneova kompaktifikace. Kapi- tola dále popisuje vlastnosti množiny všech racionálních posloupností a jejích obojetných podmnožin. Některé z těchto vlastností - především silná nul-dimenzionalita a silná ho- mogenita - jsou pak využity k dosažení zmíněného výsledku. V poslední kapitole nás zajímá množina všech H-kompaktifikací Hilbertova prostoru l2 a navrhujeme tři způsoby, jak na tento problém nahlížet. Ukazujeme, že za určitých pod- mínek je jakákoliv H-kompaktifikace daného prostoru homeomorfní jeho Čech-Stoneově kompaktifikaci. Dále se díváme na...
|
|
|
Rozšiřování funkcí z podprostorů metrických prostorů
Hevessy, Michal ; Hušek, Miroslav (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Rozšiřování funkcí je v matematice klasická úloha. V této práci se budeme věnovat rozšiřování reálných funkcí, které jsou definované na metrických prostorech. V první ka- pitole zadefinujeme rozšíření funkcí pro metrické prostory. Ve druhé kapitole uvedeme známou metodu rozšíření speciální třídy stejnoměrně spojitých funkcí a zobecníme ji pro funkce spojité. Ve třetí kapitole prodiskutujeme metodu rozšiřování spojitých funkcí navr- ženou Whitneym. V poslední kapitole se pak budeme věnovat charakterizaci stejnoměrně spojitě rozšiřitelných funkcí, i v této kapitole zobecníme některá známá tvrzení. 1
|
|
|
H-compactifications of topological spaces
Tížková, Tereza ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Hušek, Miroslav (oponent)
H-kompaktifikace tvoří důležitý typ kompaktifikací se speciální vlastností takovou, že všechny automorfismy daného topologického prostoru mohou být na takové kompaktifi- kace spojitě rozšířeny. Van Douwen dokázal, že existují pouze tři H-kompaktifikace prostoru reálných čísel a pouze jedna H-kompaktifikace racionálních. Vejnar dokázal, že existují právě dvě H- kompaktifikace euklidovských prostorů vyšších dimenzí. Výsledek, který přinášíme v kapitole 2, říká, že existuje pouze jediná H-kompaktifikace množiny všech racionálních posloupností, a tou je Stone-Čechova kompaktifikace. Pro důkaz používáme silnou nul-dimenzionalitu, silnou homogenitu a další vlastnosti množiny všech racionálních posloupností a jejích obojetných podmnožin. Ve třetí kapitole si klademe otázku o množině všech H-kompaktifikací Hilbertova prostoru l2 a navrhujeme některé způsoby, jak tento problém řešit, např. charakterizace Stone-Čechovy kompaktifikace nebo nástroje používané k popisu H-kompaktifikací reál- ného prostoru dimenze 2. Nakonec se podíváme na analýzu množiny všech H-kompaktifikací prostoru pomocí kategorie teoretického přístupu a studujeme vlastnosti kategorií H-kompaktifikací a funk- torů v těchto kategoriích. 1
|
|
|
Homogeneity of topological structures
Vejnar, Benjamin ; Hušek, Miroslav (vedoucí práce) ; Pyrih, Pavel (oponent)
In the present work we study those compacti cations such that every autohomeomorphism of the base space can be continuously extended over the compacti cation. These are called H-compacti cations. We characterize them by several equivalent conditions and we prove that H-compacti cations of a given space form a complete upper semilattice which is a complete lattice when the given space is supposed to be locally compact. Next, we describe all H-compacti cations of discrete spaces as well as of countable locally compact spaces. It is shown that the only H-compacti cations of Euclidean spaces of dimension at least two are one-point compacti cation and the Cech-Stone compacti cation. Further we get that there are exactly 11 H-compacti cations of a countable sum of Euclidean spaces of dimension at least two and that there are exactly 26 H-compacti cations of a countable sum of real lines. These are all described and a Hasse diagram of a lattice they form is given.
|
|
|
Abelovsky regulární okruhy
Vejnar, Benjamin ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Růžička, Pavel (oponent)
Na/ev praco: Abelovsky regularni okruhy Autor: Benjamin Vejnar Katedra (listav): Katedra algebry VcdoLici bakalafske prace: Mgr. Jan 2emlicka, Ph.D. E-mail vedouctho: Jan.Zcmlicka&mJJ. cuni.cz Abstrakt: V pfcdloxene praci studujeme aritmeticke a strukturni vlastnosti abelovsky regularnich okruhu, tedy okruhu, jcjichx ka/xly levy i pravy konecne generova.ny ideal jo generovan idempotentnim prvkem, klery Ic/i v centra danoho okruhu. Napfiklad ka/,dy Boohmv okruh je abelovsky regularni. Venujume ye podininkam, ktere uplne diarakterizuji tn'du abelovsky regu- larnieli okruhu, jako napfiklad silna regularita. Vsimame si souvislosti mexi Booleovou algebrou vsch centralnich idempo1,entu daneho okruhu a hlavnimi idealy. Dale popiHUJeme topologit na nmo/ine visecli prvoidealu a avcdoniujeine si, '/e splyva s Lo])ologii ultrafiltrii na Booleove algebre idciiipotontd. Klicova slova: okruhy, idempoteiitni prvky, silne regularni okruhy Title: Abelian regular rings Author: Benjamin Vejnar Department: Department of Algebra Supervisor: Mgr. Jan Zemlieka, Ph.D. Supervisor's e-mail address: Jan.Zc:ttilicka((})'niff.cu'iii.cz Abstract: In the present work we study arithmetic and structural properties of abelian regular' rings. This means rings whose every left and right finitely generated ideal is generated by an idempotent...
|
|
|
Souvislé kompaktifikace
Vaváčková, Martina ; Simon, Petr (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Název práce: Souvislé kompaktifikace Autor: Martina Vaváčková Katedra: Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Petr Simon, DrSc., Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Abstrakt: Tato práce se věnuje studiu souvislých kompaktifikací vybraných Ticho- novových prostorů. Předmětem zájmu jsou především maximální prvky v relaci částečného uspořádání, definované na množině všech souvislých kompaktifikací daného prostoru. Nejprve charakterizujeme maximální souvislé kompaktifikace prostorů s konečně mnoha komponentami a zmiňujeme některé, zejména zobec- něné uspořádané prostory, které nemají žádnou souvislou kompaktifikaci. Dále se zabýváme souvislými kompaktifikacemi prostoru racionálních čísel. Popisujeme konstrukci kompaktifikace tohoto prostoru analogickou ke konstrukci Čechovy- Stoneovy kompaktifikace a ukazujeme nutnou a postačující podmínku souvislosti a maximality takové kompaktifikace. Klíčová slova: souvislý prostor, kompaktní prostor, konektifikace, kompaktifikace
|
host ::
RSS.