|
|
Banschewského funkce na komplementárních modulárních svazech
Mokriš, Samuel ; Růžička, Pavel (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
Název práce: Banschewského funkce na komplementárních modulárních svazech Autor: Samuel Mokriš Katedra: Katedra algebry Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Pavel Růžička, Ph.D., Katedra algebry Abstrakt: Banaschewského funkce na omezeném svazu L je antimonotónní zo- brazení svazu L do sebe, které každému prvku z L přiřadí nějaký jeho komple- ment. Na libovolném nejvýše spočetném komplementárním modulárním svazu L existuje Banaschewského funkce, jejíž obraz M tvoří booleovský podsvaz v L. Takové M je navíc maximálním booleovským podsvazem L a je určeno až na izomorfismus jednoznačně. V této práci záporně zodpovídáme související otázku, zda jsou každé dva maximální booleovské podsvazy daného spočetného komple- mentárního modulárního svazu izomorfní a zda je každý maximální booleovský podsvaz daného spočetného komplementárního modulárního svazu L obrazem nějaké Banaschewského funkce na L. Protipříklad dále zobecníme pro větší mo- hutnosti množin; pro libovolný daný nekonečný kardinál κ zkonstruujeme kom- plementární modulární svaz L kardinality κ a maximální booleovské podsvazy B a E svazu L takové, že B není obrazem žádné Banaschewského funkce na L, že existuje Banaschewského funkce na svazu L,...
|
|
|
Nekomutativní tělesa v teorii kódů
Svatoňová, Petra ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Holub, Štěpán (oponent)
Bezdrátová komunikace využívající více odesílacích a přijímacích antén je při použití vhodných časoprostorových kódů velmi efektivní. Spolehlivost kódů pro komunikaci lze posuzovat pomocí různých kritérií. Jedním ze základních je hod- nostní kritérium. V této práci se na něj zaměříme a zkonstruujeme prostřednic- tvím nekomutativních těles časoprostorové blokové kódy, které jej budou splňovat. Nejdříve zavedeme obecnou konstrukci a poté ji aplikujeme při vytvoření kon- krétních příkladů nekomutativních těles a příslušných kódů. Nakonec se budeme věnovat kritériu kódového zisku - představíme zlatý kód a nastíníme obecnou konstrukci perfektních časoprostorových kódů pomocí nekomutativních těles.
|
|
|
Struktura samomalých grup a modulů
Dvořák, Josef ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Název práce: Struktura samomalých grup a modulů Autor: Josef Dvořák Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. E-mail vedoucího: zemlicka@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: Práce shrnuje základní strukturní vlastnosti samomalých grup. Dále důkladně buduje teorii kvocientových kategorií dle Serreových tříd, přičemž se následně soustředí na kvocientovou kategorii dle třídy B ome- zených abelovských grup, nebot' ta je, jak je ukázáno, kategoriálně ekviva- lentní kvazikategorii, tj. kategorii s objekty abelovskými grupami a mnoa- žia-naa-mi homomorfismů Q⊗ZHomA (A, B). Tento přístup je dále rozvíjen ve větší obecnosti ve formě zobecněných kvocientových kategorií. Jsou též dopodrobna studovány duality mezi kvazikategoriemi beztorních a fak- torově divisibilních grup konečného ranku, resp. mezi kategoriemi samo- malých grup konečného ranku, přičemž tato dualita je užita na modifiko- vaný Fuchsův problém č. 34. Klíčová slova: samomalá grupa, faktorově divisibilní grupa, kvazikategorie, kvocientová kategorie 1
|
|
|
Vysoké okruhy
Penk, Tomáš ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
Perfektní a max okruhy jsou známy přes padesát let. Jejich teorie se stále intenzivně studuje. Podmínky, které je definují, jsou přitom zajímavé hlavně při studiu modulů, které nejsou noetherovské. V této práci nejprve shrneme základní poznatky o okruzích a modulech, přičemž se předpokládají předchozí znalosti pouze na úrovni základního kurzu. Poté, co shrneme některé elementární výsledky týkající se noetherovských modulů, budeme připraveni na definici vysokých modulů a vysokých okruhů. Dále ukážeme, že jsou v určitém směru zobecněním perfektních a max okruhů. Uvedeme některé příklady vysokých a nevysokých okruhů, přičemž se podrobněji zaměříme na komutativní okruhy. Poznatky, které tak získáme, se pokusíme zobecnit a využít je při hledání některých nutných a některých postačujících podmínek pro to, abychom o komutativním okruhu mohli prohlásit, zda je či není vysoký. Na závěr ukážeme, že pro noetherovské komutativní okruhy jsou tyto podmínky navzájem ekvivalentní, a dávají tak k pojmu vysoký okruh ekvivalentní charakterizaci.
|
|
|
Aplikace Gröbnerových bází v kryptografii
Fuchs, Aleš ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
Název práce: Aplikace Gröbnerových bází v kryptografii Autor: Aleš Fuchs Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Mgr. Jan Št'ovíček Ph.D., Katedra algebry Abstrakt: V této práci studujeme přípustná uspořádání a postupy redukce polynomu množinou jiných polynomů v prostředí polynomiálních okruhů nad konečnými tělesy. Zde hrají významnou roli Gröbnerovy báze nějakého ideálu, které díky svým vlastnostem umožňují řešit problém náležení do daného ideálu. Zkoumáme také vlastnosti takzvaných redukovaných Gröbnerových bází, které jsou pro daný ideál jednoznačně určené a v jistém ohledu mi- nimální. Dále se zabýváme rozšířením této teorie do prostředí volných alge- ber nad konečnými tělesy, kde proměnné nekomutují. Na rozdíl od prvního případu zde Gröbnerovy báze mohou být nekonečné i pro konečně generované oboustranné ideály. V poslední kapitole uvádíme asymetrický kryptosystém Polly Cracker založený právě na problému náležení do ideálu jak v komuta- tivní, tak v nekomutativní teorii. Zkoumáme známé metody kryptoanalýzy aplikované na tyto systémy a v několika případech i opatření, která útokům předchází. Souhrn opatření aplikujeme v poslední části věnované návrhům...
|
|
|
Grupové okruhy v teorii kódů
Horáček, Jan ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
Tato práce se zabývá lineárními samoopravnými kódy v grupovém okruhu. Je podán základní úvod do grupových okruhů a do kódování v grupových okruzích. Kód chápeme jako R-podmodul, což je zobecnění definice kódu jako ideálu. Popíšeme kódy odvozené od invertibilního prvku a od dělitele nuly. Provedeme testování parametrů kódu odvozených od invertibilního prvku. Vysvětlíme konstrukci LDPC kódů bez krátkých kružnic. Kromě určení generující a kontrolní matice kódů je kladen důraz na algebraické vlastnosti kódů a grupových okruhů. Zabýváme se také samoduálními kódy, reverzními kódy nebo počtem invertibilních prvků konečné grupové algebry cyklické grupy. 1
|
|
|
Gröbnerovy báze
Petržilková, Lenka ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Růžička, Pavel (oponent)
V této práci si nejprve připomeneme základní Buchbergerův algoritmus pro výpočet Gröbnerovy báze nad komutativními polynomiálními okruhy. Zabýváme se také jednoznačností Gröbnerovy báze pro daný ideál. Dále zkoumáme méně známý, ale pro některé případy efektivnější Faugèreův F4 algoritmus. V závěru první kapitoly tyto dva algoritmy porovnáme. V druhé kapitole rozebereme zobecnění Buchbergerova algoritmu pro nekomutativní okruhy a to jak pro volné tak pro faktorové algebry. Na rozdíl od komu- tativního případu zde mohou mít i konečně generované ideály nekonečné Gröbnerovy báze. Mimo jiné zde zkoumáme tzv. kvazi-nuly, tj. prvky, ze kte- rých přenásobením libovolným termem vznikne nula, a jejich roli při redukci polynomu množinou. 1
|
|
|
Set-theoretic methods in module theory
Slávik, Alexander ; Trlifaj, Jan (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
Třída modulů se nazývá dekonstruovatelná, pokud jde o třídu všech S-filtrovaných modulů pro nějakou množinu modulů S. Takovéto třdy nacházejí široké uplatnění v teorii aproximací modulů. V práci je dokázána dekonstruovatelnost třídy všech modulů majících C-resolventu a dekonstru ovatelnost tříd všech modulů s omezenou C-resolventní dimenzí za předpo kladu dekonstruovatelnosti třídy C. Dále jsou zkoumány lokálně F-volné moduly; je dokázána postačující podmínka na třídu F, aby byla třída všech lokálně F-volných modulů uzavřena na transfinitní extenze. Díky tomu lze zkonstruovat nové netriviální příklady nedekonstruovatelných tříd. Pre zentovaná metoda zároveň poskytuje alternativní důkaz nedekonstruova telnosti třídy všech plochých Mittag-Lefflerových modulů, nedávného vý sledku D. Herbera a J. Trlifaje.
|
|
|
Popis kryptosystému HFE
Jančaříková, Irena ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Tato bakalářská práce se zabývá popisem asymetrického kryptosystému HFE. Je v ní obsažen popis šifrování a dešifrování pomocí tohoto kryptosystému, odhady na časovou složitost soukromé i veřejné transformace. Odhady na paměťové nároky na uložení tajného a veřejného klíče. Práce dále obsahuje základní popis předchůdce kryptosystému HFE, kryptosystému C*. Součástí práce je i krátká pasáž o MQ problému, na kterém je postaveno fungování obou kryptosystémů a krátké pojednání o konečných tělesech, nad kterými jsou oba kryptosystémy definovány. Práce se zabývá i útokem, který dokazuje prolomitelnost C* pro naprostou většinu šifrových textů a obsahuje variantu tohoto útoku pro kryptosystém HFE.
|
|
| |
host ::
RSS.