|
|
Náhodné uzavřené množiny
Stroganov, Vladimír ; Honzl, Ondřej (vedoucí práce) ; Rataj, Jan (oponent)
V této bakalářské práci se zabýváme základy teorie náhodných množin. Definujeme v ní takové pojmy, jako kapacitní fukcionál, selekce, měřitelná a integrovatelná multifunkce, Castaingova reprezentace a Auman- nova střední hodnota náhodné uzavřené množiny. Uvedeme Choquetovu větu o vztahu kapacitních funkcionálů a náhodných množin, Himmelbergovu větu o měřitelnosti, věty o vlastnostech selekcí a střední hodnoty. Teorii do- plníme příklady, které demonstrují danou problematiku. 1
|
|
|
Nonabsolutely convergent integrals
Kuncová, Kristýna ; Malý, Jan (vedoucí práce) ; Rataj, Jan (oponent)
Název práce: Nonabsolutely convergent integrals Autor: Kristýna Kuncová Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Jan Malý, DrSc., Katedra matemat- ické analýzy Abstrakt: Cílem práce je zavést pojem neabsolutně konvergentního integrálu na metrickém prostoru s mírou a to tak, aby zahrnoval Lebesgueův integrál. K tomu potřebujeme důkladně popsat vztahy mezi prostory spojitých a lips- chitzovských funkcí. Následně vybudujeme tzv. UC-integrál funkce vzhledem k distribuci. Dokážeme, že naše konstrukce má rozumné vlastnosti a vyšetříme vztah k Lebesgueovu integrálu. Dále zavedeme UCN-integrál, který zanedbává množiny Hausdorffovy míry nula. Posléze se v práci věnujeme n-dimenzionálním metrickým currentům. Zavedeme pojem UC-integrálu vzhledem ke currentu a na závěr dokážeme obecnou verzi Gauss-Greenovy věty, jejímž speciálním případem je i Stokesova věta na varietách. Klíčová slova: Neabsolutní integrály, Vícerozměrná integrace, Gaussova-Gree- nova věta 1
|
|
|
Set-indexed stochastic processes
Schenk, Martin ; Pawlas, Zbyněk (vedoucí práce) ; Rataj, Jan (oponent)
This thesis deals with the problem of estimating the joint probability distribution of a marked process' parameters from a censored data. First, a Nelson-Aalen estimator of the cumulative hazard rate for one-dimensional case is constructed. This estimator is then smoothed by using a kernel function estimator. Then, a Kaplan-Meier estimator of the survival function is brought in. Further, a theory of set-indexed random processes is built up to be a base for the construction of a generalized Nelson-Aalen estimator of the cumulative hazard rate, which is then again smoothed. For a special case, a generalized Kaplan-Meier estimator of the multidimensional survival function is constructed. The application of the mentioned generalized estimators is shown on a particular case. These estimators are then used on simulated data.
|
|
|
Náhodné uzavřené množiny a procesy částic
Stroganov, Vladimír ; Rataj, Jan (vedoucí práce) ; Pawlas, Zbyněk (oponent)
V této práci se zabýváme problémy reprezentace náhodných uzavřených množin v Rd nabývajících hodnot na prostoru UX lokálně konečných sjednocení množin nějaké dané třídy X ⊂ F. Zkoumáme existenci jejích repre- zentací pomocí procesů částic z téhož prostoru X, zachovávajících invarianci vůči geometrickým pohybům, vůči nimž byla invariantní původní náhodná množina. Probíráme existenci takových reprezentací pro vybrané prakticky využitelné případy prostorů X: rozebíráme známý výsledek pro konvexní množiny a uvádíme důkazy pro množiny s kladným dosahem a pro k-rozměrné C1 plochy. Také uvádíme řadu výsledků souvisejících s reprezentací náhodných UX množin v obecném případě. 1
|
|
|
Random measurable sets and particle processes
Jurčo, Adam ; Rataj, Jan (vedoucí práce) ; Beneš, Viktor (oponent)
Náhodné měřitelné množiny a procesy částic Adam Jurčo Abstrakt V této práci se budeme zabývat procesy částic na obecnějších prostorech. Nejprve vyjdeme z prostoru Lebesgueovsky měřitelných množin reprezentovaných jejich indiká- tory s topologií danou L1 loc konvergencí. Dále se zabýváme topologickými vlastnostmi tohoto prostoru a jeho podprostorů množin konečného a lokálně konečného perimetru. Protože tyto prostory nesplňují obvykle kladené topologické předpoklady potřebné ke kon- strukci bodových procesů, použijeme jiný postup založený na předpokladech z teorie míry. To nám umožní definovat bodové procesy určené pomocí konečně rozměrných projekcí na měřitelných podmnožinách prostoru Lebesgueovsky měřitelných množin. Poté odvodíme vzorec pro objemový podíl takto zobecněného Booleova procesu. Dále se zaměříme na Booleův proces s částicemi konečného perimetru a odvodíme vzorec pro výpočet speci- fického perimetru tohoto procesu. 1
|
|
|
Náhodné měřitelné množiny
Fojtík, Vít ; Rataj, Jan (vedoucí práce) ; Pawlas, Zbyněk (oponent)
Cı́lem této práce je porovnat hlavnı́ dva modely náhodných množin, pevně zavedené náhodné uzavřené množiny (RACS) a novějšı́a obecnějšı́náhodné měřitelné množiny (RAMS). Nejprve zkoumáme topologie v pozadı́těchto modelůa ukážeme, že jsou velmi odlišné. Následně oba modely definujeme a uvedeme předchozı́ poz- natky o jejich vztahu. Hlavnı́m výsledkem práce je charakterizace těch RAMS, které neindukujı́odpovı́dajı́cı́RACS. Na závěr uvedeme přı́klady takových množin, včetně konstrukce translačně invariantnı́ho RAMS. 1
|
|
|
Generalized random tessellations, their properties, simulation and applications
Jahn, Daniel ; Beneš, Viktor (vedoucí práce) ; Rataj, Jan (oponent)
The past few years have seen advances in modelling of polycrystalline materi- als using parametric tessellation models from stochastic geometry. A promising class of tessellations, the Gibbs-type tessellation, allows the user to specify a great variety of properties through the energy function. This text focuses solely on tetrahedrizations, a three-dimensional tessellation composed of tetrahedra. The existing results for two-dimensional Delaunay triangulations are extended to the case of three-dimensional Laguerre tetrahedrization. We provide a proof of existence, a C++ implementation of the MCMC simulation and estimation of the models parameters through maximum pseudolikelihood. 1
|
|
|
O vnitřku minimálního konvexního mnohoúhelníku
Šplíchal, Ondřej ; Valtr, Pavel (vedoucí práce) ; Rataj, Jan (oponent)
Zvolme konečnou množinu bod· P v rovině v obecné poloze, tj. žádné 3 body neleží na přímce. Konvexní n-úhelník je minimální, pokud v jeho konvexním obalu neleží jiný konvexní n-úhelník s vrcholy v P. Erd®s a Szekeres (1935) ukázali, že pro každé n ≥ 3 existuje minimální číslo ES(n) takové, že mezi libovolnými ES(n) body v rovině v obecné poloze lze vybrat n bod·, které tvoří vrcholy konvexního n-úhelníku. Z jejich tvrzení vyplývá, že v topologic- kém vnitřku minimálního konvexního n-úhelníku m·že ležet jen omezený po- čet bod· P pro libovolnou volbu P. Označíme maximální takový počet jako mci(n). V práci ukážeme horní odhad mci(n) ≤ ES(n) − n a spodní odhad 2n−3 − n + 2 ≤ mci(n) pro n ≥ 3.
|
|
|
Consequences and applications of the Fock space representation theorem
Novotná, Daniela ; Beneš, Viktor (vedoucí práce) ; Rataj, Jan (oponent)
Důsledky a aplikace věty o reprezentaci Fockova prostoru Daniela Novotná Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova Abstrakt V této práci se zabýváme vybranými aplikacemi věty o reprezentaci Fock- ova prostoru. Jednou z nejzásadnějších aplikací je identita pro kovarianci dvou funkcionálů Poissonova bodového procesu, pomocí níž lze odhadnout korelační funkci bodového procesu s podmíněnou intenzitou. Tento výsledek jsme využili ke zobecnění některých asymptotických výsledků pro Gibbsovy procesy částic. Konkrétně jsme v kombinaci se Steinovou metodou odvodili tvar horní meze pro Wassersteinovu vzdálenost mezi standardním normálním rozdělením a rozdělením funkcionálu Gibssova procesu částic. Jako aplikaci tohoto výsledku uvádíme centrální limitní větu odvozenou pro funkcionál Gibbsova procesu úseček s párovým potenciálem.
|
|
|
Random sets and their curvatures
Zubaľ, Andrej ; Rataj, Jan (vedoucí práce) ; Beneš, Viktor (oponent)
V práci skúmame súvis medzi stochastickou a integrálnou geometriou. Opisujeme úlohu mier krivosti, a príslušných integrálnych vzorcov pre ne, v stochastických modeloch typu náhodných množín alebo procesov častíc. Navyše pracujeme s relatívne novým pojmom zvaným DC množiny. Hlavným výsledkom práce je dôkaz merateľnosti DC množín v priestore uzavretých množín d-rozmerného Euklidovského priestoru, čo nám umožňuje zaviesť stochastické modely pre DC množiny.
|
host ::
RSS.