Název:
Ultrafiltry a jejich monády
Překlad názvu:
Ultrafilters and their monads
Autoři:
Hladil, Josef ; Slávik, Alexander (vedoucí práce) ; Růžička, Pavel (oponent) Typ dokumentu: Bakalářské práce
Rok:
2022
Jazyk:
eng
Abstrakt: [eng][cze] Generalising the notion of an ultrafilter to structured sets, we construct the ultrafilter monad in the categories of partially ordered sets and finitely colourable graphs. This is done similarly to codensity monads, knowing that the codensity monad of the inclusion of finite sets into sets is the ultrafilter monad. We derive an equivalent definition of an ultrafilter on an object applicable for general graphs, also giving rise to a monad. We show that ultrafilters on a poset can be completely characterised in terms of suprema or infima of directed subsets when the poset has only finite antichains. We attempt to classify algebras over the poset ultrafilter monad; our results completely classify the algebras with all antichains finite as posets with a particular compact Hausdorff topology. 1Zobecňujíce pojem ultrafiltru na ostrukturované množiny, zkonstruujeme monádu ul- trafiltrů v kategoriích částečně uspořádaných množin a konečně obarvitelných grafů. Po- stupujeme obdobně jako u codensity monád, jelikož víme, že codensity monáda inkluze konečných množin mezi všechny množiny je izomorfní monádě ultrafiltrů. Odvodíme ekvi- valentní definici ultrafiltru na objektu, již lze aplikovat i v případě nikoliv konečně obar- vitelných grafů. I pomocí této definice lze sestrojit monádu. Ukážeme, že v případě, kdy dané uspořádání má pouze konečné antiřetězce, lze ultrafiltry na něm zcela popsat pomocí suprem a infim usměrněných podmnožin. Pokusíme se klasifikovat algebry nad monádou ultrafiltrů v kategorii uspořádání. Z našeho výsledku plyne úplná klasifikace algeber se všemi antiřetězci konečnými, jde o uspořádání spolu s jistým typem kompaktní Hausdor- ffovy topologie. 1
Klíčová slova:
ultrafiltr|monáda|částečné uspořádání|topologie; ultrafilter|monad|partial order|topology