Original title: Aplikace teorie ultrafiltrů
Translated title: Ultrafilters and their applications
Authors: Hýlová, Lenka ; Pražák, Dalibor (advisor) ; Vejnar, Benjamin (referee)
Document type: Master’s theses
Year: 2021
Language: cze
Abstract: [cze] [eng]
V této práci studujeme ultrafiltry a jejich různé aplikace v topologii, teorii veřejné volby a konstrukci nestandardního univerza. Nejprve uvedeme základní vlastnosti ultrafiltrů a ukážeme, jak se používají ke kon- strukci nestandardního univerza. Poté dokážeme Arrowovu větu o nemožnosti veřejné volby, která říká, že každý volební systém s konečnou množinou voličů splňující určité přirozené podmínky už nutně má aspoň jednoho diktátora, jenž určuje preference celé společnosti. To už ovšem není pravda, pokud je množina voličů nekonečná. Ultrafiltry hrají hlavní roli v důkazu tohoto tvrzení. S použitím nestandardního univerza ukážeme dva příklady volebních systémů s nekonečným počtem voličů, které nemají diktátora. Podobná věta platí i v případě, kdy preference jsou reálné funkce. Opět ukážeme dva příklady volebních systémů, které nejsou diktátorské - jeden s použitím Banachových limit a druhý pomocí hyperkonečných součtů. Nakonec použijeme ultrafiltry ke konstrukci Čechovy-Stoneovy kompaktifikace přirozených čísel. Ukážeme, že nestandardní rozšíření přirozených čísel spolu s vhodnou topologií je Čechova-Stoneova kompaktifikace množiny přirozených čísel. 1 This thesis studies ultrafilters and their various applications in topology, social choice theory and construction of a nonstandard universe. First of all, we introduce basic properties of ultrafilters and show how to use them to construct nonstandard framework. Next, we prove Arrow's impossibility theorem which states that every electoral system with a finite set of voters satisfying certain natural conditions necessarily admits at least one dictator who determines the society's preferences. However, if the set of voters is infinite, this is not true anymore and ultrafilters play a key role in the proof. We present two counterexamples in the infinite case using nonstandard framework. A similar theorem holds in the case where the preferences are real functions. Again, we show two examples of electoral systems that are not dictatorial - one using Banach limits and the other using hyperfinite sums. Finally, we use the ultrafilters to construct the Čech-Stone compactification of natural numbers. We show that the nonstandard enlargement of natural numbers equipped with suitable topology is the Čech-Stone compactification of the set of natural numbers. 1
Keywords: ultrafilter|nonstandard universe|social choice theory|Čech-Stone compactification; ultrafiltr|nestandardni univerzum|teorie veřejné volby|Čech-Stoneova kompaktifikace

Institution: Charles University Faculties (theses) (web)
Document availability information: Available in the Charles University Digital Repository.
Original record: http://hdl.handle.net/20.500.11956/127816

Permalink: http://www.nusl.cz/ntk/nusl-448357


The record appears in these collections:
Universities and colleges > Public universities > Charles University > Charles University Faculties (theses)
Academic theses (ETDs) > Master’s theses