|
|
Racionální lineární závislosti periodických bodů logistického zobrazení
Mik, Matěj ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Růžička, Pavel (oponent)
Body s periodou n polynomu f jsou právě kořeny, a tedy i prvky rozk- ladového nadtělesa, polynomu fn (x)−x, kde fn značí n-tou iteraci polynomu f. V práci se budeme zabývat popisem racionálních lineárních závislostí bodů s periodou n polynomu 4x(1−x), který určuje takzvané logistické zobrazení. Předvedeme popis závislostí pro n = 1, . . . , 5 a uvedeme poznatky získané o případu n = 6. Využívat při tom budeme počítačem spočtené rozklady polynomů nad racionálními čísly a jejich konečnými rozšířeními. Z rozkladů pomocí znalostí z komutativní a lineární algebry odvodíme souřadnice period- ických bodů vzhledem k nějaké bázi jejich lineárního obalu, což nám umožní jednoduše popsat jejich závislosti. Na závěr práce zformulujeme algoritmus na popis závislostí pro obecné n.
|
|
|
Krátké invertibilní prvky v cyklotomických okruzích
Kroutil, Jaroslav ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Tato bakalářská práce vychází z odborného článku, který pojednává o kritériu invertibility prvků ve speciálně volených cyklotomických okruzích. V této práci nejprve zopakujeme důležité pojmy a tvrzení z algebry, jež budeme potřebovat. Následně se budeme zabývat existencí nekonečně mnoha prvočísel splňujících podmínky, které využijeme k ireducibilnímu rozkladu cyklotomických polynomů. Na základě těchto polynomů definujeme cyklotomický okruh, ve kterém v závěru práce dokážeme invertibilitu prvků v závislosti na velikosti jejich normy.
|
|
|
Modules over string algebras
Löwit, Jakub ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
Cı́lem této práce je prozkoumat kategorie modulůnad takzvanými řetězcovými algebrami. Přitom se předevšı́m budeme soustředit na porozuměnı́ kotorznı́m párům v těchto kategoriı́ch, jejichž pochopenı́ se redukuje na určenı́ direktnı́ch rozkladů extenzı́ mezi moduly nad danou algebrou. V přı́padě těch řetězcových algeber, jejichž toulec je pouze orientovaný strom, se nám skutečně povede popsat jisté třı́dy dané těmito kotorznı́mi páry, a to pouze pomocı́čistě kombinatorických uzávěrových vlastnostı́. Pro obecné řetězcové algebry se odpovı́dajı́cı́ kombina- torika zdá být poměrně podobná, ačkoli mnohem techničtějšı́.
|
|
|
Problém LWE a bezpečnost schémat pro výměnu klíče
Václavek, Jan ; Příhoda, Pavel (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
Hrozba silného kvantového počítače vede ke snaze založit kryptosystémy na problémech, které budou těžké i pro kvantový počítač. V této práci si předsta- víme problém LWE, o kterém se předpokládá, že by takovým problémem mohl být. Nejprve si představíme mříže, které s problémem LWE úzce souvisí. Zave- deme základní pojmy, popíšeme mřížové problémy a vyřešíme cvičení týkající se pokrývajícího poloměru mříže. Poté definujeme problém LWE, představíme jeho varianty a ukážeme redukce dvou mřížových problémů na vhodnou variantu pro- blému LWE. K tomuto účelu definujeme pojem statistické vzdálenosti a dokážeme o něm tvrzení, která potřebujeme pro redukci. Nakonec ukážeme konkrétní vyu- žití problému LWE. Popíšeme schéma na výměnu klíče a naznačíme, jak dokázat jeho bezpečnost za předpokladu, že problém LWE je těžký. 1
|
|
|
Důkazy bezpečností hashovacích funkcí
Zpěváček, Marek ; Příhoda, Pavel (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
Tato práce se zaměřuje na důkaz redukce přibližného SBP na SIS. Důkaz provedl již Miklós Ajtai v roce 1996 ve své přelomové práci, avšak jeho důkaz je místy často nejasný a některé kroky nejsou dostatečně rozepsány. Redukce je typu nejhorší případ převeden na průměrný případ. Před zmíněnou prací Ajtaie nebyla známa žádná redukce takového typu. Proto nám přijde vhodné se k důkazu vrátit a rozepsat všechny jeho kroky do většího detailu. Dále je v práci shrnuta složitost základních problémů na mřížkách. Na základě těchto složitostí a dokázané redukce je možné definovat hashovací funkce odolné vůči kolizím. Na takové funkce se tato práce také zběžně zaměřuje. 1
|
|
|
Max okruhy
Beneš, Daniel ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
V této práci se zabýváme max okruhy, což jsou okruhy, u kterých každý mo- dul má maximální podmodul. Nejprve dokazujeme charakterizaci komutativních okruhů jako okruhů s T-nilpotentním Jacobsonovým radikálem a von Neuman- novsky regulárním faktorem podle Jacobsonova radikálu. Dále se zaměřujeme na grupové okruhy, kde popíšeme všechny komutativní gruové max okruhy. To jsou právě ty grupové okruhy, které jsou složeny z komutativního max okruhu a torzní abelovské grupy obsahující jen konečně mnoho prvků řádu pn takového, že p není invertibilní jako prvek okruhu. Nakonec využijeme této charakterizace ke kon- strukci nekomutativních grupových okruhů, které jsou max, ale nejsou perfektní.
|
|
|
Algorithms for the computation of Galois groups
Kubát, David ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Růžička, Pavel (oponent)
Tato práce se zabývá algoritmy pro výpočet Galoisovy grupy nad racionálnímy čísly. Jako první je představen klasický algoritmus R. Stauduhara. Pozornost je poté věnována výkladu teorie nutné pro vysvětlení modulárního algoritmu K. Yokoyamy. Definujeme pojem univerzálního rozkladového okruhu polynomu. Pro separabilní polynom studujeme idempotenty tohoto okruhu. Práce zahrnuje příklady pro polynomy stupně 3 a 4.
|
|
|
Kryptografické využití multilineárních forem
Rabas, Tomáš ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Tato práce popisuje teoretický koncept multilineárního zobrazení a jeho praktic- kou realizaci pomocí konstrukce Garg-Gentry-Halevi (GGH) Stupňovité kódovací schéma. V této konstrukci, která je založena na ideálových mřížích, matematicky zdůvodníme předpoklady konstrukce a vyjasníme některé algebraické nejasnosti, především invertibilitu náhodně zvoleného prvku z v okruhu Rq. Využití teore- tického konceptu i její praktické realizace pak ukážeme v protokolu jednokolové Diffie-Hellman výměny klíčů mezi N účastníky.
|
|
|
Eliptické křivky nad konečnými tělesy
Beran, Adam ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
V této práci se zabýváme teorií eliptických křivek, zvláštní pozornost věnujeme eliptickým křivkám nad konečnými tělesy. Představíme základní teorii, zohled- níme přitom několik technických aspektů (singularita křivky, vliv charakteristiky tělesa na rovnici křivky). Algebraicky odvodíme a zformulujeme grupový zákon neboli definici operace sčítání na množině bodů na eliptické křivce. Dále zpracu- jeme důkaz známého faktu, že množina bodů na eliptické křivce spolu s operací sčítání tvoří komutativní grupu. K důkazu přistoupíme elementárně, některé vý- počty z důvodu jejich náročnosti provedeme v počítačovém programu Mathema- tica. Nakonec studujeme endomorfismy eliptických křivek nad konečnými tělesy (homomorfismy na množině bodů eliptické křivky, jež jsou zadané racionálními funkcemi). Pomocí získaných výsledků dokážeme Hasseho větu, která poskytuje odhad na řád grupy bodů na eliptické křivce nad konečným tělesem. 1
|
|
|
Multilineární zobrazení nad celými čísly
Havránek, František ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Šaroch, Jan (oponent)
Cílem práce je popsat schéma [CLT15], které je založené na Diffie-Hellmanovu schématu a využívá multilineární zobrazení nad celými čísly. Toto schéma umož- ňuje dohodu společného šifrovacího klíče mezi několika účastníky. Schéma úrovně κ (využívající κ-lineární zobrazení) umožňuje dohodu mezi κ + 1 účastníky. Práce zavádí základní pojmy, popisuje potřebnou teorii, jejímž základem je Čínská věta o zbytcích, a dále přípravu a použití schématu. Také je dokázána korektnost sché- matu a diskutovány související požadavky na základní parametry.
|
host ::
RSS.