|
|
High order numerical method in modelling and control systems
Veigend, Petr ; Horák, David (oponent) ; Schirrer, Alexander (oponent) ; Šátek, Václav (vedoucí práce)
Control systems are widely used as they enable precise management and regulation of complex processes across various industries. Ordinary differential equations are widely used in control theory because they provide a mathematical framework to describe the dynamic behaviour of control systems. They allow stability analysis, have good performance characteristics and can effectively regulate and optimise systems responses in real-time. The high-order numerical methods are not often used in the real-time context because of the large number of operations. The thesis deals with the numerical solution of ordinary differential equations using a higher-order variable-step variable-order numerical method based on the Taylor series. The method is defined for linear and non-linear problems, and several optimisations to increase its performance are introduced. The positive properties of the method are thoroughly analysed and demonstrated on a set of real-world technical problems. The results show that the Taylor-series-based method can be used in the area of control and regulation and outperforms the state-of-the-art methods in terms of speed and accuracy of the calculation.
|
|
|
Řešení diferenciálních rovnic metodou Laplaceovy transformace
Klimeš, Lubomír ; Tomášek, Petr (oponent) ; Čermák, Jan (vedoucí práce)
Laplaceova transformace je velmi silným matematickým nástrojem pro řešení obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Její využití je široké - lze ji použít na lineární rovnice prvního i vyšších řádů, velmi vhodná je pro řešení diferenciálních rovnic s více pravými stranami (a to i nespojitými) a v neposlední řadě ji lze také aplikovat na soustavy ODR. Laplaceova transformace se intenzivně využívá především v teorii řízení, kde transformace odpovídající diferenciální rovnice regulační soustavy umožňuje analyzovat chování této soustavy, např. reakce (odezvy) systému na vstupní veličinu. Cílem práce bylo uvést základy teorie Laplaceovy transformace a demonstrovat tento silný matematický aparát při řešení konkrétních úloh, včetně využití software pro symbolickou matematiku Maple.
|
|
|
Využití optimalizace v inženýrských úlohách
Klepáč, Jaromír ; Popela, Pavel (oponent) ; Mrázková, Eva (vedoucí práce)
Tato bakalářská práce se zabývá problémem využití optimalizace v inženýrských úlohách. Konkrétně zpracovává úlohu návrhu optimálních rozměrů spojitě zatíženého nosníku s~určitými požadavky na konečnou hmotnost a tuhost nosníku. Abychom dobře porozuměli všem pojmům užitým v řešení ilustrativní úlohy, obsahuje tato práce také stručný úvod do problematiky optimalizace, výklad základních pojmů z teorie obyčejných diferenciálních rovnic a z oblasti pružnosti a pevnosti. Výsledky získané optimalizací ve výpočetním softwaru GAMS budou ověřeny analytickým výpočtem a porovnány s~alternativním řešením v programu ANSYS.
|
|
|
Analýza diferenciálních rovnic systémů s úzkými místy
Borkovec, Ondřej ; Opluštil, Zdeněk (oponent) ; Kisela, Tomáš (vedoucí práce)
Tato práce se zabývá modelováním toku výrobků skrze úzká místa pomocí obyčejných diferenciálních rovnic. Model vychází z hydrodynamické analogie. V práci jsou dále uvedeny podmínky pro udržitelnost systému, tedy požadavky na nepřekročení jeho maximální kapacity, aby tok výrobků mohl neustále procházet daným místem. Pomocí modelu jsou v práci dále spočteny příklady pro různé systémy.
|
|
|
Analýza stiff soustav diferenciálních rovnic
Šátek, Václav ; Dalík, Josef (oponent) ; Horová, Ivana (oponent) ; Kunovský, Jiří (vedoucí práce)
Řešení tuhých ("stiff") soustav diferenciálních rovnic patří i v současné době stále mezi komplikované úlohy. Základním problémem je přesná definice tuhých systémů. Jednoznačná definice tuhých systémů stále neexistuje. Problémem je dále i detekce tuhých systémů diferenciálních rovnic. K řešení se v praxi využívají implicitní numerické metody nižších řádů, jejichž oblasti stability jsou relativně velké. Ve své práci se zabývám numerickým řešením obyčejných diferenciálních rovnic především numerickým výpočtem využívajícím metody Taylorovy řady. Analyzuji vznik tuhosti jednotlivých systémů diferenciálních rovnic, ukazuji možnou náhradu některých tuhých systémů ekvivalentními systémy bez tuhosti. Dále zkoumám možnost detekce tuhých systémů pomocí členů explicitní Taylorovy řady, zaměřuji se na stabilitu explicitní a implicitní Taylorovy řady. V závěru práce experimentálně ověřuji možnosti řešení tuhých systémů s využitím implicitní Taylorovy řady, zkoumám vhodnost použití víceslovní aritmetiky a navrhuji vhodný paralelizovatelný algoritmus implicitní Taylorovy řady s rekurentním výpočtem členů a Newtonovou iterační metodou (ITMRN).
|
|
| |
|
|
Optimalizace v inženýrských úlohách
Kokrda, Lukáš ; Hrabec, Dušan (oponent) ; Popela, Pavel (vedoucí práce)
Tato bakalářská práce se zabývá konvexní optimalizací a konkrétně zpracovává návrh optimálních podpěr zatíženého nosníku. Pro porozumění řešené problematiky jsou vyloženy základní pojmy z konvexní optimalizace, teorie obyčejných diferenciálních rovnic a pružnosti a pevnosti. Po sestavení modelu, s využitím předchozích poznatků, jsme získali výsledky výpočtem v programu MATLAB.
|
|
|
Matematické metody v ekonomii
Válka, Vojtěch ; Doubravský, Karel (oponent) ; Novotná, Veronika (vedoucí práce)
Tato bakalářská práce zpracovává problematiku obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. První část je věnována teorii diferenciálních rovnic. Ve druhé části jsou uvedeny řešené i neřešené příklady na jednotlivé druhy diferenciálních rovnic. Na závěr je uvedeno několik příkladů použití diferenciálních rovnic v ekonomii. Práce má sloužit jako učební materiál pro studenty ekonomických oborů.
|
|
|
Numerická analýza tuhých systémů diferenciálních rovnic
Pavelka, Ondřej ; Zatočilová, Jitka (oponent) ; Tomášek, Petr (vedoucí práce)
Tato bakalářská práce se zabývá numerickým řešením systémů obyčejných diferenciálních rovnic. V práci jsou nejprve zavedeny a popsány jednotlivé numerické metody určené k~řešení diferenciálních rovnic, poté je vyšetřována jejich stabilita. Hlavním cílem je analýza tuhosti vybraných systémů diferenciálních rovnic, výběr vhodné numerické metody a následné řešení v prostředí MATLAB.
|
|
|
Stability and convergence of numerical computations
Sehnalová, Pavla ; Dalík, Josef (oponent) ; Horová, Ivana (oponent) ; Kunovský, Jiří (vedoucí práce)
The aim of this thesis is to analyze the stability and convergence of fundamental numerical methods for solving ordinary differential equations. These include one-step methods such as the classical Euler method, Runge-Kutta methods and the less well known but fast and accurate Taylor series method. We also consider the generalization to multistep methods such as Adams methods and their implementation as predictor-corrector pairs. Furthermore we consider the generalization to multiderivative methods such as Obreshkov method. There is always a choice in predictor-corrector pairs of the so-called mode of the method and in this thesis both PEC and PECE modes are considered. The main goal and the new contribution of the thesis is the use of a special fourth order method consisting of a two-step predictor followed by an one-step corrector, each using second derivative formulae. The mathematical background of historical developments of Nordsieck representation, the algorithm of choosing a variable stepsize or an error estimation are discussed. The current approach adapts well to the multiderivative situation in variable stepsize formulations. Experiments for linear and non-linear problems and the comparison with classical methods are presented.
|
host ::
RSS.