|
|
Moderní asymetrické kryptosystémy
Walek, Vladislav ; Sobotka, Jiří (oponent) ; Malina, Lukáš (vedoucí práce)
Asymetrická kryptografie používá dvojici klíčů k šifrování veřejný klíč a k dešifrování soukromý klíč. Mezi asymetrické kryptosystémy patří RSA, ElGamal, eliptické křivky a jiné. Obecně je asymetrická kryptografie používaná hlavně pro utajování krátkých zpráv pro přenos šifrovacího klíče pro symetrickou kryptografii. Práce pojednává o těchto systémech a implementuje vybrané systémy (RSA, ElGamal, McEliece, eliptické křivky a NTRU) do programu. Pomocí programu lze testovat vlastnosti vybraných kryptosystémů. Díky naměřeným hodnotám jsou porovnány tyto systémy a lze vyhodnotit jejich časovou a paměťovou náročnost. Z výsledků lze předpovědět jejich budoucí použití v moderních informačních systémech.
|
|
|
Shor's algorithm in Quantum Cryptography
Nwaokocha, Martyns ; Vašík, Petr (oponent) ; Hrdina, Jaroslav (vedoucí práce)
Cryptography is a very important aspect of our daily lives as it gives the theoretical foun-dation of information security. Quantum computation and information is also becoming avery important field of science because of its many application areas including cryptologyand more specifically in public key cryptography.The difficulty of numbers into its prime factors is the basis of some important publickey cryptosystems key of which is the RSA cryptosystem. Shor’s Quantum factoring al-gorithm leverages most especially the quantum interference effect of quantum computingto factor semi-prime numbers in polynomial time on a quantum computer. Though thecapacity of current quantum computers to execute the Shor’s Algorithm is very limited,there are many extensive foundational scientific research on various techniques of opti-mizing the algorithm in terms of factors such as number of qubits, depth of the circuitand number of gates.In this thesis, various variants of the Shor’s factoring algorithm and quantum circuits arediscussed, analysed and compared. Also, some variants of the Shor’s algorithm are simu-lated and actually executed on simulators and quantum computers in the IBM QuantumExperience platform. The simulation results are compared in terms of their complexityand success rate.The organization of the thesis is as follow: Chapter 1 discusses some key historical resultin quantum cryptography, states the problem discussed in this thesis and presents the ob-jectives to be achieved. Chapter 2 summarizes the mathematical background in quantumcomputing and public key cryptography as well as describing the notation used through-out the thesis. This also explains how a realizable order-finding or factoring algorithmcan be used to break the RSA cryptosystem. Chapter 3 presents the building blocks ofShor’s algorithm including the Quantum Fourier Transform, Quantum Phase Estimation,Modular Exponentiation and Shor’s algorithm in detail. Different optimization variantsof the quantum circuits are also presented and compared here. Chapter 4 presents theresults of the simulations of the various versions of the Shor’s algorithm. In Chapter 5, wediscuss the achievement of thesis goals, summarize the results of the research and outlinepossible future research directions.
|
|
|
Paralelizace faktorizace celých čísel z pohledu lámání RSA
Breitenbacher, Dominik ; Henzl, Martin (oponent) ; Homoliak, Ivan (vedoucí práce)
Práce se zabývá faktorizací celých čísel. Faktorizace je nejznámější a nejpoužívanější metodou kryptoanalýzy RSA. V rámci této práce byla vybrána a implementována faktorizační metoda zvaná SIQS. I když se jedná o nejrychlejší metodu (do 100 dekadických číslic), není možné ji efektivně počítat v polynomiálním čase, a tak se hledají různé možnosti, jak tuto metodu co nejvíce urychlit. Jako první se nabízí paralelizace. K tomuto účelu bylo využito OpenMP. Další možností je optimalizace kódu. Cílem této práce je také ukázat, jak jednoduše lze v mnoha případech využít paralelizace kódu a dále, jak díky podrobné analýze kódu lze dosáhnout poměrně velkého urychlení. Použitá metodika iteračního provádění optimalizací se ukázala jako velmi účinná. Touto metodikou byla implementace SIQS vylepšena tak, že faktorizace byla urychlena až 100-krát, v některých částech kódu dokonce ještě více.
|
|
|
Výuka algebraických výrazů pomocí algebraických dlaždic
Kuchaříková, Gabriela ; Vondrová, Naďa (vedoucí práce) ; Novotná, Jarmila (oponent)
Primárním cílem předkládané práce je připravit a realizovat výuku výrazů s proměnnými v osmém ročníku základní školy za podpory algebraických dlaždic tak, aby žáci pochopili základní principy úprav jednoduchých algebraických výrazů. Sekundárním cílem bylo zjistit, zdali je možné tuto výukovou metodu aplikovat i v online prostředí, které bylo nutné na základě pandemie Covid-19 využít. Teoretická část práce se zmiňuje o zavedení symbolického jazyka algebry a o způsobech chápání písmene (proměnné). Její součástí jsou definice základních pojmů algebry na základní škole a rešerše vybraných učebnic. Jako podklad pro přípravu výzkumné části sloužila i zmínka o hladinách práce žáků s algebraickými výrazy a kategorizování chyb, kterých se žáci při úpravách dopouštějí. Nechybí zde ani představení dvou typů algebraických dlaždic. Experimentální část práce je orientována na propedeutiku dlaždic prostřednictvím operací s celými čísly, výuku výrazů s proměnnou s využitím algebraických dlaždic a rozšíření výuky výrazů na základní škole (Vietovy vzorce, doplnění na čtverec). V dílčích oddílech, které se zaměřují na jednotlivé operace s výrazy, jsou uvedeny použité úlohy během výuky a průběh řešení vybraných úloh je zaznamenán v rozhovorech mezi žáky a vyučujícím. Uvedena jsou zde pochybení žáků s jejich řešením...
|
|
|
Solving diophantine equations by factorization in number fields
Hrnčiar, Maroš ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Název práce: Řešení diofantických rovnic rozkladem v číselných tělesech Autor: Bc. Maroš Hrnčiar Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D., Mathematisches Institut, Georg-August Universität Göttingen Abstrakt: Problém řešitelnosti diofantických rovnic je jedním z nejstarších ma- tematických problémů v historii. Postupně se vyvinuly různé přístupy k řešení určitých typů rovnic, z nichž se v práci zabýváme převážně metodou využívající faktorizaci v algebraickém číselném tělese. Myšlenkou této metody je vyjádřit rovnici ve tvaru L = yn , kde levá strana L je součin typicky lineárních fak- torů s koeficienty v daném číselném tělese. Při splnění několika předpokladů po- tom můžeme každý z faktorů napsat jako n-tou mocninu. Klíčovou roli při apli- kaci metody hraje struktura číselných těles, proto neoddělitelnou součást práce tvoří přehled algebraické teorie čísel. Kromě výkladu obecné teorie jsou zde uve- dené i výpočty v jednotlivých kvadratických a kubických tělesech popisující jejich vlastnosti. Hlavním předmětem práce je však řešení konkrétních úloh. Například v rovnici x2 + y2 = z3 se potýkáme s netriviálními společnými děliteli faktorů v...
|
|
|
Shor's algorithm in Quantum Cryptography
Nwaokocha, Martyns ; Vašík, Petr (oponent) ; Hrdina, Jaroslav (vedoucí práce)
Cryptography is a very important aspect of our daily lives as it gives the theoretical foun-dation of information security. Quantum computation and information is also becoming avery important field of science because of its many application areas including cryptologyand more specifically in public key cryptography.The difficulty of numbers into its prime factors is the basis of some important publickey cryptosystems key of which is the RSA cryptosystem. Shor’s Quantum factoring al-gorithm leverages most especially the quantum interference effect of quantum computingto factor semi-prime numbers in polynomial time on a quantum computer. Though thecapacity of current quantum computers to execute the Shor’s Algorithm is very limited,there are many extensive foundational scientific research on various techniques of opti-mizing the algorithm in terms of factors such as number of qubits, depth of the circuitand number of gates.In this thesis, various variants of the Shor’s factoring algorithm and quantum circuits arediscussed, analysed and compared. Also, some variants of the Shor’s algorithm are simu-lated and actually executed on simulators and quantum computers in the IBM QuantumExperience platform. The simulation results are compared in terms of their complexityand success rate.The organization of the thesis is as follow: Chapter 1 discusses some key historical resultin quantum cryptography, states the problem discussed in this thesis and presents the ob-jectives to be achieved. Chapter 2 summarizes the mathematical background in quantumcomputing and public key cryptography as well as describing the notation used through-out the thesis. This also explains how a realizable order-finding or factoring algorithmcan be used to break the RSA cryptosystem. Chapter 3 presents the building blocks ofShor’s algorithm including the Quantum Fourier Transform, Quantum Phase Estimation,Modular Exponentiation and Shor’s algorithm in detail. Different optimization variantsof the quantum circuits are also presented and compared here. Chapter 4 presents theresults of the simulations of the various versions of the Shor’s algorithm. In Chapter 5, wediscuss the achievement of thesis goals, summarize the results of the research and outlinepossible future research directions.
|
|
|
Algoritmy pro faktorizaci čísel speciálního tvaru
Lorenc, Filip ; Příhoda, Pavel (vedoucí práce) ; Růžička, Pavel (oponent)
Bakalářská práce se zabývá třemi faktorizačními algoritmy - Pollardovou p-1 metodou, Williamsovou p+1 metodou a metodou eliptických křivek ECM. Cílem práce je algoritmy teoreticky popsat a poté je porovnat na konkrétních vstupech. U každého algoritmu popíšeme základní a rozšířenou verzi a potom odvodíme jejich časovou složitost. V první kapitole definujeme B-mocnost a B-hladkost čísla a uvedeme jejich odhady. Druhá, třetí a čtvrtá kapitola je o popisu algoritmů a v poslední kapitole porovnáváme jejich efektivitu a výkon. Část práce obsahuje základní teorii o eliptických křivkách, které se používají v ECM. K dispozici je i program obsahující tyto algoritmy.
|
|
|
The Description of the Program for Factorization of Large Numbers
Levek, Vladimír
The article describes the algorithm for factorization of large numbers. If there is the result of the product of two prime numbers, then the program can find the factors. The first part of the article generally introduces the problem of factoring large integers and its impact in the field of the cryptography. The next part describes the algorithm and the program for calculation. At the end of the article there is a summary of the possibilities of the program.
|
|
|
Analýza algoritmu SQUFOF
Langer, Lukáš ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Tato práce se zabývá sesbíráním faktů a vypracováním celistvé analýzy al- goritmu SQUFOF. Po krátkém historickém úvodu popisuje, jak spolu souvisí binární kvadratické formy reprezentující číslo N, rozvoj čísla √ N řetězovými zlomky, ideály v okruhu Z( √ N) a svazy v Q( √ N). Tato práce dále nabízí nástroje, jak mezi těmito strukturami plynule přecházet a nakonec s jejich pomocí ukazuje, jak algoritmus SQUFOF funguje. 1
|
|
|
Solving diophantine equations by factorization in number fields
Hrnčiar, Maroš ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Název práce: Řešení diofantických rovnic rozkladem v číselných tělesech Autor: Bc. Maroš Hrnčiar Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D., Mathematisches Institut, Georg-August Universität Göttingen Abstrakt: Problém řešitelnosti diofantických rovnic je jedním z nejstarších ma- tematických problémů v historii. Postupně se vyvinuly různé přístupy k řešení určitých typů rovnic, z nichž se v práci zabýváme převážně metodou využívající faktorizaci v algebraickém číselném tělese. Myšlenkou této metody je vyjádřit rovnici ve tvaru L = yn , kde levá strana L je součin typicky lineárních fak- torů s koeficienty v daném číselném tělese. Při splnění několika předpokladů po- tom můžeme každý z faktorů napsat jako n-tou mocninu. Klíčovou roli při apli- kaci metody hraje struktura číselných těles, proto neoddělitelnou součást práce tvoří přehled algebraické teorie čísel. Kromě výkladu obecné teorie jsou zde uve- dené i výpočty v jednotlivých kvadratických a kubických tělesech popisující jejich vlastnosti. Hlavním předmětem práce je však řešení konkrétních úloh. Například v rovnici x2 + y2 = z3 se potýkáme s netriviálními společnými děliteli faktorů v...
|
host ::
RSS.