|
|
The Qualitative and Numerical Analysis of Nonlinear Delay Differential Equations
Dvořáková, Stanislava ; Baštinec, Jaromír (oponent) ; Šremr,, Jiří (oponent) ; Čermák, Jan (vedoucí práce)
This thesis formulates the asymptotic estimates of solutions of the so-called sublinear and superlinear differential equations with a delayed argument. These estimates are given in terms of auxiliary functional equations and inequalities. Further this thesis discusses the qualitative properties of some delay difference equations originating from discretizations of studied differential equations. We also deal with the resemblances between asymptotic behaviour of solutions of given equations in the continuous and discrete form, considering general as well as particular cases. We discuss stability properties of the $\theta$-method discretizations, too. Several examples illustrating the obtained results are included in the thesis.
|
|
|
Řešení diferenčních rovnic a jejich vztah s transformací Z
Klimek, Jaroslav ; Smékal, Zdeněk (oponent) ; Růžičková,, Miroslava (oponent) ; Diblík, Josef (vedoucí práce)
Tato disertační práce pojednává o řešení diferenčních rovnic a soustřeďuje se na metodu řešení diferenčních rovnic pomocí vlastních vektorů. V první části jsou v přehledu nejdříve uvedeny základní pojmy diferenčních rovnic jako dynamika diferenčních rovnic, lineární diferenční rovnice prvního a vyššího řádu. Dále jsou v této kapitole připomenuty i systémy diferenčních rovnic včetně fundamentální matice a popisu obecného řešení. Nakonec je připomenuta metoda řešení diferenčních rovnic variací konstant a taktéž transformace skalárních rovnic na systém. Ve druhé části práce rozebírá některé známé postupy a metody, jak vyřešit lineární diferenční rovnice. Připomenuta je transformace Z, její význam a použití při hledání řešení diferenčních rovnic. Dále je zmíněna diskrétní analogie Putzerova algoritmu, neboť tento algoritmus byl často používán při kontrole výsledků získaných nově popsaným algoritmem v dalších částech práce. Rovněž jsou popsány některé způsoby výpočtu mocniny matice soustavy. V další sekci je pak popsán princip Weyrovy metody, která je výchozím bodem pro další rozvinutí teorie, a také je zmíněn výsledek výzkumu Jiřího Čermáka v této oblasti. Třetí část disertace popisuje vlastní řešení systému diferenčních rovnic vlastními vektory, které je založeno na principu Weyrovy metody pro diferenciální rovnice. Teoreticky je zde popsáno řešení homogenního systému diferenčních rovnic s konstantními koeficienty včetně důkazu a toto řešení je pak rozšířeno na nehomogenní systémy. V návaznosti na tuto teorii je rozebrán vliv násobnosti kořene a nulity na tvar řešení. V poslední části je pak popsána implementace algoritmu v programu Matlab pro základní jednodušší případy a jeho použití pro některé případy diferenčních rovnic či systémů s těmito rovnicemi. Závěrečná část je svým zaměřením více praktická a ukazuje použití navrženého algoritmu a postupu. V první sekci je algoritmus porovnáván s transformací Z a metodou variace konstant a názorně je zde ukázáno, jak lze dospět ke stejnému řešení použitím těchto tří postupů. Ve druhé sekci je pak příklad řešení odezvy proudu v obvodu RLC. Nejdříve je popsáno řešení spojitého případu, následně je úloha převedena do diskrétního případu a řešena transformací Z a metodou vlastních vektorů. Získané výsledky jsou pak srovnávány s výsledkem spojitého případu.
|
|
|
Analýza stability lineárních diferenčních rovnic
Tesař, Lukáš ; Dosoudilová, Monika (oponent) ; Tomášek, Petr (vedoucí práce)
Tato práce pojednává o vyšetřování asymptotické stability lineárních diferenčních rovnic na základě kritéria Schurova-Cohnova a Routhova-Schurova. Obě tato kritéria jsou realizována v programu Maple a jejich použití je demonstrováno na příkladech. Na Adamsově-Bashforthově metodě pro řešení počátečních problémů obyčejných diferenciálních rovnic 1.řádu je ilustrováno použití techniky pro lokalizaci hranice oblasti asymptotické stability této metody.
|
|
| |
|
|
Representation of Solutions of Linear Discrete Systems with Delay
Morávková, Blanka ; Růžičková, Miroslava (oponent) ; Khusainov, Denys (oponent) ; Diblík, Josef (vedoucí práce)
The dissertation thesis is concerned with linear discrete systems with constant matrices of linear terms with a single or two delays. The main objective is to obtain formulas analytically describing exact solutions of initial Cauchy problems. To this end, some matrix special functions called discrete matrix delayed exponentials are defined and used. Their basic properties are proved. Such special matrix functions are used to derive analytical formulas representing the solutions of initial Cauchy problems. First is discussed the initial problem with impulses are acting at some prescribed points and formulas describing the solutions of this problem are derived. In the next part of the dissertation, two definitions of discrete matrix delayed exponentials for two delays are given and their basic properties are proved. Such discrete special matrix functions make it possible to find representations of solutions of linear systems with two delays. This is done in the last part of dissertation thesis where two different formulas giving the analytical solution of this problem are derived.
|
|
|
Vlastnosti prostorů posloupností a jejich aplikace v teorii nelineárních diferenčních rovnic
Kosík, Jindřich ; Šremr, Jiří (oponent) ; Řehák, Pavel (vedoucí práce)
Cílem práce je detailní zpracování aparátu funkcionální analýzy pro studium kvalitativních vlastností řešení diferenčních rovnic a jeho využití při analýze specifikované nelineární diferenční rovnice. Práce obsahuje podrobný rozbor některých vlastností prostorů posloupností, diskrétních verzí Leviho věty o monotónní konvergenci a Lebesgueovy věty o dominantní konvergenci a kritérií relativní kompaktnosti pro prostory posloupností. Teoretický aparát je doplněn větami o pevných bodech. Zavedené matematické prostředky jsou později využity při studiu konkrétní nelineární diferenční rovnice.
|
|
|
Discrete Regular Variation and Difference Equations
Čaputa, Daniel ; Tomášek, Petr (oponent) ; Řehák, Pavel (vedoucí práce)
This thesis deals with the asymptotic analysis of a linear second-order difference equation using the theory of Karamata sequences. Properties of regularly varying sequences that are useful in asymptotic theory are gathered. Using a transformation of a difference equation into the dynamic equation on the appropriate time scale and proving a general result for the dynamic equation, the condition that guarantees a regular variation of the solution space of a difference equation is obtained. By the combination of the variety of techniques, asymptotic formulae are established and the solutions of the difference equation are classified into certain asymptotic classes.
|
|
| |
|
|
Spojité a diskrétní modely populační biologie
Fedorková, Lucie ; Tomášek, Petr (oponent) ; Čermák, Jan (vedoucí práce)
Tato práce se zabývá analýzou spojitého a diskrétního logistického modelu jednodruhové populace. U každého modelu je diskutována rovnováha, její stabilita a chování řešení modelu při různých počátečních podmínkách. V případě diskrétního modelu je zde podrobně diskutováno periodické chování řešení v závislosti na změně parametru charakterizujícího míru růstu zkoumané populace. V práci je také zmíněno chaotické chování řešení modelu. Grafické interpretace dílčích problémů jsou vytvořeny v softwaru MATLAB. Výpočty jsou kontrolovány softwarem Maple.
|
|
|
Systémy diferenčních rovnic aplikovány na Markovovy řetězce
Esterlová, Alena ; Tomášek, Petr (oponent) ; Štoudková Růžičková, Viera (vedoucí práce)
Tato práce se zabývá zkoumáním Markovových řetězců a jejich aplikací v genetice. Konkrétněji je zkoumána konvergence řetězců, a to především pro řetězce o třech stavech. Úvodní kapitola je věnována teorii matic, která se ke studiu Markovových řetezců využívá. Následuje samotný popis Markovových řetězců a jejich teorie. Závěrečná kapitola je věnována příkladům a zkoumání konkrétních řetězců o třech stavech, u kterých nedojde ke konvergenci.
|
host ::
RSS.