|
| |
|
|
Desintegrace kategorie v duchu Kuratowského-Ulamovy věty
Rondoš, Jakub ; Spurný, Jiří (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent)
Fubiniova věta a Kuratowského-Ulamova věta poukazují na podobnost pojm· množina první kategorie v polském prostoru a množina míry nula v standard- ním borelovském prostoru. Tyto věty lze zobecnit. Fubiniovu větu zobecňuje věta o desintegraci měr a Kuratowského-Ulamovu větu zobecňuje věta o desintegraci kategorie. Tvrzení vět o desintegraci jsou obdobná a ještě více poukazují na po- dobnost systém· množin první kategorie a množin míry nula. Hlavním cílem této práce je dokázat věty o desintegraci a ukázat, jak z nich vyplývají Fubiniova a Kuratowského-Ulamova věta. 1
|
|
|
Exceptional Sets in Mathematical Analysis
Rmoutil, Martin ; Kalenda, Ondřej (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent) ; Zindulka, Ondřej (oponent)
Název práce: Výjimečné množiny v matematické analýze Autor: Martin Rmoutil Katedra: Katedra Matematické Analýzy Vedoucí disertační práce: Doc. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc., Katedra matematické ana- lýzy Abstrakt: Tato práce sestává ze čtyř odborných článků. V prvním článku studujeme pojem σ-zdola pórovitých množin; hlavním výsled- kem je konstrukce uzavřených množin A, B ⊂ R, které nejsou σ-zdola pórovité a jejichž součin v R2 je zdola pórovitý. Ve druhém a třetím článku používáme množinově-teoretickou metodu založenou na Löwenheim-Skolemově větě (tzv. metodu elementárních submodelů) k důkazu separabilní determinovanosti jistých σ-ideálů množin v Bana- chových prostorech. Činíme tak nejprve pro pojmy σ-pórovitosti a σ- zdola pórovitosti (v článku druhém) a zjemněním použitých metod pak ve třetím článku dostaneme separabilní determinovanost dalších vlastností. V obou případech dostáváme zajímavé důsledky v podobě rozšíření vět známých pro separabilní prostory do kontextu nesepara- bilního; například: Libovolná spojitá konvexní funkce na Asplundově prostoru je fréchetovsky diferencovatelná ve všech bodech mimo ku- želově malou (cone small) množinu. Čtvrtý článek zavádí následující pojem. Řekneme, že uzavřená množina A ⊂ R je c-odstranitelná, jest- liže platí: Reálná funkce f je konvexní na Rd , kdykoliv...
|
|
|
Gradientové zobrazení funkcí více proměnných
Skálová, Alena ; Zelený, Miroslav (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent)
Název práce: Gradientové zobrazení funkcí více proměnných Autor: Alena Skálová Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D., Katedra matema- tické analýzy Abstrakt: V práci dokazujeme následující tvrzení. Pro každé d ≥ 2, pro každou otevřenou omezenou množinu U ⊂ Rd a pro každou množinu F ⊂ Rd typu Fσ existuje diferencovatelná funkce u: Rd → R taková, že ∇u(x) ∈ U pro všechna x ∈ Rd , ∇u(x) ∈ U pro všechna x ∈ F, ∇u(x) ∈ ∂U pro λd-skoro všechna x ∈ Rd \ F.
|
|
|
Modifikace Whitneyovy $C^1$ rozšiřovací věty
Dovhoruk, Olesya ; Zajíček, Luděk (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent)
Název práce: Modifikace Whitneyovy C1 rozšiřovací věty Autor: Olesya Dovhoruk Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Luděk Zajíček, DrSc., Katedra matema- tické analýzy Abstrakt: Tato práce se zabývá modifikací Whitneyovy C1 rozšiřovací věty pro speciální uzavřené množiny M v Rn . Práce zkoumá, zda lze vynechat některé předpoklady ve Whitneyově větě. Uka- zuje se, že pokud ve Whitneyově větě nepředpokládáme spojitost funkce f : M → R, kterou rozšiřujeme, na obecné uzavřené množině M ⊂ Rn , pak f je spojitá ze zbylých předpokladů, kdežto pokud vynecháme spojitost funkce d, která figuruje ve Whitneyově větě a hraje jistou roli zobecněného diferenciálu funkce f, pak d je spojitá ze zbylých předpokladů jen pro n = 1. Dále se dokazují věty založené na zesílení (neboli modifikaci) předpokladů Whit- neyovy věty. Například se dokazuje věta o existenci C1 rozšíření funkce f : (a, b)×[0, c), f ∈ C1 ((a, b)×(0, c)), pro kterou platí, že funkce gradf má konečné limity v bodech (a, b) × {0}. Dalším podobným výsledkem práce je existence C1 rozšíření pro funkci f : M ⊂ Rn → R, kde M = M◦ = ∅ je kompaktní a konvexní a funkce gradf má v hraničních bodech konečnou limitu. Práce také charakterizuje funkce f na omezené otevřené množině G, které lze C1 rozšířit na celý prostor: nutnou a...
|
|
|
Applications of descriptive set theory in mathematical analysis
Doležal, Martin ; Zelený, Miroslav (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent) ; Zapletal, Jindřich (oponent)
Charakterizujeme různé typy σ-pórovitosti pomocí nekonečné hry a vítězných strategií. Použijeme modifikaci této hry k důkazu některých nových i známých vepisovacích vět pro σ-ideály σ-pórovitého typu v lokálně kompaktních metrických prostorech. Ukážeme exis- tenci uzavřené množiny, která je σ-(1 − ε)-symetricky pórovitá pro každé 0 < ε < 1, ale není σ-1-symetricky pórovitá. Dále ukážeme, že množina unitárních reprezentací konečné abelovské grupy Γ na nekonečně- dimensionálním separabilním komplexním Hilbertově prostoru H, které jsou realizovatelné akcí, je residuální v Rep(Γ, H). 1
|
|
|
Vlastnosti Cantorovy funkce
Fiala, Martin ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent)
Vlastnosti Cantorovy funkce Autor práce: Martin Fiala Vedoucí práce: Stanislav Hencl Abstrakt: Obsahem této práce je zkoumání vlastností Cantorovy funkce (někdy též Cantorovo d'ábelské schody, především v populární literatuře), pojmenované po významném německém matematikovi Georgu Cantorovi (3. března 1845 Petrohrad, 6. ledna, 1918 Halle). 1
|
|
|
Zobecněné limity afinních funkcí
Holub, Aleš ; Spurný, Jiří (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent)
V předložené práci je sestrojen koanalytický filtr na množině konečných posloupností přirozených čísel, který umožňuje získat silně afinní funkci libovolné borelovské třídy z kompaktní konvexní podmnožiny lokálně konvexního prostoru pomocí jediného limitního procesu (podle tohoto filtru) aplikovaného na spočetný systém spojitých afinních funkcí. A naopak se ukáže, že výsledek tohoto limitního procesu je pak právě borelovská silně afinní funkce. Dále se tento postup zobecní pomocí metody metrizovatelné redukce pro baireovské funkce v nemetrizovatelných prostorech. Poslední kapitola obsahuje výsledek o generování bianalytických funkcí v separabilních metrizovatelných prostorech opět pomocí limitního procesu ze spočetného systému spojitých funkcí.
|
|
|
Collections of compact sets in descriptive set theory
Vlasák, Václav ; Zelený, Miroslav (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent) ; Tišer, Jaroslav (oponent)
1 Název práce: Systémy kompaktních množin v deskriptivní teorii Autor: Václav Vlasák Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí doktorské práce: Doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D. Autorova e-mailová adresa: vlasakmm@volny.cz Abstract: Tato práce se skládá ze tří článků. V kapitole 2 se zabýváme souvislostmi mezi složitostí dané funkce f z polského prostoru X do polského prostoru Y a složitostí množiny C(f) = {K ∈ K(X); f K je spojitá}, kde symbol K(X) označuje prostor všech kompaktních podmnožin prostoru X opatřený Vietorisovou topologii. Dokážeme, že jestliže C(f) je ana- lytická, pak f je borelovská. Za předpokladu ∆1 2-determinovanosti ukážeme, že f je borelovská právě tehdy když C(f) je koanalytická. Předkládáme též podobné výsledky pro projektivní třídy. V kapitole 3 pokračujeme ve zkoumání systému C(f) a taktéž studujeme re- strikci tohoto systému na konvergentní posloupnosti(C(f)). Ukážeme, že systém C(f) je borelovský právě tehdy když f je borelovská. Předkládáme též podobné výsledky pro projektivní třídy. V kapitole 4 pojednáváme o HN -množinách, které tvoří důležitou podtřídu třídy množin jednoznačnosti pro trigonometrické řady. Velikost těchto tříd je zk- oumána pomocí systému měr...
|
|
|
Nové míry slabé nekompaktnosti
Bendová, Hana ; Kalenda, Ondřej (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent)
Tato práce se zabývá mírami slabé nekompaktnosti, tj. kvantitami, které růz- nými způsoby měří slabou nekompaktnost omezených podmnožin Banachových prostorů. Kromě některých známých měr slabé nekompaktnosti zavedeme nové míry, které jsou v jistém smyslu přirozenější, a následně ukážeme, jaké jsou mezi nimi vztahy. Dokážeme mimo jiné kvantitativní verze Eberlein-Grothendieckovy, Eberlein-Šmulianovy a Jamesovy věty. Dále se zabýváme mírami slabé nekom- paktnosti jednotkové koule a mírami slabé nekompaktnosti množin v Banacho- vých prostorech s w∗ -andělskou duální jednotkovou koulí. Ukážeme, že v těchto případech některé z definovaných kvantit splývají. Nakonec se zaměříme na to, jak se definované míry slabé nekompaktnosti chovají při přechodu ke konvexnímu a absolutně konvexnímu obalu. Dokážeme kvantitativní verzi Krejnovy věty a uká- žeme též, že v Banachových prostorech s w∗ -andělskou duální jednotkovou koulí se většina kvantit při přechodu ke konvexnímu a absolutně konvexnímu obalu nezmění.
|
host ::
RSS.