|
|
Projektivní pohled na rovinnou euklidovskou geometrii
Řada, Jakub ; Krump, Lukáš (vedoucí práce) ; Šír, Zbyněk (oponent)
V této práci se věnujeme projektivnímu pohledu na rovinnou euklidovskou geometrii. Konkrétně si vždy vezmeme nějakou euklidovskou konstrukci a převedeme ji do projektivní geo- metrie. Dále ukazujeme principy těchto převodů a zabýváme se ekvivalencí euklidovských pojmů s komplexně sdruženými body I, J. Dále se věnujeme kuželosečkám, trojúhelníkům, n-úhelníkům a kružnicím. Vše je podrobně popsáno pomocí příkladů. 1
|
|
|
Diskrétní konexe na trojúhelníkových sítích
Vráblíková, Jana ; Šír, Zbyněk (vedoucí práce) ; Souček, Vladimír (oponent)
Abstrakt. V této práci se budeme zabývat konstrukcí paralelních tečných vektoro- vých polí na diskrétních plochách. Nejprve představíme teorii tečných vektorových polí na hladkých plochách v R3 , zavedeme pojem konexe, pomocí něhož můžeme tečná vektorová pole popisovat, a formulujeme důsledek Poincaré-Hopfovy věty, jež nám řekne, že na většině ploch neexistuje hladké tečné vektorové pole nenulové v každém bodě. Poté na diskrétních plochách, které reprezentujeme trojúhelní- kovými sítěmi, představíme diskrétní analogie pojmů diferenciální geometrie a ukážeme, jak je můžeme využít pro konstrukci tečných vektorových polí para- lelních na celé ploše. Nakonec popíšeme algoritmus pro konstrukci těchto vekto- rových polí, který lze nalézt v elektronické příloze, implementovaný v softwaru Wolfram Mathematica, a ukážeme jeho výsledky na několika příkladech.
|
|
|
Konstrukce G^1 spojitých ploch.
Kostelecká, Adéla ; Šír, Zbyněk (vedoucí práce) ; Bizzarri, Michal (oponent)
V této práci se věnujeme algoritmu, který na sebe nerozeznatelně navazuje Bézierovy plochy. Po provedení algoritmu mají tyto plochy na hranicích společný tečný prostor. Tuto metodu nazvanou Chiyokura Kimura použijeme na čtyřúhel- níkové a trojúhelníkové Bézierovy plochy. Dále se zabýváme navazováním více trojúhelníkových ploch pomocí nahrazení řídících bodů racionálními funkcemi. Vzniknou tak tzv. Gregory plochy. Pro obě metody předvádíme důkaz, že tyto plochy navazují G1 spojitě. Na závěr prezentujeme výsledky algoritmu na nepra- videlném dvacetistěnu a dalších reálných geometrických objektech, jako je Stan- dford Bunny. 1
|
|
|
Structure and approximation of real planar algebraic curves
Blažková, Eva ; Šír, Zbyněk (vedoucí práce)
Běžným problémem výpočetní geometrie je hledání topologicky přesné aproximace algebraické křivky, které se většinou zakládá na nalezení sin- gulárních bodů křivky. Ty se hledají pomocí algebraických operací s rovnicí křivky. Náš přístup je geometričtější a bere v potaz i následnou přesnou aproximaci. Náš algoritmus hledá a aproximuje hladké monotónní oblouky křivky, které v některých případech mohou procházet i singularitami. Krajní body těchto oblouků počítáme nejen z rovnice křivky, ale i pomocí opěrné funkce. Jejich konektivita je pak určena pomocí lokálních vlastností křivky v daném bodě, které získáváme z racionálních Puiseových řad. Reprezentaci pomocí opěrné funkce využíváme i pro následnou interpo- laci oblouků. Ty dohoromady tvoří aproximaci celé křivky. Tato aproximace má mnoho praktických vlastností, například: Můžeme efektivně měřit její aktuální Hausdorffovu vzdálenost od křivky a díky tomu jednoduše zkon- struovat aproximaci mající omezenou chybu. Navíc je racionální a zajišt'uje i racionalitu ofsetů. Nicméně se její topologie může lišit od topologie původní křivky. Zavádíme pojem tečných trojúhelníků, jejichž pomocí dokážeme najít a libovolně omezit...
|
|
|
Structure and approximation of real planar algebraic curves
Blažková, Eva ; Šír, Zbyněk (vedoucí práce) ; Lávička, Miroslav (oponent) ; Surynková, Petra (oponent)
Běžným problémem výpočetní geometrie je hledání topologicky přesné aproximace algebraické křivky, které se většinou zakládá na nalezení sin- gulárních bodů křivky. Ty se hledají pomocí algebraických operací s rovnicí křivky. Náš přístup je geometričtější a bere v potaz i následnou přesnou aproximaci. Náš algoritmus hledá a aproximuje hladké monotónní oblouky křivky, které v některých případech mohou procházet i singularitami. Krajní body těchto oblouků počítáme nejen z rovnice křivky, ale i pomocí opěrné funkce. Jejich konektivita je pak určena pomocí lokálních vlastností křivky v daném bodě, které získáváme z racionálních Puiseových řad. Reprezentaci pomocí opěrné funkce využíváme i pro následnou interpo- laci oblouků. Ty dohoromady tvoří aproximaci celé křivky. Tato aproximace má mnoho praktických vlastností, například: Můžeme efektivně měřit její aktuální Hausdorffovu vzdálenost od křivky a díky tomu jednoduše zkon- struovat aproximaci mající omezenou chybu. Navíc je racionální a zajišt'uje i racionalitu ofsetů. Nicméně se její topologie může lišit od topologie původní křivky. Zavádíme pojem tečných trojúhelníků, jejichž pomocí dokážeme najít a libovolně omezit...
|
|
|
Hloubka dvourozměrných dat
Dočekalová, Denisa ; Šír, Zbyněk (vedoucí práce) ; Hlubinka, Daniel (oponent)
V této práci shrnujeme základní informace týkající se polorovinové hloub- ky, jakožto jedné z hloubkových funkcí. Práce je rozdělena na dvě části. V první části se zabýváme polorovinovou hloubkou založenou na distribuční funkci, popisujeme její základní vlastnosti a zavádíme pojmy hloubkových kontur, centrálních regionů a polorovinového mediánu. Těmto pojmům se pak věnujeme i ve zbytku kapitoly, a to hlavně se zaměřením na polorovinový medián a jeho chování. Ve druhé části práce se pak zabýváme polorovinovou hloubkou založenou pouze na náhodném výběru, a to se zaměřením na me- tody vizualizace dat. Těmito metodami jsou zobrazování hloubkových kontur a takzvaný bagplot. Součástí této práce jsou také obrázky hloubkových kon- tur pro konkrétní typy rozdělení, které byly získané pomocí implementace algoritmu na jejich výpočet v softwaru Mathematica. 1
|
|
|
Rectagles inscribed in Jordan curves.
Ye, Tomáš ; Šír, Zbyněk (vedoucí práce) ; Vršek, Jan (oponent)
Představíme kvocienty, což jsou speciální typy topologických zobrazení, která přirozeně zachovávají spojitost ostatních funkcí. Nejprve budeme studovat uni- verzální vlastnosti těchto kvocientů a později je použijeme k formálnímu zavedení topologického lepení. Tento koncept nám umožní definovat a podrobně zkoumat topologickou strukturu Mobiova pásku a Reálné projektivní roviny. Nakonec tuto vybudovanou teorii použijeme k dokázání tvrzení, které říka, že každá Jordanova křivka obsahuje vepsaný obdélník.
|
|
| |
|
|
Isogeometric analysis in applications
Bekrová, Martina ; Šír, Zbyněk (vedoucí práce) ; Hron, Jaroslav (oponent)
Isogeometrická analýza (IGA) je numerická metoda pro řešení parciálních diferenciálních rovnic (PDR). V této diplomové práci vysvětlíme koncept IGA se zvláštním důrazem na problémy na uzavřených oblastech vytvořených jednou NURBS parametrizací. Pro tyto problémy ukážeme způsob, jak modifikovat NURBS bázi, abychom dosáhli co nejvyšší možné spojitosti prostoru funkcí použitého pro výpočty. Poté vyřešíme problém minimálních ploch s použitím dvou různých metod Newtonova typu. První z nich je založena na klasickém přístupu s použitím PDR, ve druhé použijeme jedinečné vlastnosti IGA a přímo minimalizujeme funkcionál obsahu plochy.
|
|
|
Křivky s pythagorejským hodografem
Kadlec, Kryštof ; Šír, Zbyněk (vedoucí práce) ; Šmíd, Dalibor (oponent)
V této práci budeme zkoumat křivky s pythagorejským hodografem (PH křivky), které jsou charakteristické polynomiální rychlostí. Výhradně se budeme věnovat rovinným PH křivkám 3. stupně, takzvaným PH kubikám. Seznámíme se s jejich reprezentací pomocí komplexních čísel a takzvaným preimage, jednodušší křivkou, ze které PH křivka vzniká a která určuje její vlastnosti. Nejprve budeme zkoumat základní vlastnosti PH křivek v závislosti na preimage. Hlavním před- mětem práce je zkoumání spojitosti navázání PH křivek, kterou jak ukážeme, je možné charakterizovat tvarem preimage a uvedeme konkrétní podmínky pro tvar preimage, abychom dosáhli určité spojitosti. Všechny dosažené výsledky budeme ilustrovat na názorných příkladech. 1
|
host ::
RSS.