|
|
Convex hull properties for parabolic systems of partial differential equations
Češík, Antonín ; Schwarzacher, Sebastian (vedoucí práce) ; Bulíček, Miroslav (oponent)
Tématem práce je vlastnost konvexního obalu pro soustavy parciálních dife- renciálních rovnic, jež je přirozeným zobecněním principu maxima pro skalární rovnice. Hlavním výsledkem práce je věta o vlastnosti konvexního obalu pro jis- tou třídu nelineárních parabolických soustav parciálních diferenciálních rovnic. Práce se také zabývá koeficienty lineárních soustav. Tyto výsledky jsou op- timální, jak je ukázáno v protipříkladech k vlastnosti konvexního obalu pro řešení lineárních a parabolických soustav. Celkově se téma dá shrnout tak, že mixování proměnných je to, co rozbije vlastnost konvexního obalu, ne nutně nelinearita rovnice.
|
|
|
Modelica in physiological modelling. Models with spatially distributed parameters, Authorin educational simulators.
Šilar, Jan ; Kofránek, Jiří (vedoucí práce) ; Maršálek, Petr (oponent) ; Roubík, Karel (oponent)
Matematické modely slouží ve fyziologii k formulování hypotéz, predikci, odhadování hodnot skrytých parametrů a ve výuce. Tato práce pojednává o využitím jazyka Modelica pro fyziologické modelování. Diskutují se zde nově vyvinuté metody pro implementaci modelů a tvorbu simulátorů. Modelica je rovnicový, objektově orientovaný jazyk s otevřeným standardem pro modelování komplexních systémů. Je vhodný pro modelování ve fyziologii zejména pro to, že umožňuje přehledně hierarchicky zapsat rozsáhlé komplexní modely. Modely je možné popsat pomocí algebraických, obyčejných diferenciálních a diskrétních rovnic. Parciální diferenciální rovnice zatím nejsou součástí standardu Modelica. Práce se zabývá konkrétně dvěma základními tématy: 1) modelováním systémů popsaných pomocí parciálních diferenciálních rovnic v Modelica 2) tvorbou webových e-learningových simulátorů založených na modelech implementovaných v Modelica. Bylo navrženo jazykové rozšíření PDEModelica1 pro 1-dimenzionální parciální diferenciální rovnice (vychází z předchozího rozšíření). Modelovací nástroj OpenModelica byl rozšířen o podporu PDEModelica1 s využitím metody přímek. Byl implementován model protiproudové tepelné výměny mezi tepnou a cévou v ptačí noze s využitím PDEModelica1 za účelem otestování tohoto rozšíření. Rozšíření bylo dále...
|
|
|
Modelling of bioelectronic devices
Truksa, Jan ; Vala, Martin (oponent) ; Salyk, Ota (vedoucí práce)
The topic of this thesis is computer modelling of an organic electrochemical transistor (OECT). To create such a model, the electric field and ion concentration were numerically computed, using the finite element method. The electric potential on top of the OECT channel, the changes in conductivity and the output current of the OECT were computed. To carry out the computation, a standard personal computer and the commercial software COMSOL Multiphysics were utilized. Due to a lack of computational power, the model had to be split into parts and drastically simplified. The presented results differ from those in literature, as the saturation of the transistor is not modelled correctly. This deviation from real OECT behaviour is likely caused by the simplification of the model.
|
|
|
Adaptive methods for singularly perturbed partial differential equations
Lamač, Jan ; Knobloch, Petr (vedoucí práce)
V práci se zabýváme řešením singulárně porušených rovnic kon- vekce-difúze. Nejprve zkonstruujeme sdruženou asymptotickou expanzi řešení singulárně porušené rovnice konvekce-difúze v 1D a odvodíme vzorec pro asymp- totickou expanzi nultého řádu v několika dvoudimenzionálních polygonálních oblastech. Následně prezentujeme soubor stabilizačních metod pro řešení sin- gulárně porušených problémů a dokážeme stejnoměrnou konvergenci Il'inova- Allenova-Southwellova schématu v 1D. Nakonec představíme obměnu metody proudnicové difúze (SUPG) na orientovaných sítích. Tato nová metoda s se- bou přináší řadu výhodných vlastností, jako například splnění diskrétního prin- cipu maxima. Kromě analýzy metody a odvození apriorních odhadů chyby v odpovídajících energetických normách provedeme rovněž několik numerických experimentů potvrzujících teoretické výsledky.
|
|
|
Adaptive methods for singularly perturbed partial differential equations
Lamač, Jan ; Knobloch, Petr (vedoucí práce) ; Franz, Sebastian (oponent) ; Vejchodský, Tomáš (oponent)
V práci se zabýváme řešením singulárně porušených rovnic kon- vekce-difúze. Nejprve zkonstruujeme sdruženou asymptotickou expanzi řešení singulárně porušené rovnice konvekce-difúze v 1D a odvodíme vzorec pro asymp- totickou expanzi nultého řádu v několika dvoudimenzionálních polygonálních oblastech. Následně prezentujeme soubor stabilizačních metod pro řešení sin- gulárně porušených problémů a dokážeme stejnoměrnou konvergenci Il'inova- Allenova-Southwellova schématu v 1D. Nakonec představíme obměnu metody proudnicové difúze (SUPG) na orientovaných sítích. Tato nová metoda s se- bou přináší řadu výhodných vlastností, jako například splnění diskrétního prin- cipu maxima. Kromě analýzy metody a odvození apriorních odhadů chyby v odpovídajících energetických normách provedeme rovněž několik numerických experimentů potvrzujících teoretické výsledky.
|
|
|
Computer modeling of the inner ear
Perlácová, Tereza ; Jungwirth, Pavel (vedoucí práce) ; Vejchodský, Tomáš (oponent)
Do mechanického modelu kochley zavádzame implicitné numerické metódy. Tes- tujeme konkrétne štyri metódy: implicitný Euler, Crank-Nicolson, BDF druhého a tretieho rádu na lineárnej a nelineárnej verzii modelu. Nelineárny model obsahuje funkciu so saturujúcou vlastnosťou. Aplikácia implicitných metód na nelineárny model vedie na sústavu nelineárnych rovníc. Predstavujeme dva spôsoby, ako túto sústavu numericky riešiť. Prvý z nich zahrňuje nelinearitu do pravej strany novovzniknutej lineárnej sústavy. Druhý robí linearizáciu nelineárnej funkcie. V práci porovnávame oba spôsoby z hľadiska efektivity a sledujeme ich konvergenciu k referenčnému riešeniu. Pre hodnotu tolerancie, ktorú používame na určenie numerickej konvergencie, je prvý spôsob efektívnejší. V úplne nelineárnom režime druhý spôsob zlyháva, pretože nekon- verguje k referenčnému riešeniu. Výsledkom porovnania implicitných metód je, že Crank-Nicolsonova metóda s prvým spôsobom riešenia nelineárnej sústavy je pre účely nášho modelu najlepšia. Použitie tejto metódy v mechanickom modeli nám umožňuje vytvoriť ľubovoľne presné prepojenie medzi mechanickým a elektrickým modelom kochley, rešpektujúc fyziológiu človeka. 1
|
|
|
Analýza diferenčních vztahů pro řešení parciálních diferenciálních rovnic
Zpěváková, Jana ; Zbořil, František (oponent) ; Šátek, Václav (vedoucí práce)
V této bakalářské práci se věnujeme numerickému řešení obyčejných diferenciálních rovnic a numerickým metodám řešení parciálních diferenciálních rovnic. V práci je navržen a implementován program, který převede parciální diferenciální hyperbolickou rovnici na soustavu obyčejných rovnic s využitím metody konečných diferencí. Následně je tato soustava vyřešena pomocí Taylorovy metody naprogramované v prostředí Matlab. V poslední části je srovnána časová náročnost navrženého řešení s paralelním numerickým výpočtem.
|
|
|
Bifurkace v matematických modelech v biologii
Kozák, Michal ; Stará, Jana (oponent)
V této diplomové práci jsou zkoumána stacionární, prostorově nehomogen- ní řešení systémů reakce-difuze figurující v biologických modelech, založených na Turingově myšlence nestability způsobené difuzí (diffusion driven instabili- ty). V souvislosti s tím je zkoumáno globální chování bifurkačních větví takových stacionárních řešení. Práce se opírá o teorii diferenciálních rovnic a o (zejména to- pologické) metody nelineární analýzy. Je dokázána existence, v jedné prostorové dimenzi i nekompaktnost, bifurkační větve pro obecný systém reakce-difuze vyka- zující Turingův efekt. Dále jsou odvozeny apriorní odhady pro Thomasův model. Tyto výsledky vedou k tvrzení, které pro všechny difuzní koeficienty z předem zavedené množiny zaručuje existenci alespoň jednoho stacionárního, prostorově nenulového řešení Thomasova modelu.
|
|
|
Bifurkace v matematických modelech v biologii
Kozák, Michal ; Kučera, Milan (vedoucí práce) ; Stará, Jana (oponent)
V této diplomové práci jsou zkoumána stacionární, prostorově nehomogen- ní řešení systémů reakce-difuze figurující v biologických modelech, založených na Turingově myšlence nestability způsobené difuzí (diffusion driven instabili- ty). V souvislosti s tím je zkoumáno globální chování bifurkačních větví takových stacionárních řešení. Práce se opírá o teorii diferenciálních rovnic a o (zejména to- pologické) metody nelineární analýzy. Je dokázána existence, v jedné prostorové dimenzi i nekompaktnost, bifurkační větve pro obecný systém reakce-difuze vyka- zující Turingův efekt. Dále jsou odvozeny apriorní odhady pro Thomasův model. Tyto výsledky vedou k tvrzení, které pro všechny difuzní koeficienty z předem zavedené množiny zaručuje existenci alespoň jednoho stacionárního, prostorově nenulového řešení Thomasova modelu.
|
|
|
Metoda časové diskretizace řešení PDR
Myška, Michal ; Zatočilová, Jitka (oponent) ; Nechvátal, Luděk (vedoucí práce)
Tato práce se zabývá řešením evolučních parciálních diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace, která vychází z Rotheho metody (metody přímek). Práce je rozdělena na tři základní části. V první části je ukázán princip jejího fungovaní. Druhá část se zabývá teoretickými aspekty metody, konkrétně je zaměřena na existenční a konvergenční větu, spolu s odvozením odhadu chyby a zavedením potřebných definic. Na závěr je v práci uveden program vytvořený v prostředí MATLAB.
|
host ::
RSS.