|
|
Analysis in Banach spaces
Pernecká, Eva ; Hájek, Petr (vedoucí práce) ; Johanis, Michal (oponent) ; Godefroy, Gilles (oponent)
Práce sestává ze dvou článků a jednoho preprintu. Oba články se věnují aproximačním vlastnostem Lipschitz-free prostorů. V prvním článku dokážeme, že Lipschitz-free prostor na metrickém prostoru, který je doubling, má omezenou aproximační vlastnost. Speciálně, Lipschitz-free prostor na uzavřené podmnožině Rn má omezenou aproximační vlastnost. Také ukážeme, že Lipschitz-free pros- tory na ℓ1 a ℓn 1 mají monotonní konečně dimenzionální Schauderovu dekompozici. Ve druhém článku posouváme tuto práci dále a dostáváme dokonce Schauderovu bázi v Lipschitz-free prostorech na ℓ1 a ℓn 1 . Tématem preprintu je rigidita ℓ∞ a ℓn ∞ vzhledem k uniformně diferencovatelným zobrazením. Náš hlavní výsledek je nelineární analogií klasického výsledku od Rosenthala o rigiditě ℓ∞ vzhledem k lineárním operátorům, které nejsou slabě kompaktní, a zobecňuje větu o nekom- plementovanosti c0 v ℓ∞ od Phillipse. 1
|
|
| |
|
|
O rovnici div u=f
Mielec, Jaromír ; Malý, Jan (vedoucí práce) ; Kaplický, Petr (oponent)
V této práci dáváme odpověď na otázku, zda rovnice div u = f má řešení u s gradi- entem v Lp (Rn ) pro každou pravou stranu f ∈ Lp (Rn ). Dokážeme, že je to pravda pro 1 < p < ∞ a zkonstruujeme protipříklady pro p = 1 a p = ∞. In this thesis, we answer the question whether the equation div u = f has a solution u with gradient in Lp (Rn ) for each f ∈ Lp (Rn ). We prove that this is true for 1 < p < ∞ and construct counterexamples for p = 1 and p = ∞. 1
|
|
|
Interpolation of logarithmically convex combinations of operators
Takáč, Jakub ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Lang, Jan (oponent)
V této práci studujeme chování logaritmicky konvexních kombinací operátorů, defi- novaných vzorcem Tf = |S1f| 1 θ |S2f|1− 1 θ , kde S1 a S2 jsou (většinou kvazilineární) op- erátory s definičním oborem obsahujícím nějaký prostor měřitelných funkcí a θ ∈ (1, ∞) je parametr. Vybudujeme dvě různé interpolační teorie, přičemž obě nám umožní získat zevrubné informace o chování těchto operátorů na prostorech funkcí. První z nich je zcela obecná a je založena na abstraktní interpolaci a Calderónových prostorech. Výsledky ilus- trujeme na široké škále příkladů dvojic prostorů X, Y takových, že operátor T: X → Y jest omezený, tyto speciálně obsahují tzv. Calderónovu-Lozanovského konstrukci. Druhá z teorií staví na bodových odhadech Calderónovými operátory a je šitá na míru pro získávání omezenosti mezi Orliczovými prostory na základě slabých odhadů, které se objevují v aplikacích. Společným rysem obou teorii je přístup, patrně nový, zahrnující in- terpolaci čtveřice prostorů. Vstupní data se v obou případech skládají ze dvou rozumných endpointových odhadů pro každý z operátorů S1 a S2. 1
|
|
|
Characterization of functions with zero traces via the distance function
Turčinová, Hana ; Nekvinda, Aleš (vedoucí práce)
Necht' Ω ⊂ RN je oblast s lipschitzovskou hranicí, d(x) = dist(x, ∂Ω) je funkce vzdálenosti od hranice Ω a p ∈ (1, ∞). Známá charakterizace prostoru funkcí s nu- lovou stopou říká, že u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když platí u/d ∈ Lp (Ω) a zároveň ∇u ∈ Lp (Ω). Tento výsledek byl v poslední době několikrát vylepšen v tom smyslu, že podmínka u/d ∈ Lp (Ω) byla postupně zeslabována. Bylo dokázáno, že u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když platí u/d ∈ L1 (Ω) a zároveň ∇u ∈ Lp (Ω). Zatím nejlepší výsledek v tomto směru lze nalézt v autorčině bakalářské práci, kde je dokázáno, že podmínku u/d ∈ Lp (Ω) je možné zeslabit až na u/d ∈ L1,p (Ω), ovšem pouze v případě, kdy N = 1. V této diplomové práci dokážeme, že pro libovolnou dimenzi N ≥ 1, a každá p ∈ (1, ∞) a q ∈ [1, ∞) platí u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když u/d ∈ L1,q (Ω) a ∇u ∈ Lp (Ω). Na závěr pomocí protipříkladu ukážeme, že naši podmínku není možné nahradit podmínkou u/d ∈ L1,∞ (Ω). 1
|
|
|
Mathematical analysis and computer simulations of deformation of nonlinear elastic bodies in the small strain range
Kulvait, Vojtěch ; Málek, Josef (vedoucí práce)
Název práce: Matematická analýza a počítačové simulace deformace nelineárních elastických materiálů v oblasti malých deformací Autor: Vojtěch Kulvait Pracoviště: Matematický ústav UK Vedoucí disertační práce: prof. RNDr. Josef Málek CSc., DSc. Abstrakt: Implicitní konstitutivní teorie poskytuje teoretické zdůvodnění pro použití nelineárních modelů pro vztah mezi tenzorem malých deformací a napětím. V této práci studujeme třídu mocninných modelů, kde nelineární závislost deformace na deviatorické části napětí a na stopě napětí je vzájemně oddělena. Práce prokazuje, že tyto exponenciální modely mohou být použity pro modelování celé škály titanových beta slitin v oblasti malých deformací. Konkrétní model, který odvozujeme velmi dobře odpovídá experimentálním datům pro prostý tah těchto slitin. Dále se práce zabývá existencí řešení elastické okrajové úlohy, která zahrnuje zmíněný exponenciální model elastické odpovědi. Dokazujeme existenci řešení pro exponenty v rozsahu (1, ∞). Práci zakončujeme simulacemi smykového chování studovaných modelů ve speciální geometrii čtverce s různými typy výřezů ve tvaru V. V okolí špičky výřezu vzniká koncentrace napětí. Zabýváme se rozdíly v řešení v závislosti na exponentech konstitutivního vztahu a také na úhlu výřezu. Simulace jsou velmi stabilní ve vztahu ke zjemnění...
|
|
|
Diferencovatelnost inverzního zobrazení
Konopecký, František ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce)
V práci dokazujeme výsledek, že pokud pro ∈ ℕ a ≥ 1 bilipschitzovské zobrazení náleží do +1, loc ∩ ,∞ loc , tak náleží do +1, loc i jeho inverze −1 . Obdobné tvrzení dokazujeme i pro prostory loc. K tomuto účelu je v práci vybudováno nové uspořádání -tých parciálních derivací do zobecněné Jakobiho matice, díky níž můžeme vhodně deri- vovat matice. Zobecněná Jakobiho matice je navržena tak, aby bylo zachováno řetízkové pravidlo a bylo možné derivovat i součin matic. 1
|
|
|
Symbolické reprezentace kompaktních prostorů
Kazda, Alexandr
Název práce: Symbolické reprezentace kompaktních prostorů Autor: Alexandr Kazda Katedra (ústav): Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Petr Kůrka, CSc. E-mail vedoucího: kurka@cts.cuni.cz Abstrakt: Práce se zabývá reprezentací čísel pomocí möbiovských číselných systé- mů. Tyto systémy reprezentují body pomocí posloupností Möbiových transformací. V práci se věnujeme převážně reprezentacím jednotkové kružnice (které jsou ekvi- valentní reprezentacím množiny R ∪ {∞}). Zaměřujeme se především na vylepšování již známých nástrojů pro dokazovaní, že daný posun je möbiovským číselným systémem pro daný möbiovský iterativní systém. Dále studujeme otázku, jak charakterizovat iterativní systémy, pro které existuje posun tvořící möbiovský číselný systém, a naopak, jak popsat posuny, pro které lze najít iterativní systém, že výsledná dvojice je möbiovský číselný systém. Úplnou charakterizaci se nám nepodařilo najít, avšak nabízíme několik pozitivních i negativních částečných výsledků. Krátce se také věnujeme otázce, kdy je daný möbiovský číselný systém sofickým posunem.
|
|
|
Quantitative properties of Banach spaces
Krulišová, Hana ; Kalenda, Ondřej (vedoucí práce)
Tato dizertační práce sestává ze čtyř odborných článků. Každý z nich se zabývá kvantifikacemi určitých vlastností Banachových prostorů. První článek je věnován Grothendieckově vlastnosti. Hlavním výsledkem je, že prostor ∞ má její kvan- titativní verzi. Druhý článek zkoumá kvantifikace Banachovy-Saksovy a slabé Banachovy-Saksovy vlastnosti. Je zde kvantifikován vztah kompaktních, slabě kompaktních, Banachových-Saksových a slabě Banachových-Saksových množin, jakož i některé charakterizace slabě Banachových-Saksových množin. Ve třetím článku studujeme možné kvantifikace Pelczy'nského vlastnosti (V), jejich charak- terizace a vztahy ke kvantitativním verzím dalších vlastností Banachových pros- torů. Poslední článek navazuje na třetí. Je v něm dokázáno, že C∗ -algebry mají kvantitativní verzi vlastnosti (V), což zobecňuje jeden z výsledků dosažených v předchozím článku. Navíc zde popisujeme vztah mezi kvantitativními verzemi vlastnosti (V) a Grothendieckovy vlastnosti v duálních Banachových prostorech. 1
|
|
|
Stochastic Differential Equations with Gaussian Noise
Janák, Josef ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce)
Název práce: Stochastické diferenciální rovnice s Gaussovským šumem Autor: Josef Janák Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí disertační práce: Prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc., Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstrakt: V práci studujeme stochastické parciální diferenciální rovnice druhého řádu se dvěma neznámými parametry. Nalezneme tvar silně spojité semigrupy (S(t), t ≥ 0) pro hyperbolický systém řízený Brownovým pohybem a také tvar kovarian- čního operátoru invariantní míry Q (a,b) ∞ . Na základě ergodických vět odvodíme dvě vhodné skupiny odhadů ve smyslu minimálního kontrastu a dokážeme jejich silnou konzistenci i asymptotickou normalitu. Dále se zabýváme odhady založenými na "po- zorovacím okně", což vede k dalším skupinám silně konzistentních odhadů. Popisu- jeme jejich vlastnosti a speciální případy i jejich asymptotickou normalitu. Výsledky aplikujeme na stochastickou vlnovou rovnici s Brownovým šumem a ilustrujeme je v mnoha počítačových simulacích. Klíčová slova: Stochastická hyperbolická rovnice, Ornstein-Uhlenbeckův proces, invariantní míra, odhady parametrů, silná konzistence, asymptotická normalita.
|
host ::
RSS.