|
|
Classes of modules arising in algebraic geometry
Slávik, Alexander ; Trlifaj, Jan (vedoucí práce)
Tato práce shrnuje autorovy výsledky v teorii reprezentací okruhů a schémat, získané s několika spolupracovníky. Nejprve pro kvazikompaktní semise- parované schéma X dokazujeme, že derivovaná kategorie velmi plochých kvaziko- herentních svazků je ekvivalentní derivované kategorii plochých kvazikoherentních svazků a pokud je X afinní, je toto dále ekvivalentní homotopické kategorii pro- jektivních modulů. Dále ukazujeme, že nad komutativním Noetherovským okru- hem R je každý spočetně generovaný plochý modul je celkem plochý, tj. direktní sčítanec transfinitní extenze lokalizací R ve spočetných multiplikativních množi- nách. Posléze zkoumáme vztah geometrické a kategoriální čistoty v kategoriích svazků; charakterizujeme nerozložitelné geometricky čistě-injektivní svazky v ka- tegoriích kvazikoherentních i všech svazků. Zcela popisujeme Zieglerovo spektrum i jeho geometrickou část pro kategorii kvazikoherentních svazků na projektivní přímce nad tělesem. Posledním výsledkem je ekvivalence následujících tvrzení pro kvazikompaktní kvaziseparované schéma X: (1) kategorie QCoh(X) všech kvazi- koherentních svazků na X má plochý generátor; (2) pro každý injektivní objekt E ∈ QCoh(X) je interní Hom funktor do E je exaktní; (3) pro nějaký injektivní kogenerátor E ∈ QCoh(X) je interní Hom funktor do E je...
|
|
|
Ultrafilters and their monads
Hladil, Josef ; Slávik, Alexander (vedoucí práce) ; Růžička, Pavel (oponent)
Zobecňujíce pojem ultrafiltru na ostrukturované množiny, zkonstruujeme monádu ul- trafiltrů v kategoriích částečně uspořádaných množin a konečně obarvitelných grafů. Po- stupujeme obdobně jako u codensity monád, jelikož víme, že codensity monáda inkluze konečných množin mezi všechny množiny je izomorfní monádě ultrafiltrů. Odvodíme ekvi- valentní definici ultrafiltru na objektu, již lze aplikovat i v případě nikoliv konečně obar- vitelných grafů. I pomocí této definice lze sestrojit monádu. Ukážeme, že v případě, kdy dané uspořádání má pouze konečné antiřetězce, lze ultrafiltry na něm zcela popsat pomocí suprem a infim usměrněných podmnožin. Pokusíme se klasifikovat algebry nad monádou ultrafiltrů v kategorii uspořádání. Z našeho výsledku plyne úplná klasifikace algeber se všemi antiřetězci konečnými, jde o uspořádání spolu s jistým typem kompaktní Hausdor- ffovy topologie. 1
|
|
|
Classes of modules arising in algebraic geometry
Slávik, Alexander ; Trlifaj, Jan (vedoucí práce) ; Iacob, Alina (oponent) ; Shaul, Liran (oponent)
Tato práce shrnuje autorovy výsledky v teorii reprezentací okruhů a schémat, získané s několika spolupracovníky. Nejprve pro kvazikompaktní semise- parované schéma X dokazujeme, že derivovaná kategorie velmi plochých kvaziko- herentních svazků je ekvivalentní derivované kategorii plochých kvazikoherentních svazků a pokud je X afinní, je toto dále ekvivalentní homotopické kategorii pro- jektivních modulů. Dále ukazujeme, že nad komutativním Noetherovským okru- hem R je každý spočetně generovaný plochý modul je celkem plochý, tj. direktní sčítanec transfinitní extenze lokalizací R ve spočetných multiplikativních množi- nách. Posléze zkoumáme vztah geometrické a kategoriální čistoty v kategoriích svazků; charakterizujeme nerozložitelné geometricky čistě-injektivní svazky v ka- tegoriích kvazikoherentních i všech svazků. Zcela popisujeme Zieglerovo spektrum i jeho geometrickou část pro kategorii kvazikoherentních svazků na projektivní přímce nad tělesem. Posledním výsledkem je ekvivalence následujících tvrzení pro kvazikompaktní kvaziseparované schéma X: (1) kategorie QCoh(X) všech kvazi- koherentních svazků na X má plochý generátor; (2) pro každý injektivní objekt E ∈ QCoh(X) je interní Hom funktor do E je exaktní; (3) pro nějaký injektivní kogenerátor E ∈ QCoh(X) je interní Hom funktor do E je...
|
|
|
Classes of modules arising in contemporary algebraic geometry
Slávik, Alexander ; Trlifaj, Jan (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
V kategorii modulů nad noetherovskými nebo Dedekindovými obory zkoumáme vlastnosti velmi plochých a kontraadjustovaných modulů, tj. modulů z odpovídajících tříd v kotorzním páru (VF, CA) generovaném množinou všech modulů tvaru R[s−1 ]. Dále definujeme lokálně velmi ploché moduly a vyšetřujeme jejich vztah k velmi plochým modulům jako analogii vztahu projektivních a plo- chých Mittag-Lefflerových modulů. Pro noetherovské obory ukazujeme, že třída všech velmi plochých modulů je pokrývající, právě když třída všech lokálně velmi plochých modulů je předpokrývající, právě když spektrum příslušného okruhu je konečné. Pro obory mohutnosti menší než 2ω je toto dále ekvivalentní výroku, že třída všech kontraadjustovaných modulů je pokrývající.
|
|
|
Set-theoretic methods in module theory
Slávik, Alexander ; Trlifaj, Jan (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
Třída modulů se nazývá dekonstruovatelná, pokud jde o třídu všech S-filtrovaných modulů pro nějakou množinu modulů S. Takovéto třdy nacházejí široké uplatnění v teorii aproximací modulů. V práci je dokázána dekonstruovatelnost třídy všech modulů majících C-resolventu a dekonstru ovatelnost tříd všech modulů s omezenou C-resolventní dimenzí za předpo kladu dekonstruovatelnosti třídy C. Dále jsou zkoumány lokálně F-volné moduly; je dokázána postačující podmínka na třídu F, aby byla třída všech lokálně F-volných modulů uzavřena na transfinitní extenze. Díky tomu lze zkonstruovat nové netriviální příklady nedekonstruovatelných tříd. Pre zentovaná metoda zároveň poskytuje alternativní důkaz nedekonstruova telnosti třídy všech plochých Mittag-Lefflerových modulů, nedávného vý sledku D. Herbera a J. Trlifaje.
|
host ::
RSS.