|
| |
|
|
Ideals of Banach Spaces
Smetana, Ondřej ; Cúth, Marek (vedoucí práce) ; Rmoutil, Martin (oponent)
V této práci studujeme ideály Banachových prostorů, tedy jistou třídu jejich podprostorů. Ukážeme, že ideál, lokálně komplementovaný podprostor a existence Hahnova-Banachova rozšiřovacího operátorů splývají. Představíme a rozvineme metodu vhodných modelů. Jedná se o množinově-teoretický přístup, který nám dovoluje zjednodušit technické důkazy. Metodu použijeme k důkazu existence skoro izometrického ideálu. Předvedeme aplikace skoro izometrických ideálů a metody vhodných modelů na silnou a slabou diametr dva vlastnost a také na Daugave- tovu vlastnost.
|
|
|
Ekvidekomposabilita
Valkoun, Matyáš ; Halas, Zdeněk (vedoucí práce) ; Rmoutil, Martin (oponent)
Název práce: Ekvidekomposabilita Autor: Matyáš Valkoun Katedra: Katedra didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D., Katedra didaktiky matem- atiky Abstrakt: Tato bakalářská práce se zaměřujeme na obsah mnohoúhelníku a jeho zave- dení pomocí ekvidekomposability. Nejprve je v rovině ρ je definován mnohoúhelník a jeho obsah, dále je zaveden pojem ekvidekomposabilita. Ukazuje se, že ekvidekompos- abilní (shodně rozložitelné) mnohoúhelníky mají stejný obsah. Nastává tak otázka, zda platí i opačné tvrzení: jsou dva mnohoúhelníky stejného obsahu shodně rozložitelné? To je znění Wallace-Bolyai-Gerweinovy věty, jejíž důkaz je v práci podrobně rozepsán. Díky existenci společného rozkladu dvou mnohoúhelníků stejného obsahu je tak rovnost ob- sahu a ekvidekomposabilita v rovině ekvivalentní. V závěru práce je zkoumána otázka, zda je možné využít ekvidekomposabilitu i v prostoru a zavést pomocí ní objem mno- hostěnu. Klíčová slova: Obsah mnohoúhelníku, ekvidekomposabilita, Wallace-Bolyai-Gerweinova věta, rozklad mnohoúhelníku na trojúhelníky 1
|
|
|
Podivné funkce v matematické analýze
Frantál, Jiří ; Rmoutil, Martin (vedoucí práce) ; Staněk, Jakub (oponent)
Tato práce obsahuje kolekci podivných funkcí, které svými vlastnostmi nějakým způsobem narušují školní intuici žáků. V první části práce je provedena analýza dostupných výukových materiálů (učebnic, souhrnných sbírek a výukových videí), jejíž výsledky jsou pak vodítkem pro výběr konkrétních funkcí v části druhé. Funkce jsou rozděleny do tří částí podle toho, jestli jsou jejich vlastnosti v rozporu s intuicí o spojitosti, derivaci nebo integrálu. Významnou částí práce jsou rovněž grafy jednotlivých funkcí vykreslované programem Wolfram Mathematica.
|
|
|
Stručný úvod do teorie množin pro středoškoláky
Weber, David ; Rmoutil, Martin (vedoucí práce) ; Škorpilová, Martina (oponent)
Práce poskytuje vysvětlení základních konceptů z oblasti teorie množin se zaměřením především na studenty středních škol se zájmem o matematiku. Práce je čle- něna do celkem šesti kapitol. První kapitola poskytuje historický kontext, kde je vysvětlen vývoj pojmu "nekonečno" a důvody pro vznik axiomatické teorie množin. Druhá kapi- tola připomíná základní pojmy z výrokové logiky a zjednodušeně představuje koncept predikátového počtu. Pozornost je hlavně věnována práci s kvantifikátory. Třetí kapitola se zabývá axiomy Zermelovy-Fraenkolovy teorie množin a základními poznatky z nich vyplývajících. Kapitola čtvrtá je samostatně věnována zavedení relací a souvisejícím ter- mínům, především pak zobrazením a jejich vlastnostem. V páté kapitole je ukázán způsob zavedení přirozených čísel pomocí množin. Úvodem je stručně prezentován způsob zave- dení pomocí Peanových axiomů. Dále jsou rozšířeny znalosti o relacích, je definována relace uspořádání společně s uspořádanou množinou a jsou dokázány některé základní vlastnosti přirozených čísel při popsaném zavedení. Poslední kapitola se věnuje proble- matice porovnávání nekonečných množin. Je zde vysvětlena myšlenka Hilbertova hotelu, porovnávání pomocí zobrazení a především je prezentováno užití Cantorovy diagonální metody. V závěru jsou zavedeny termíny...
|
|
| |
|
|
Vlastnosti sigma-pórovitých množin
Rmoutil, Martin ; Zajíček, Luděk (vedoucí práce) ; Zelený, Miroslav (oponent)
V předložené práci dokazujeme několik nových výsledků týkajících se pórovitých a -pórovitých množin. V prvních dvou kapitolách práce zkoumáme některé otázky v R, zatímco v kapitole třetí se soustředíme na zcela jiný problém v kontextu obecných topologicky úplných metrických prostorů. V první kapitole konkrétně dokážeme, že množina Ad všech reálných čísel x 2 (0, 1), v jejichž desetinném rozvoji se cifra 9 vyskytuje s hustotou d 2 (0, 1), není -pórovitá. Tento relativně obtížný výsledek je nový, sámo sobě však nemá valného významu; odpovídá pouze na přirozenou otázku vycházející z článku L. Zajíčka [8]. Hlavním výsledkem druhé kapitoly je výrazné zesílení následujícího výsledku R.J. Najárese a L. Zajíčka z článku [5]: Existuje uzavřená množina F R, která je zprava pórovitá, ale není -zleva pórovitá. Potvrzuje se tedy, že v kontextu jakéhokoli pojmu "horní pórovitosti (tj. pórovitosti definované pomocí limsup) nelze očekávat žádnou souvislost mezi pórovitostí dané množiny zleva a zprava. Z další práce [10] L. Zajíčka vyplývá následující otázka: Buďte A X a B Y dvě G -podmnožiny topologicky úplných metrických prostorů X a Y , které v těchto prostorech nejsou -zdola pórovité. Je nutně pravda, že jejich součin A × B také není -zdola pórovitý? Článek [10] dává kladnou odpověď na stejnou otázku s horní...
|
|
|
Cesàrova sčítací metoda
Bouchalová, Kateřina ; Staněk, Jakub (vedoucí práce) ; Rmoutil, Martin (oponent)
Cesàrova sčítací metoda je jedna z několika sčítacích metod, která dokáže přiřadit součet, mimo jiné, i některým oscilujícím řadám. V této práci si tuto metodu předsta- víme a ukážeme si některé její zajímavé vlastnosti. Také se podíváme na součet všech přirozených čísel a na chybný výpočet, který koluje různě po internetu. 1
|
|
|
Cesty ve čtvercových sítích a související úlohy
Krejčí, Helena ; Slavík, Antonín (vedoucí práce) ; Rmoutil, Martin (oponent)
Práce představuje Catalanova, Schröderova, Motzkinova, Narayanova a Delannoyova čísla ve vztahu ke kombinatorické úloze zabývající se počtem cest ve čtvercové síti. Ke každým ze zmíněných čísel uvádíme vzorec, kterým je lze vypočíst, jejich generující funkci a několik souvisejících úloh. Práce se snaží předložit čtenáři ucelený vhled do této problematiky s důrazem na názornost a kombinatorickou intuici. 1
|
|
|
Exceptional Sets in Mathematical Analysis
Rmoutil, Martin ; Kalenda, Ondřej (vedoucí práce)
Název práce: Výjimečné množiny v matematické analýze Autor: Martin Rmoutil Katedra: Katedra Matematické Analýzy Vedoucí disertační práce: Doc. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc., Katedra matematické ana- lýzy Abstrakt: Tato práce sestává ze čtyř odborných článků. V prvním článku studujeme pojem σ-zdola pórovitých množin; hlavním výsled- kem je konstrukce uzavřených množin A, B ⊂ R, které nejsou σ-zdola pórovité a jejichž součin v R2 je zdola pórovitý. Ve druhém a třetím článku používáme množinově-teoretickou metodu založenou na Löwenheim-Skolemově větě (tzv. metodu elementárních submodelů) k důkazu separabilní determinovanosti jistých σ-ideálů množin v Bana- chových prostorech. Činíme tak nejprve pro pojmy σ-pórovitosti a σ- zdola pórovitosti (v článku druhém) a zjemněním použitých metod pak ve třetím článku dostaneme separabilní determinovanost dalších vlastností. V obou případech dostáváme zajímavé důsledky v podobě rozšíření vět známých pro separabilní prostory do kontextu nesepara- bilního; například: Libovolná spojitá konvexní funkce na Asplundově prostoru je fréchetovsky diferencovatelná ve všech bodech mimo ku- želově malou (cone small) množinu. Čtvrtý článek zavádí následující pojem. Řekneme, že uzavřená množina A ⊂ R je c-odstranitelná, jest- liže platí: Reálná funkce f je konvexní na Rd , kdykoliv...
|
host ::
RSS.