Název:
Vlastnosti sigma-pórovitých množin
Překlad názvu:
Properties of sigma-porous sets
Autoři:
Rmoutil, Martin ; Zajíček, Luděk (vedoucí práce) ; Zelený, Miroslav (oponent) Typ dokumentu: Diplomové práce
Rok:
2010
Jazyk:
cze
Abstrakt: [cze][eng] V předložené práci dokazujeme několik nových výsledků týkajících se pórovitých a -pórovitých množin. V prvních dvou kapitolách práce zkoumáme některé otázky v R, zatímco v kapitole třetí se soustředíme na zcela jiný problém v kontextu obecných topologicky úplných metrických prostorů. V první kapitole konkrétně dokážeme, že množina Ad všech reálných čísel x 2 (0, 1), v jejichž desetinném rozvoji se cifra 9 vyskytuje s hustotou d 2 (0, 1), není -pórovitá. Tento relativně obtížný výsledek je nový, sámo sobě však nemá valného významu; odpovídá pouze na přirozenou otázku vycházející z článku L. Zajíčka [8]. Hlavním výsledkem druhé kapitoly je výrazné zesílení následujícího výsledku R.J. Najárese a L. Zajíčka z článku [5]: Existuje uzavřená množina F R, která je zprava pórovitá, ale není -zleva pórovitá. Potvrzuje se tedy, že v kontextu jakéhokoli pojmu "horní pórovitosti (tj. pórovitosti definované pomocí limsup) nelze očekávat žádnou souvislost mezi pórovitostí dané množiny zleva a zprava. Z další práce [10] L. Zajíčka vyplývá následující otázka: Buďte A X a B Y dvě G -podmnožiny topologicky úplných metrických prostorů X a Y , které v těchto prostorech nejsou -zdola pórovité. Je nutně pravda, že jejich součin A × B také není -zdola pórovitý? Článek [10] dává kladnou odpověď na stejnou otázku s horní...In the present thesis we prove several new results concerning -porous sets. In the first two chapters we examine some properties of related sets in the space R while in the third chapter we concentrate on an entirely different problem formulated in the setting of topologically complete metric spaces. To be more specific, in the first chapter we prove non- -porosity of the set Ad of all real numbers x (0, 1) with decimal expansion containing the number 9 with density d. In spite of being relatively difficult, this new result has little importance in itself. It merely answers a natural question which arises from an article of L. Zajíček [8]. The main result presented in the second chapter is a significant improve- ment of the following result of R.J. Najáres and L. Zajíček from the article [5]: There exists a closed set F R which is right porous, but is not -left porous. Thus for any kind of "upper" porosity (i.e. a porosity defined using limsup) it is now even more unlikely for any connection between "left" and "right" to be discovered. From another work [10] of L. Zajíček arises the following question: If A X and B Y are two non- -lower porous G -subsets of topologically complete metric spaces X and Y , is it necessarily true that the Cartesian product A × B is also non- -lower porous? The article [10]...