|
|
Lelkova hypotéza
Bartošová, Dana ; Simon, Petr (vedoucí práce) ; Balcar, Bohuslav (oponent)
Lelkova hypotéza, která říká, že metrická kontinua se spanem nula jsou chainable, je jedním z nejvíce studovaných problémů v teorii kontinuí. V této práci formulujeme Lelkovu domněnku pro nemetrická kontinua a dokážeme, že pokud existuje nemetrický protipříklad na Lelkovu hypotézu, můžeme jej přeměnit na metrický. Každý spočetný elementární podsvaz L svazu 2X všech uzavřených podmnožin kontinua X lze reprezentovat metrickým kontinuem wL pomocí Wallmanovy reprezentace distributivních svazů. Použitím teorie množin získáme L takové, že X není chainable tehdy a jen tehdy, pokud wL není chainable a X má span nula právě tehdy když wL má span nula. V důkazu druhé části tvrzení používáme Shelahovu větu o izomorfních ultramocninách elementárně ekvivalentních modelů.
|
|
|
Vlastnosti metrických prostorů pomocí konvergence
Pokorný, Robin ; Hušek, Miroslav (vedoucí práce) ; Simon, Petr (oponent)
V této práci se zaobíráme zobecněním struktury konvergence v metrických prostorech a charakterizací některých vlastností pomocí posloupností. Na základě chování konvergentních posloupností, které společně s vybranými vlastnostmi metrických prostorů připomínáme, zavádíme dvě obecné struktury. První z nich, sekvenciální prostor, obsahuje informace o limitě posloupností, kterou uvažuje jednoznačnou. Druhá, uniformně sekvenciální prostor, zobecňuje relaci blízkosti dvou posloupností. Ukážeme, že spojitost zobrazení, topologie, kompaktnost, souvislost a separabilita se dají odvodit ze sekvenciální struktury. Dále že totální omezenost a úplnost se dají charakterizovat s využitím pojmu cauchyovské posloupnosti, kterou můžeme definovat v uniformně sekvenciálních strukturách. O omezenosti dokážeme, že ji nelze popsat ani jednou z těchto struktur.
|
|
|
Součiny Fréchetovských prostorů
Olšák, Miroslav ; Simon, Petr (vedoucí práce) ; Chodounský, David (oponent)
Práce se zabývá konstrukcemi příkladů k-tice prostorů, jejichž součin nemá Fréchet-Urysohnovu vlastnost, ale všechny menší podsoučiny ji mají. Pro tyto konstrukce jsou použity skoro disjunktní systémy. V práci je zopakována konstrukce Petra Simona dvou kompaktních prostorů s touto vlast- ností. Pro příklad s více prostory práce zobecňuje pojmy skoro disjunktních systémů do více dimenzí a předvádí konstrukci obecného takového příkladu za pomocí silně úplně separabilního maximálního skoro disjunktního systému. Ten je sestrojen za předpokladu s ≤ b, kde s je splitting number a b je bounding number.
|
|
| |
|
|
Topologie generované přidáváním jednotlivých bodů
Bartoš, Adam ; Simon, Petr (vedoucí práce)
Zavádíme obecný pojem uzávěrového schématu, abychom systematicky studovali třídy Fréchetových, sekvenciálních, (pseudo)radiálních, (slabě) (dis- krétně) Whyburnových a (slabě) diskrétně generovaných prostorů. Nejprve dokážeme několik obecných tvrzení o uzávěrových schématech a zachová- vání přidružených vlastností vzhledem k topologickým konstrukcím. Tato poté využijeme při systematickém shrnutí vlastností výše uvedených tříd. Dále se zaměříme na podrobný přehled inkluzí mezi jednotlivými třídami v obecném případě, na Hausdorffových prostorech a za dodatečných podmí- nek jako kompaktnost a spočetná kompaktnost. Platné inkluze mezi třídami jsou zobrazeny v přehledných diagramech, neplatné inkluze demonstrovány na množství protipříkladů.
|
|
|
Součiny Fréchetovských prostorů
Olšák, Miroslav ; Simon, Petr (vedoucí práce) ; Chodounský, David (oponent)
Práce se zabývá konstrukcemi příkladů k-tice prostorů, jejichž součin nemá Fréchet-Urysohnovu vlastnost, ale všechny menší podsoučiny ji mají. Pro tyto konstrukce jsou použity skoro disjunktní systémy. V práci je zopakována konstrukce Petra Simona dvou kompaktních prostorů s touto vlast- ností. Pro příklad s více prostory práce zobecňuje pojmy skoro disjunktních systémů do více dimenzí a předvádí konstrukci obecného takového příkladu za pomocí silně úplně separabilního maximálního skoro disjunktního systému. Ten je sestrojen za předpokladu s ≤ b, kde s je splitting number a b je bounding number.
|
|
|
Topologie generované přidáváním jednotlivých bodů
Bartoš, Adam ; Simon, Petr (vedoucí práce)
Zavádíme obecný pojem uzávěrového schématu, abychom systematicky studovali třídy Fréchetových, sekvenciálních, (pseudo)radiálních, (slabě) (dis- krétně) Whyburnových a (slabě) diskrétně generovaných prostorů. Nejprve dokážeme několik obecných tvrzení o uzávěrových schématech a zachová- vání přidružených vlastností vzhledem k topologickým konstrukcím. Tato poté využijeme při systematickém shrnutí vlastností výše uvedených tříd. Dále se zaměříme na podrobný přehled inkluzí mezi jednotlivými třídami v obecném případě, na Hausdorffových prostorech a za dodatečných podmí- nek jako kompaktnost a spočetná kompaktnost. Platné inkluze mezi třídami jsou zobrazeny v přehledných diagramech, neplatné inkluze demonstrovány na množství protipříkladů.
|
|
|
Topologie generované přidáváním jednotlivých bodů
Bartoš, Adam ; Simon, Petr (vedoucí práce) ; Hušek, Miroslav (oponent)
Zavádíme obecný pojem uzávěrového schématu, abychom systematicky studovali třídy Fréchetových, sekvenciálních, (pseudo)radiálních, (slabě) (dis- krétně) Whyburnových a (slabě) diskrétně generovaných prostorů. Nejprve dokážeme několik obecných tvrzení o uzávěrových schématech a zachová- vání přidružených vlastností vzhledem k topologickým konstrukcím. Tato poté využijeme při systematickém shrnutí vlastností výše uvedených tříd. Dále se zaměříme na podrobný přehled inkluzí mezi jednotlivými třídami v obecném případě, na Hausdorffových prostorech a za dodatečných podmí- nek jako kompaktnost a spočetná kompaktnost. Platné inkluze mezi třídami jsou zobrazeny v přehledných diagramech, neplatné inkluze demonstrovány na množství protipříkladů.
|
|
|
Complete Boolean Algebras and Extremally Disconnected Compact Spaces
Starý, Jan ; Simon, Petr (vedoucí práce) ; Bukovský, Lev (oponent) ; Thümmel, Egbert (oponent)
Zkoumáme existenci specielních bod v nekonečných extremálně nesouvislých kompaktních topologických prostorech, které dosvědčují jejich nehomogenitu. S použitím Stoneovy duality ekvivalentně hledáme ultrafil- try na úplných Booleových algebrách s jistými kombinatorickými vlastnostmi. Zavádíme pojem koherentního ultrafiltru (koherentního P-bodu, koherentně selektivního ultrafiltru). Ukazujeme, že generická existence těchto ultrafiltr; na úplných Booleových ccc algebrách s váhou nepřesahující kontinuum je konzistentní s teorií množin, a že tyto utrafiltry slouží jako svědci nehomogenity duálních Stoneových prostor. Studujeme vlastnosti sekvenciální topologie na σ-úplných Booleových algebrách a její vztah k otázkám spojeným s měřitelností a subměřitelností těchto algeber. Ptáme se, zda sekvenciální topologie Booleovy algebry mže být kompaktní a tuto otázku částečně zodpovídáme pro speciální případ Suslinovy algebry.
|
|
|
Souvislé kompaktifikace
Vaváčková, Martina ; Simon, Petr (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Název práce: Souvislé kompaktifikace Autor: Martina Vaváčková Katedra: Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Petr Simon, DrSc., Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Abstrakt: Tato práce se věnuje studiu souvislých kompaktifikací vybraných Ticho- novových prostorů. Předmětem zájmu jsou především maximální prvky v relaci částečného uspořádání, definované na množině všech souvislých kompaktifikací daného prostoru. Nejprve charakterizujeme maximální souvislé kompaktifikace prostorů s konečně mnoha komponentami a zmiňujeme některé, zejména zobec- něné uspořádané prostory, které nemají žádnou souvislou kompaktifikaci. Dále se zabýváme souvislými kompaktifikacemi prostoru racionálních čísel. Popisujeme konstrukci kompaktifikace tohoto prostoru analogickou ke konstrukci Čechovy- Stoneovy kompaktifikace a ukazujeme nutnou a postačující podmínku souvislosti a maximality takové kompaktifikace. Klíčová slova: souvislý prostor, kompaktní prostor, konektifikace, kompaktifikace
|
host ::
RSS.