|
| |
|
|
Stochastic Evolution Equations
Čoupek, Petr ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Garrido-Atienza, María J. (oponent) ; Hlubinka, Daniel (oponent)
Stochastické evoluční rovnice Petr Čoupek Disertační práce Abstrakt Tématem práce jsou lineární stochastické evoluční rovnice s aditivním regulárním volterrovským šumem. Regulární volterrovské procesy jsou stochastické procesy, které nemusejí být markovské, gaus- sovské a ani nemusejí být semimartingaly, ale namísto těchto vlastností mají jistou kovarianční struk- turu. Konkrétní příklady zahrnují frakcionální Brownův pohyb s Hurstovým parameterem H > 1/2 a, v negaussovském případě, Rosenblattův proces. Řešení uvažovaných stochastických rovnic je dáno vzorcem pro variaci konstant (v tzv. " mild" tvaru) a nabývá hodnot v separabilním Hilbertově pro- storu nebo v prostoru Lp(D; µ) pro velké p. V hilbertovském případě je studována zejména existence a regularita tohoto řešení a dále jeho chování pro velké časy. V případě, že řešení nabývá hodnot v prostoru Lp, je studována existence a regularita tohoto řešení a v konkrétních případech stochas- tických parciálních diferenciálních rovnic je ukázáno, že řešením je náhodné pole, které je spojité jak v časové, tak v prostorové proměnné.
|
|
|
Téměř optimální obchodní strategie pro více rizikových aktiv
Tarabić, Aleksandra ; Dostál, Petr (vedoucí práce) ; Maslowski, Bohdan (oponent)
Uvažujeme investora, který má možnost investovat do více rizikových aktiv, nazvaných akcie, a do jednoho nerizikového aktiva, nazvaného opce. Cílem investora je maximalizovat svoje bohatství, a to dlouhodobě. Problematika je zjednodušena zavedením určitých předpokladů, jakož jsou proporcionální transakční náklady, použití vícedimensionálního Brownova pohybu při modelování cen akcií a HARA užitková funkce. Za předpokladu nezávislosti cen akcií jsme schopny najít téměř optimální strategii obchodování.
|
|
|
Modelování úrokových sazeb s využitím Lévyho procesů
Slámová, Lenka ; Beneš, Viktor (vedoucí práce) ; Maslowski, Bohdan (oponent)
V předložené práci studujeme HJM model časové struktury úrokových sazeb řízený Lévyho procesem. Studujeme bezaritrážní dynamiku diskontovaných cen bezkupónových dluhopisů a jako důsledek obrdžíme model pro proces bezrizikové úrokové sazby. Speciálně se zaměříme na proces krátkodobé úrokové sazby a zformulujeme kritéria pro tzv. mean reversion. Teorie nám dává postup pro získání procesu krátkodobé úrokové sazby pro obecný Lévyho řídící proces a obecnou strukturu volatility, a neprázdnost této teorie demonstrujeme na příkladu Orstein-Uhlenbeckova procesu řízeného Lévyho procesem, s marginálním generalized inverse Gaussian rozdělením. Výsledkem je xplicitní vzorec pro proces krátkodobé úrokové sazby, který zobecňuje Vašíčkův model, a navíc je vždy kladný. Nakonec studujeme numerické metod ypro takto zkonstruovaný proces úrokových sazeb, jako jsou simulace a multinomické stromy.
|
|
| |
|
|
Variation of Fractional Processes
Kiška, Boris ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Maslowski, Bohdan (oponent)
V tejto práci študujeme rôzne pojmy variácie určitých stochastických procesov, konkrétne $p$-variáciu, $p$-tú variáciu pozdĺž postupnosti delení po trajektóriách a $p$-tú variáciu pozdĺž postupnosti delení. Študujeme tieto koncepty pre frakcionálne Brownove pohyby a Rosenblattove procesy. Frakcionálny Brownov pohyb je Gaussovský proces a v posledných dvoch desaťročiach sa intenzívne rozvíjal a študoval kvôli jeho dôležitosti pri modelovaní rôznych javov. Na druhej strane, Rosenblattovmu procesu, čo je ne-Gaussovský proces, ktorý sa dá použiť na modelovanie ne-Gaussovských fluktuácií, sa nevenovala taká pozornosť ako frakcionálnemu Brownovmu pohybu. Z tohto dôvodu sa v tejto práci sústredíme na tento proces a uvádzame niekoľko pôvodných výsledkov, ktoré sa zaoberajú ergodicitou, $p$-variáciou, $p$-tou variáciou pozdĺž postupnosti delení po trajektóriách a $p$-tou variáciou pozdĺž postupnosti delení. Boris Kiška
|
|
|
Trajektorie frakcionálních Brownových pohybů
Roubínová, Veronika ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Maslowski, Bohdan (oponent)
Tato práce se věnuje frakcionálnímu Brownovu procesu a především vlastnostem jeho trajektorií. Nejprve jsou definovány základní pojmy a samotný frakcionální Brownův po- hyb. Následně jsou odvozeny jeho základní vlastnosti, mezi které patří korelace přírůstků a soběpodobnost. V souvislosti s regularitou trajektorií je ukázána jejich spojitost s vy- užitím Kolmogorovovy-Čencovovy věty. V hlavní části práce je poté podrobně dokázán zákon iterovaného logaritmu, který je dále doplněn o simulace limitního chování trajek- torií frakcionálního Brownova pohybu a využit následně v důkazu nediferencovatelnosti trajektorií. 1
|
|
|
Semilinear stochastic evolution equations
Kršek, Daniel ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Čoupek, Petr (oponent)
Stochastické parciální diferenciální rovnice nachází uplatnění v řadě aplikovaných oblastí matematiky, jako například ve fyzice nebo finanční matematice. Velkou část těchto rovnic tvoří lineární rovnice s aditivním šumem. V některých případech ale koefi- cient driftu obsahuje navíc problematický nelineární člen, kvůli němuž nelze standardními metodami nalézt řešení, a to dokonce ani ve tvaru "mild". V těchto situacích můžeme použít vhodnou transformaci pravděpodobnostního prostoru a nalézt řešení v takzvaném slabém smyslu. Tato práce se zabývá semilineárními stochastickými evolučními rovnicemi v separabilním Hilbertově prostoru s řídícím procesem Volterrovského typu. Tyto pro- cesy tvoří velkou skupinu procesů, které lze chápat jako zobecnění Wienerova procesu, a mají značné uplatnění ve stochastickém modelování. Slabá řešení rovnic s těmito pro- cesy byla ale doposud studována pouze pro frakcionální Brownův pohyb. Tato práce představuje zoběcnění Girsanovovy věty pro obecné cylindrické Gaussovské Volterrovské procesy a důkaz existence slabého řešení za jistých podmínek. V práci je navíc dokázáno, že v jistých případech lze zaručit jednoznačnost rovnice v distribuci. Dále se zabýváme rovnicemi, kde je uvažován Liouvilleův frakcionální Brownův pohyb jako řídící proces. Pro tento případ je představen důkaz...
|
|
|
Stochastic Evolution Equations
Čoupek, Petr ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce)
Stochastické evoluční rovnice Petr Čoupek Disertační práce Abstrakt Tématem práce jsou lineární stochastické evoluční rovnice s aditivním regulárním volterrovským šumem. Regulární volterrovské procesy jsou stochastické procesy, které nemusejí být markovské, gaus- sovské a ani nemusejí být semimartingaly, ale namísto těchto vlastností mají jistou kovarianční struk- turu. Konkrétní příklady zahrnují frakcionální Brownův pohyb s Hurstovým parameterem H > 1/2 a, v negaussovském případě, Rosenblattův proces. Řešení uvažovaných stochastických rovnic je dáno vzorcem pro variaci konstant (v tzv. " mild" tvaru) a nabývá hodnot v separabilním Hilbertově pro- storu nebo v prostoru Lp(D; µ) pro velké p. V hilbertovském případě je studována zejména existence a regularita tohoto řešení a dále jeho chování pro velké časy. V případě, že řešení nabývá hodnot v prostoru Lp, je studována existence a regularita tohoto řešení a v konkrétních případech stochas- tických parciálních diferenciálních rovnic je ukázáno, že řešením je náhodné pole, které je spojité jak v časové, tak v prostorové proměnné.
|
|
|
Stochastic Differential Equations with Gaussian Noise
Janák, Josef ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce)
Název práce: Stochastické diferenciální rovnice s Gaussovským šumem Autor: Josef Janák Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí disertační práce: Prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc., Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstrakt: V práci studujeme stochastické parciální diferenciální rovnice druhého řádu se dvěma neznámými parametry. Nalezneme tvar silně spojité semigrupy (S(t), t ≥ 0) pro hyperbolický systém řízený Brownovým pohybem a také tvar kovarian- čního operátoru invariantní míry Q (a,b) ∞ . Na základě ergodických vět odvodíme dvě vhodné skupiny odhadů ve smyslu minimálního kontrastu a dokážeme jejich silnou konzistenci i asymptotickou normalitu. Dále se zabýváme odhady založenými na "po- zorovacím okně", což vede k dalším skupinám silně konzistentních odhadů. Popisu- jeme jejich vlastnosti a speciální případy i jejich asymptotickou normalitu. Výsledky aplikujeme na stochastickou vlnovou rovnici s Brownovým šumem a ilustrujeme je v mnoha počítačových simulacích. Klíčová slova: Stochastická hyperbolická rovnice, Ornstein-Uhlenbeckův proces, invariantní míra, odhady parametrů, silná konzistence, asymptotická normalita.
|
host ::
RSS.