|
|
Comparison of direct regularization methods based on least squares for problems corrupted by noise
Cepko, Tomáš ; Hnětynková, Iveta (vedoucí práce) ; Kučera, Václav (oponent)
V práci sa budeme zaoberať inverznou lineárnou aproximačnou úlohou Ax ≈ b, kde je naším cieľom nájsť čo najlepšiu aproximáciu x neznámeho presného riešenia. Špeciálne sa sústredíme na tzv. rank-deficient a ill-posed úlohy, ktoré sú veľmi zle podmienené a citlivé na možný náhodný šum prítomný v b. K riešeniu takýchto úloh potom musíme použiť regularizačné metódy, ktoré túto citlivosť potlačia. Hlavným cieľom práce bude získať ucelený prehľad o priamych metódach T-SVD, T-TLS a Tichonovskej regulari- zácii, a analyzovať ich úzku spätosť s klasickými metódami najmenších štvorcov. Jeden z možných prístupov je formulovať tieto regularizačné metódy ako tzv. filtračné. Takýmto spôsobom si ich budeme implementovať pre numerické experimenty. Súčasťou práce bude numerické porovnanie týchto metód na vybraných úlohách z Regularizačného Toolboxu a v aplikačnej úlohe rekonštrukcie obrazu. 1
|
|
|
Aproximace metodou TLS: lineární fitování dat pro problémy s nepřesným modelem
Pokorná, Kateřina ; Hnětynková, Iveta (vedoucí práce) ; Duintjer Tebbens, Erik Jurjen (oponent)
V předložené práci se budeme zabývat lineární aproximační úlohou, kde pozorování i model jsou zatíženy chybami, a zaměříme se na problém úplných nejmenších čtverců (TLS), jímž lze takové úlohy řešit. Shrneme klasickou teorii existence a jednoznačnosti TLS řešení, uvedeme klasický TLS algoritmus a podíváme se na komplikace, které mohou při jeho implementaci nastat. Dále budeme studovat singulární rozklad (SVD) matice, jež se využívá při konstrukci TLS řešení. Podrobně popíšeme metodu jeho výpočtu. Protože je výpočet SVD poměrně náročný, soustředíme se dále na možnost aproximace jeho části potřebné ke konstrukci TLS řešení, tzv. singulárních tripletů, založené na Golub-Kahanově iterační bidiagonalizaci. Nakonec budeme v numerických experimentech testovat vliv kva- lity aproximace nejmenších singulárních tripletů na spočtené TLS řešení. 1
|
|
|
Propagace šumu v algoritmech kostruujících krylovovské regularizační báze pro řešení inverzních problémů
Kašpar, Jakub ; Hnětynková, Iveta (vedoucí práce) ; Plešinger, Martin (oponent)
Tato práce se věnuje problému aproximace řešení lineárních inverzních úloh Ax ≈ b se zhlazujícím operátorem A a s pravou stranou b zanesenou náhodným šumem. Pro na- lezení vhodné aproximace x lze využít celou třídu regularizačních metod, které iterativně odhadují řešení pomocí jeho projekce na vhodně zvolený Krylovův prostor malé dimenze. Navzdory tomu, že tato projekce má filtrační vlastnosti, dochází k postupné propagaci šumu do projekce, což vede k semikonvergenci metod. Znalost míry propagace šumu je pak zásadní pro nalezení nejpřesnější aproximace řešení. Předložená práce studuje propagaci šumu v algoritmech Golub-Kahanovy iterační bidiagonalizace a Lanzosova algoritmu, které vytvářejí příslušný Krylovův prostor pro metody LSQR a MINRES. V práci analyzujeme koeficient, který v každé z metod am- plifikuje šum, pro oba algoritmy je tento koeficient vyjádřen pomocí koeficientů Lan- czosových polynomů, které jsou generovány při výpočtu ortonormální báze příslušného Krylovova prostoru. Pro Golub-Kahanovu iterační bidiagonalizaci jde o shrnutí a podrob- nější rozepsání dostupné literatury, pro Lanczosův algoritmus jde o původní práci. Pro obě metody dále dokazujeme vztah mezi koeficientem amplifikujícím šum a normou pří- slušného rezidua. Teoretické poznatky z práce jsou ilustrovány numerickými experimenty...
|
|
|
Analýza krylovovských regularizačních metod pro úlohy zaostřování obrazu
Machalová, Markéta ; Hnětynková, Iveta (vedoucí práce) ; Tichý, Petr (oponent)
Diplomová práce se zabývá konstrukcí a vlastnostmi úloh zaostřování obrazu spolu s přístupy k jejich řešení. Zaměřujeme se na krylovovské metody LSQR, GMRES a RRG- MRES, jež jsou známy svými regularizačními vlastnostmi. Analyzujeme konvergenční chování metod, časovou efektivitu a kvalitu aproximovaného řešení. Dále představujeme blokové krylovovské metody, v oblasti zpracování obrazu ne příliš probádané. Tyto me- tody řeší soustavu lineárních rovnic s násobnou pravou stranou a vznikly zobecněním krylovovských metod, které slouží pro řešení lineárních rovnic s vektorovou pravou stra- nou. V závěru pak provádíme numerické experimenty zkoumající vliv různých faktorů na výsledky zaostřování obrazu a časovou složitost jednotlivých metod a porovnáváme blokové a neblokové metody. 1
|
|
|
Mixed Precision in Uncertainty Quantification Methods
Martínek, Josef ; Carson, Erin Claire (vedoucí práce) ; Hnětynková, Iveta (oponent)
Tato práce se zabývá analýzou a využitím tzv. aritmetiky se smíšenou přesností (mixed precision arithmetic) v metodách pro kvantifikaci nejistoty (uncertainty quan- tification methods) s důrazem na víceúrovňovou metodu Monte Carlo (multilevel Monte Carlo, MLMC). Aritmetika se smíšenou přesností může být využita ke zvýšení výpočet- ního výkonu, ale měla by být využívána obezřetně, abychom se vyvarovali nežádoucích efektů na přesnost výsledku. Tato práce přináší exaktní analýzu metod pro kvantifikaci nejistoty v aritmetice se smíšenou přesností. Na základě této analýzy využijeme ar- itmetiku se smíšenou přesností ke zrychlení běhu algoritmů pro kvantifikaci nejistoty, přičemž celková chyba zůstane zachována. Začneme tím, že uvedeme modelový problém, eliptickou parciální diferenciální rovnici s náhodnými koeficienty a náhodnou pravou stranou. Problém tohoto typu dostáváme například při modelování proudění podzemní vody. Zaměřujeme se na aproximaci veličiny, která je dána jako střední hodnota nějakého funkcionálu řešení dané parciální diferenciální rovnice. K tomuto účelu používáme konformní metodu konečných prvků pro aproximaci v prostorové proměnné a metodu MLMC pro aproximaci střední hodnoty. Tato práce přináší novou exaktní analýzu metody MLMC v aritmetice s konečnou přesností. Na základě této analýzy...
|
|
|
Iterative methods for Tichonov regularization with generalized regularization terms
Kučerová, Andrea ; Hnětynková, Iveta (vedoucí práce) ; Carson, Erin Claire (oponent)
Cílem této práce je studovat hybridní metody pro řešení lineárních ill-posed problémů obsahujících bílý šum. Tyto přístupy jsou založené na kombinaci iteračních Krylovov- ských metod a Tichonovské regularizace se zobecněným regularizačním členem. Popí- šeme základní vlastnosti ill-posed úloh, myšlenku regularizace, vliv regularizačního členu na vynucení žádoucích vlastností řešení a teoretické základy Standardní a Zobecněné Ti- chonovské minimalizace. Dále dokážeme tzv. shift invarianci Krylovovských prostorů. To nám umožní uvést iterativní hybridní přístup, při kterém projektujeme problém na Krylo- vovský prostor menší dimenze a následně na něj aplikujeme Tichonovskou minimalizaci. Soustředíme se na regularizaci založenou na aproximaci derivace řešení pomocí koneč- ných diferencí. Prezentujeme známé regularizační členy konstruované pomocí dopředné diference pro první a druhou derivaci a dále využijeme Taylorův rozvoj pro konstrukci ko- nečných diferencí vyšších řádů přesnosti. Použijeme různé varianty okrajových podmínek. Studujeme vliv řádu přesnosti schématu pro výpočet konečné diference na kvalitu spoč- teného řešení. Pro potřeby experimentů používáme hybridní metodu kombinující LSQR s Tichonovskou regularizací. 1
|
|
|
Algebraický pohled na metodu PCA ve vybraných aplikacích
Hammerbauer, Tomáš ; Hnětynková, Iveta (vedoucí práce) ; Tichý, Petr (oponent)
Tato práce se zabývá popisem algebraického a statistického pohledu na Analýzu hlav- ních komponent a způsobem získávání důležitých proměnných. Jsou zde uvedeny základní vlastnosti singulárního rozkladu a způsob aproximace matice maticí menší hodnosti. Ná- sledně je zde popsáno propojení PCA se singulárním rozkladem. Vše je nakonec ilustro- váno v numerických experimentech, kde aplikujeme PCA na databázi obrazů a je zde ukázáno, jak se dají pomocí bázových dat aproximovat obrazy podobného charakteru jako v databázi. K experimentům jsou podány teoretické základy a následně jsou experi- menty implementovány v prostředí Matlab. 1
|
|
|
Approximate Polynomial Greatest Common Divisor
Eliaš, Ján ; Zítko, Jan (vedoucí práce) ; Hnětynková, Iveta (oponent)
Název práce: Approximate Polynomial Greatest Common Divisor Autor: Ján Eliaš Katedra: Katedra numerické matematiky, MFF UK Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Jan Zítko, CSc., Katedra numerické matematiky, MFF UK Abstrakt: Výpočet najväčšieho spoločného delitel'a (GCD) dvoch polynómov patrí medzi základné problémy numerickej matematiky. Euklidov algoritmus je najstaršia a bežne používaná metóda na výpočet GCD, avšak táto metóda je značne nestabilná. Výpočet GCD je navyše zle postavená úloha v tom zmysle, že l'ubovol'ný šum pridaný ku koeficientom polynómov redukuje netriviálny GCD na konštantu. Jednu skupinu nových metód predstavujú metódy založené na odhade numerickej hod- nosti matíc. Operácie s polynómami sa tak redukujú na maticové počty. Ich nevýhodou je, že ani numerická hodnost' nemusí byt' spočítaná presne a hodnoverne kvôli citlivosti singulárnych čísel na šume. Ciel'om práce je prekonat' citlivost' výpočtu GCD na šume. Klíčová slova: AGCD, Sylvesterova matica, numerická hodnost', TLS
|
|
| |
|
|
Numerical Methods in Discrete Inverse Problems
Kubínová, Marie ; Hnětynková, Iveta (vedoucí práce) ; Gazzola, Silvia (oponent) ; Meurant, Gerard (oponent)
Název práce: Numerické metody pro řešení diskrétních inverzních úloh Autor: Marie Kubínová Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí disertační práce: RNDr. Iveta Hnětynková, Ph.D., Katedra numerické matematiky Abstrakt: Inverzní úlohy představují širokou skupinu problémů rekonstrukce neznámých veličin z naměřených dat, přičemž společným rysem těchto problémů je vysoká citlivost řešení na změny v datech. Úkolem numerických metod je zkonstruovat výpočetně nenáročným způsobem aproximaci řešení a zároveň pot- lačit vliv nepřesností v datech, tzv. šumu, který je vždy přítomen. Vlastnosti šumu a jeho chování v regularizačních metodách hrají klíčovou roli při konstruk- ci a analýze těchto metod. Tato práce se zaměřuje na některé aspekty řešení diskrétních inverzních úloh, a to konkrétně: na propagaci šumu v iteračních metodách a jeho reprezentaci v příslušných residuích, včetně studia vlivu arit- metiky s konečnou přesností, na odhad hladiny šumu a na řešení problémů s daty zatíženými šumem z různých zdrojů. Klíčová slova: diskrétní inverzní úlohy, iterační metody, odhadování šumu, smíšený šum, aritmetika s konečnou přesností - v -
|
host ::
RSS.