|
|
Numerické srovnání algoritmů CGLS a LSQR
Mrňák, Petr ; Tichý, Petr (vedoucí práce) ; Tůma, Miroslav (oponent)
Tato bakalářská práce se zabývá představením dvou matematicky ekvi- valentních algoritmů CGLS a LSQR, na které lze nahlížet jako na verze metody sdru- žených gradientů aplikované na systém normálních rovnic. Tato práce se vě- nuje jejich porovnání jak z teoretického hlediska (ukázání vztahů mezi vektory a koeficienty), tak i z praktického hlediska (chování obou algoritmů při výpočtech v aritmetice s konečnou přesností). 1
|
|
|
Výpočet kořenů polynomů pomocí přidružených matic
Novák, Martin ; Tichý, Petr (vedoucí práce) ; Papež, Jan (oponent)
Práce detailně popisuje vztah mezi kořeny polynomu a vlastními čísly přidružené ma- tice, která vzniká z koeficientů daného polynomu vyjádřeného v monomiální bázi. Pro numerické výpočty je vhodné uvažovat polynom v nějaké bázi ortogonálních polynomů. Z koeficientů pak lze opět sestavit tzv. comrade matici. Platí obdobný vztah mezi kořeny polynomu a vlastními čísly příslušné comrade matice. Ukazujeme, že přidružené a co- mrade matice jsou non-derogatory matice. Práce je doplněna numerickými experimenty provedenými v MATLABu. 1
|
|
|
Numerické srovnání algoritmů CGLS a LSQR
Mrňák, Petr ; Tichý, Petr (vedoucí práce) ; Tůma, Miroslav (oponent)
Tato bakalářská práce se zabývá představením dvou algoritmů, konkrétně LSQR a CGLS, a poté jejich porovnání v oblasti teorie a oblasti praktického použití a výpočtů. Nejprve je důležité položit základy pro tyto algoritmy pomocí sdružených gradientů a Lanczosovy tridiagonalizace. Oba algoritmy jsou teoreticky ekvivalentní, ale v praxi je potřeba mezi nimi rozlišit, který je vhodnější pro daný výpočet. 1
|
|
|
Analýza krylovovských regularizačních metod pro úlohy zaostřování obrazu
Machalová, Markéta ; Hnětynková, Iveta (vedoucí práce) ; Tichý, Petr (oponent)
Diplomová práce se zabývá konstrukcí a vlastnostmi úloh zaostřování obrazu spolu s přístupy k jejich řešení. Zaměřujeme se na krylovovské metody LSQR, GMRES a RRG- MRES, jež jsou známy svými regularizačními vlastnostmi. Analyzujeme konvergenční chování metod, časovou efektivitu a kvalitu aproximovaného řešení. Dále představujeme blokové krylovovské metody, v oblasti zpracování obrazu ne příliš probádané. Tyto me- tody řeší soustavu lineárních rovnic s násobnou pravou stranou a vznikly zobecněním krylovovských metod, které slouží pro řešení lineárních rovnic s vektorovou pravou stra- nou. V závěru pak provádíme numerické experimenty zkoumající vliv různých faktorů na výsledky zaostřování obrazu a časovou složitost jednotlivých metod a porovnáváme blokové a neblokové metody. 1
|
|
|
Metoda sdružených gradientů s deflací
Piskalla, Adam ; Papež, Jan (vedoucí práce) ; Tichý, Petr (oponent)
Metoda sdružených gradientů je jednou ze základních iteračních metod pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic se symetrickou pozitivně definitní maticí. V práci uvádíme dvě různá odvození této metody a ukazujeme některé její vlastnosti. V situa- cích, kdy metoda konverguje pomalu či téměř stagnuje, se obvykle používají techniky, které transformují původní soustavu s cílem konvergenci urychlit. Jednou z nich je před- podmínění, u kterého stručně uvádíme základní myšlenku a algoritmus předpodmíně- ných sdružených gradientů. Podrobněji se pak zaměřujeme na techniku tak zvané deflace. Představujeme kontext, v jakém byla popsána v literatuře, a komentujeme různé přístupy k odvození algoritmu deflated CG. Vysvětlujeme princip deflace a algoritmus detailně od- vozujeme, přičemž popisujeme i kroky, které v literatuře nebývají explicitně uvedeny nebo podrobně rozebrány. Vliv deflace na rychlost konvergence ilustrujeme na jednoduchých numerických experimentech. 1
|
|
|
Computations of Google's PageRank
Smejkalová, Barbora ; Tichý, Petr (vedoucí práce) ; Tůma, Miroslav (oponent)
Práce se zabývá vhodnými numerickými metodami pro řešení PageRank problému. Problém PageRank je formulován a matematicky popsán pomocí intuitivních pozorování, které jsou v práci pojmenovány theses. Představíme a analyzujeme dvě numerické metody vhodné k řešení získaných algebraických problémů, konkrétně metodu mocninnou a inner-outer metodu. Prezentované numerické experimenty demonstrují a porovnávají chování metod pro různé testovací matice i různé vstupní parametry. 1
|
|
|
Algebraický pohled na metodu PCA ve vybraných aplikacích
Hammerbauer, Tomáš ; Hnětynková, Iveta (vedoucí práce) ; Tichý, Petr (oponent)
Tato práce se zabývá popisem algebraického a statistického pohledu na Analýzu hlav- ních komponent a způsobem získávání důležitých proměnných. Jsou zde uvedeny základní vlastnosti singulárního rozkladu a způsob aproximace matice maticí menší hodnosti. Ná- sledně je zde popsáno propojení PCA se singulárním rozkladem. Vše je nakonec ilustro- váno v numerických experimentech, kde aplikujeme PCA na databázi obrazů a je zde ukázáno, jak se dají pomocí bázových dat aproximovat obrazy podobného charakteru jako v databázi. K experimentům jsou podány teoretické základy a následně jsou experi- menty implementovány v prostředí Matlab. 1
|
|
|
Neúplná Choleského faktorizace
Hoang, Phuong Thao ; Tůma, Miroslav (vedoucí práce) ; Tichý, Petr (oponent)
Práce se zabývá neúplnou Choleského faktorizací a jejími variantami, které mají velký význam pro předpodmiňování úloh se symetrickou a pozitivně definitní maticí. Zde se soustředíme především na řešení těchto velmi rozsáhlých soustav s řídkými maticemi, které vznikají v mnoha technických a přírodovědných oborech, pomocí předpodmíněných sdružených gradientů. Kromě dalších postupů můžeme na soustavu aplikovat Choleského faktorizaci přibližně, neúplně. V této práci studujeme existenci této faktorizace a chování a potenciál různých variant základního algoritmu. 1
|
|
|
Pole hodnot matice: Teorie a výpočet
Vacek, Lukáš ; Tichý, Petr (vedoucí práce) ; Tůma, Miroslav (oponent)
Pole hodnot matice A je konvexní množina v komplexní rovině určená maticí A. Má své důležité místo v teorii matic, a to především při zkoumání vlast- ností nenormálních matic, konvergence iteračních metod aplikovaných na tyto ma- tice, vlastností maticových polynomů, odhadování norem maticových funkcí atd. Práce shrnuje známé poznatky o poli hodnot matice, formuluje otevřené problémy a seznamuje čtenáře s myšlenkou algoritmu jeho výpočtu. V numerických expe- rimentech pak srovnává standardní realizaci tohoto algoritmu s alternativními přístupy používajícími mocninnou metodu, Lanczosův algoritmus a Chebfun.
|
|
|
Numerické počítání s funkcemi pomocí Chebfun
Lébl, Matěj ; Tichý, Petr (vedoucí práce) ; Hnětynková, Iveta (oponent)
Cílem práce je představit software Chebfun a myšlenky, na kterých je postaven. V první kapitole jsou shrnuty poznatky teorie polynomiální interpolace se zaměřením na Čebyševovy interpolanty. V druhé kapitole je představen software Chebfun, jeho základní příkazy a principy vytváření interpolantů. Třetí kapitola je věnována demonstraci tvrzení uvedených v první kapitole a ukázkám praktického použití Chebfunu při hledání kořenů funkce a řešení diferenciálních rovnic. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
host ::
RSS.