|
|
Aplikace Gröbnerových bází v kryptografii
Fuchs, Aleš ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
Název práce: Aplikace Gröbnerových bází v kryptografii Autor: Aleš Fuchs Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Mgr. Jan Št'ovíček Ph.D., Katedra algebry Abstrakt: V této práci studujeme přípustná uspořádání a postupy redukce polynomu množinou jiných polynomů v prostředí polynomiálních okruhů nad konečnými tělesy. Zde hrají významnou roli Gröbnerovy báze nějakého ideálu, které díky svým vlastnostem umožňují řešit problém náležení do daného ideálu. Zkoumáme také vlastnosti takzvaných redukovaných Gröbnerových bází, které jsou pro daný ideál jednoznačně určené a v jistém ohledu mi- nimální. Dále se zabýváme rozšířením této teorie do prostředí volných alge- ber nad konečnými tělesy, kde proměnné nekomutují. Na rozdíl od prvního případu zde Gröbnerovy báze mohou být nekonečné i pro konečně generované oboustranné ideály. V poslední kapitole uvádíme asymetrický kryptosystém Polly Cracker založený právě na problému náležení do ideálu jak v komuta- tivní, tak v nekomutativní teorii. Zkoumáme známé metody kryptoanalýzy aplikované na tyto systémy a v několika případech i opatření, která útokům předchází. Souhrn opatření aplikujeme v poslední části věnované návrhům...
|
|
|
Grupové okruhy v teorii kódů
Horáček, Jan ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
Tato práce se zabývá lineárními samoopravnými kódy v grupovém okruhu. Je podán základní úvod do grupových okruhů a do kódování v grupových okruzích. Kód chápeme jako R-podmodul, což je zobecnění definice kódu jako ideálu. Popíšeme kódy odvozené od invertibilního prvku a od dělitele nuly. Provedeme testování parametrů kódu odvozených od invertibilního prvku. Vysvětlíme konstrukci LDPC kódů bez krátkých kružnic. Kromě určení generující a kontrolní matice kódů je kladen důraz na algebraické vlastnosti kódů a grupových okruhů. Zabýváme se také samoduálními kódy, reverzními kódy nebo počtem invertibilních prvků konečné grupové algebry cyklické grupy. 1
|
|
|
Gröbnerovy báze
Petržilková, Lenka ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Růžička, Pavel (oponent)
V této práci si nejprve připomeneme základní Buchbergerův algoritmus pro výpočet Gröbnerovy báze nad komutativními polynomiálními okruhy. Zabýváme se také jednoznačností Gröbnerovy báze pro daný ideál. Dále zkoumáme méně známý, ale pro některé případy efektivnější Faugèreův F4 algoritmus. V závěru první kapitoly tyto dva algoritmy porovnáme. V druhé kapitole rozebereme zobecnění Buchbergerova algoritmu pro nekomutativní okruhy a to jak pro volné tak pro faktorové algebry. Na rozdíl od komu- tativního případu zde mohou mít i konečně generované ideály nekonečné Gröbnerovy báze. Mimo jiné zde zkoumáme tzv. kvazi-nuly, tj. prvky, ze kte- rých přenásobením libovolným termem vznikne nula, a jejich roli při redukci polynomu množinou. 1
|
|
|
Set-theoretic methods in module theory
Slávik, Alexander ; Trlifaj, Jan (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
Třída modulů se nazývá dekonstruovatelná, pokud jde o třídu všech S-filtrovaných modulů pro nějakou množinu modulů S. Takovéto třdy nacházejí široké uplatnění v teorii aproximací modulů. V práci je dokázána dekonstruovatelnost třídy všech modulů majících C-resolventu a dekonstru ovatelnost tříd všech modulů s omezenou C-resolventní dimenzí za předpo kladu dekonstruovatelnosti třídy C. Dále jsou zkoumány lokálně F-volné moduly; je dokázána postačující podmínka na třídu F, aby byla třída všech lokálně F-volných modulů uzavřena na transfinitní extenze. Díky tomu lze zkonstruovat nové netriviální příklady nedekonstruovatelných tříd. Pre zentovaná metoda zároveň poskytuje alternativní důkaz nedekonstruova telnosti třídy všech plochých Mittag-Lefflerových modulů, nedávného vý sledku D. Herbera a J. Trlifaje.
|
|
|
Popis kryptosystému HFE
Jančaříková, Irena ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Tato bakalářská práce se zabývá popisem asymetrického kryptosystému HFE. Je v ní obsažen popis šifrování a dešifrování pomocí tohoto kryptosystému, odhady na časovou složitost soukromé i veřejné transformace. Odhady na paměťové nároky na uložení tajného a veřejného klíče. Práce dále obsahuje základní popis předchůdce kryptosystému HFE, kryptosystému C*. Součástí práce je i krátká pasáž o MQ problému, na kterém je postaveno fungování obou kryptosystémů a krátké pojednání o konečných tělesech, nad kterými jsou oba kryptosystémy definovány. Práce se zabývá i útokem, který dokazuje prolomitelnost C* pro naprostou většinu šifrových textů a obsahuje variantu tohoto útoku pro kryptosystém HFE.
|
|
| |
|
|
Řešení soustav rovnic nad komutativními okruhy
Seidl, Jan ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
Předmětem této práce je nabídnout algoritmus, jakým se dají řešit soustavy lineárních rovnic Ax=b nad okruhy hlavních ideálů. Dokážeme, že ke každé nenulové matici nad okruhem hlavních ideálů existuje její Smithův tvar. Užitím Smithova tvaru převedeme danou soustavu do jednoduché diagonální podoby a ukážeme, jak z řešení soustavy v této diagonální podobě lze získat řešení původní soustavy. Celý postup demonstrujeme na příkladech pro okruhy Z, Zm a Q[x]. Následně předvedeme, jak je možné algoritmus pro jednotlivé okruhy implementovat v programu Mathematica. Práce by měla také poskytnou postup, podle kterého by nemělo být obtížné modi- fikovat algoritmus tak, aby bylo možné získat řešení soustav i pro jiné okruhy. 1
|
|
|
Kompaktní objekty v kategoriích modulů
Kálnai, Peter ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Název práce: Kompaktní objekty v kategoriích modulů Autor: Peter Kálnai Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Mgr. Jan Žemlička, Ph.D., Katedra algebry Abstrakt: V práci uvedeme základní přehled vlastností kompaktních objektů ve vhodných kategoriích ako např. kategorie modulů, stabilní faktor kategorie nad perfektním okruhem a Grothendieckovy kategorie. Najdeme okruh nad kterým je třída malých modulů za dodatečného množinově-teoretického předpokladu uzavřená na direktní součiny. Na závěr zkoumáme podmínky, kdy jsou spočetně generované projektivní moduly konečné, vyjádřené tvarem ich Grothendieckova monoidu. Klíčová slova: kompaktní, malý modul, stabilní kategorie modulů, projektivní, samomalý
|
|
| |
|
| |
host ::
RSS.