|
|
Metric and analytic methods
Kaluža, Vojtěch ; Tancer, Martin (vedoucí práce) ; Kleiner, Bruce (oponent) ; Fulek, Radoslav (oponent)
Předložená práce se zabývá dvěma nezávislými problémy. V první části uka- zujeme, že nelze libovolnou n2 -prvkovou množinu zobrazit prostě na pravidelnou mřížku n × n bodů v Z2 pouze s použitím zobrazení, která mohou zvětšovat vzdálenosti faktorem omezeným shora nezávisle na n. Tento výsledek dává zá- pornou odpověď na otázku Uriela Feigeho z roku 2002. Náš přístup vychází z práce Buraga a Kleinera a McMullena o bilipschitzovsky nerealizovatelných hus- totách a bilipschitzovsky neekvivalentních separovaných sítích z roku 1998. Popí- šeme postup, který zakóduje danou kladnou, měřitelnou funkci do posloupnosti diskrétních množin. Pak ukážeme, že pokud je tento postup aplikován na typic- kou spojitou funkci definovanou na jednotkovém čtverci, je získaná posloupnost diskrétních množin protipříkladem na Feigeho otázku. Dále také podáváme nový důkaz výsledku Bonka a Kleinera z roku 2002 o bilipschitzovské dekompozici lipschitzovsky regulárních zobrazení. Ve druhé části představíme konstruktivní důkaz silné Hanani-Tutteho věty pro projektivní rovinu. Oproti předchozímu důkazu Pelsmajera, Schaefera a Stasi z roku 2009 náš postup nepoužívá charakterizaci vnořitelnosti do projektivní roviny pomocí zakázaných minorů. 1
|
|
|
Lineární kódy a projektivní rovina řádu 10
Liška, Ondřej ; Drápal, Aleš (vedoucí práce) ; Vojtěchovský, Petr (oponent)
Projektivní rovina řádu 10 neexistuje. Důkaz tohoto tvrzení byl dokončen v roce 1989 a opírá se o neexistenci binárního kódu C generovaného incidenčními vektory jejích přímek. V rámci důkazu neexistence kódu C se s využitím počítačových výpočtů zkoumalo, jak by vypadaly koeficienty váhového polynomu tohoto kódu. Postupně se ukázalo, že koeficienty A12, A15, A16 a A19 musí být nulové, což ale bylo ve sporu s dalšími poznatky o vztazích mezi jednotlivými koeficienty. Předložená diplomová práce podrobně rozebírá jednotlivé fáze důkazu a v některých bodech je doplňuje novými postřehy a zjednodušeními. Část důkazu je zobecněna pro projektivní roviny řádu 8m + 2. 1
|
|
| |
|
|
Metric and analytic methods
Kaluža, Vojtěch ; Tancer, Martin (vedoucí práce) ; Kleiner, Bruce (oponent) ; Fulek, Radoslav (oponent)
Předložená práce se zabývá dvěma nezávislými problémy. V první části uka- zujeme, že nelze libovolnou n2 -prvkovou množinu zobrazit prostě na pravidelnou mřížku n × n bodů v Z2 pouze s použitím zobrazení, která mohou zvětšovat vzdálenosti faktorem omezeným shora nezávisle na n. Tento výsledek dává zá- pornou odpověď na otázku Uriela Feigeho z roku 2002. Náš přístup vychází z práce Buraga a Kleinera a McMullena o bilipschitzovsky nerealizovatelných hus- totách a bilipschitzovsky neekvivalentních separovaných sítích z roku 1998. Popí- šeme postup, který zakóduje danou kladnou, měřitelnou funkci do posloupnosti diskrétních množin. Pak ukážeme, že pokud je tento postup aplikován na typic- kou spojitou funkci definovanou na jednotkovém čtverci, je získaná posloupnost diskrétních množin protipříkladem na Feigeho otázku. Dále také podáváme nový důkaz výsledku Bonka a Kleinera z roku 2002 o bilipschitzovské dekompozici lipschitzovsky regulárních zobrazení. Ve druhé části představíme konstruktivní důkaz silné Hanani-Tutteho věty pro projektivní rovinu. Oproti předchozímu důkazu Pelsmajera, Schaefera a Stasi z roku 2009 náš postup nepoužívá charakterizaci vnořitelnosti do projektivní roviny pomocí zakázaných minorů. 1
|
|
|
Polotělesa a planární funkce
Hrubešová, Tereza ; Drápal, Aleš (vedoucí práce) ; Krýsl, Svatopluk (oponent)
Cílem této diplomové práce je uvedení do problematiky polotěles a vysvětlení spojitosti s planárními funkcemi. Práce od začátku směřuje k formulaci vztahu mezi komutativními polotělesy lichého řádu a planárními Dembowského-Ostromovými polynomy, který ve svém článku z roku 2008 uvádějí R. S. Coulter a M. Henderson. Na začátku práce je krátké sezná- mení s projektivními a afinními rovinami. Dále je popsáno zavedení sou- řadnic do projektivní roviny pomocí ternárního okruhu. Jsou studovány vlastnosti ternárního okruhu v závislosti na množství perspektivit v pro- jektivní rovině. Jedna z kapitol práce je věnována izotopii lup, která se dá přímo aplikovat na izotopii polotěles. Těžištěm práce je pak samotný dů- kaz zmíněné korespondence mezi komutativními polotělesy lichého řádu a planárními Dembowského-Ostromovými polynomy. Na závěr jsou uvedeny některé důsledky plynoucí z tohoto vztahu a izotopie polotěles. 1
|
|
|
Lineární kódy a projektivní rovina řádu 10
Liška, Ondřej ; Drápal, Aleš (vedoucí práce) ; Vojtěchovský, Petr (oponent)
Projektivní rovina řádu 10 neexistuje. Důkaz tohoto tvrzení byl dokončen v roce 1989 a opírá se o neexistenci binárního kódu C generovaného incidenčními vektory jejích přímek. V rámci důkazu neexistence kódu C se s využitím počítačových výpočtů zkoumalo, jak by vypadaly koeficienty váhového polynomu tohoto kódu. Postupně se ukázalo, že koeficienty A12, A15, A16 a A19 musí být nulové, což ale bylo ve sporu s dalšími poznatky o vztazích mezi jednotlivými koeficienty. Předložená diplomová práce podrobně rozebírá jednotlivé fáze důkazu a v některých bodech je doplňuje novými postřehy a zjednodušeními. Část důkazu je zobecněna pro projektivní roviny řádu 8m + 2. 1
|
host ::
RSS.