|
|
Metric and analytic methods
Kaluža, Vojtěch ; Tancer, Martin (vedoucí práce) ; Kleiner, Bruce (oponent) ; Fulek, Radoslav (oponent)
Předložená práce se zabývá dvěma nezávislými problémy. V první části uka- zujeme, že nelze libovolnou n2 -prvkovou množinu zobrazit prostě na pravidelnou mřížku n × n bodů v Z2 pouze s použitím zobrazení, která mohou zvětšovat vzdálenosti faktorem omezeným shora nezávisle na n. Tento výsledek dává zá- pornou odpověď na otázku Uriela Feigeho z roku 2002. Náš přístup vychází z práce Buraga a Kleinera a McMullena o bilipschitzovsky nerealizovatelných hus- totách a bilipschitzovsky neekvivalentních separovaných sítích z roku 1998. Popí- šeme postup, který zakóduje danou kladnou, měřitelnou funkci do posloupnosti diskrétních množin. Pak ukážeme, že pokud je tento postup aplikován na typic- kou spojitou funkci definovanou na jednotkovém čtverci, je získaná posloupnost diskrétních množin protipříkladem na Feigeho otázku. Dále také podáváme nový důkaz výsledku Bonka a Kleinera z roku 2002 o bilipschitzovské dekompozici lipschitzovsky regulárních zobrazení. Ve druhé části představíme konstruktivní důkaz silné Hanani-Tutteho věty pro projektivní rovinu. Oproti předchozímu důkazu Pelsmajera, Schaefera a Stasi z roku 2009 náš postup nepoužívá charakterizaci vnořitelnosti do projektivní roviny pomocí zakázaných minorů. 1
|
|
|
Lipschitzovská zobrazení diskrétních množin
Kaluža, Vojtěch ; Matoušek, Jiří (vedoucí práce) ; Šámal, Robert (oponent)
V této práci se zabýváme Feigeho otázkou existence konstantně lipschitzov- ské bijekce každé n2 -prvkové podmnožiny S ⊂ Z2 na pravidelnou mřížku n × n bodů v Z2 . Uvedeme řešení tohoto problému v případě, že body v S jsou uspořá- dány ve tvaru dlouhého obdélníku nebo ve tvaru čtverce bez vnitřku. Hlavní částí práce je rešerše článků Buraga a Kleinera [2] a McMullena [12], zabývajících se problémem existence bilipschitzovsky neekvivalentních separovaných sítí, který je podobný Feigeho problému. Dle těchto článků zkonstruujeme separovanou síť v R2 bilipschitzovsky neekvivalentní Z2 na základě konstrukce kladné omezené měřitelné funkce, která není Jakobiánem žádného bilipschitzovského homeomor- fismu skoro všude. Ukážeme McMullenovu konstrukci takové funkce a doplníme důkaz její správnosti. 1
|
|
|
Metric and analytic methods
Kaluža, Vojtěch ; Tancer, Martin (vedoucí práce) ; Kleiner, Bruce (oponent) ; Fulek, Radoslav (oponent)
Předložená práce se zabývá dvěma nezávislými problémy. V první části uka- zujeme, že nelze libovolnou n2 -prvkovou množinu zobrazit prostě na pravidelnou mřížku n × n bodů v Z2 pouze s použitím zobrazení, která mohou zvětšovat vzdálenosti faktorem omezeným shora nezávisle na n. Tento výsledek dává zá- pornou odpověď na otázku Uriela Feigeho z roku 2002. Náš přístup vychází z práce Buraga a Kleinera a McMullena o bilipschitzovsky nerealizovatelných hus- totách a bilipschitzovsky neekvivalentních separovaných sítích z roku 1998. Popí- šeme postup, který zakóduje danou kladnou, měřitelnou funkci do posloupnosti diskrétních množin. Pak ukážeme, že pokud je tento postup aplikován na typic- kou spojitou funkci definovanou na jednotkovém čtverci, je získaná posloupnost diskrétních množin protipříkladem na Feigeho otázku. Dále také podáváme nový důkaz výsledku Bonka a Kleinera z roku 2002 o bilipschitzovské dekompozici lipschitzovsky regulárních zobrazení. Ve druhé části představíme konstruktivní důkaz silné Hanani-Tutteho věty pro projektivní rovinu. Oproti předchozímu důkazu Pelsmajera, Schaefera a Stasi z roku 2009 náš postup nepoužívá charakterizaci vnořitelnosti do projektivní roviny pomocí zakázaných minorů. 1
|
|
|
Lipschitz mappings in the plane
Kaluža, Vojtěch ; Matoušek, Jiří (vedoucí práce) ; Šámal, Robert (oponent)
V této práci se zabýváme otevřenou Feigeho otázkou, která se ptá, jestli exis- tuje konstantně lipschitzovská bijekce každé n2 -bodové podmnožiny Z2 na pra- videlnou mřížku [n] × [n] pro každé n ∈ N. Dáme tuto otázku do vztahu s již vyřešeným problémem existence hustoty v R2 , která není jakobiánem žádného bi- lipschitzovského zobrazení. Tento problém byl vyřešen Buragem a Kleinerem [1] a nezávisle McMullenem [12]. Předvedeme práci Buraga a Kleinera, zanalyzujeme její vztah k Feigeho problému a navrhneme spojitou formulaci Feigeho otázky ve speciálním případě. Poté předvedeme konstrukci hustoty Buraga a Kleinera, uděláme několik pozorování ohledně vlastností této hustoty a následně zkonstru- ujeme hustotu, která je všude nerealizovatelná jako jakobián bilipschitzovského zobrazení. Dále se zabýváme naší spojitou formulací Feigeho otázky, uděláme ně- kolik pozorování o této otázce a nakonec se pokusíme tuto otázku zodpovědět s použitím dříve zkonstruované všude nerealizovatelné hustoty. Nicméně tento poslední úkol zůstává stále nesplněn. 1
|
|
|
Lipschitzovská zobrazení diskrétních množin
Kaluža, Vojtěch ; Matoušek, Jiří (vedoucí práce) ; Šámal, Robert (oponent)
V této práci se zabýváme Feigeho otázkou existence konstantně lipschitzov- ské bijekce každé n2 -prvkové podmnožiny S ⊂ Z2 na pravidelnou mřížku n × n bodů v Z2 . Uvedeme řešení tohoto problému v případě, že body v S jsou uspořá- dány ve tvaru dlouhého obdélníku nebo ve tvaru čtverce bez vnitřku. Hlavní částí práce je rešerše článků Buraga a Kleinera [2] a McMullena [12], zabývajících se problémem existence bilipschitzovsky neekvivalentních separovaných sítí, který je podobný Feigeho problému. Dle těchto článků zkonstruujeme separovanou síť v R2 bilipschitzovsky neekvivalentní Z2 na základě konstrukce kladné omezené měřitelné funkce, která není Jakobiánem žádného bilipschitzovského homeomor- fismu skoro všude. Ukážeme McMullenovu konstrukci takové funkce a doplníme důkaz její správnosti. 1
|
host ::
RSS.