|
|
Modern Asymmetric Cryptosystems
Walek, Vladislav ; Sobotka, Jiří (referee) ; Malina, Lukáš (advisor)
Asymmetric cryptography uses two keys for encryption public key and for decryption private key. The asymmetric cryptosystems include RSA, ElGamal, Elliptic Curves and others. Generally, asymmetric cryptography is mainly used for secure short messages and transmission encryption key for symmetric cryptography. The thesis deals with these systems and implements selected systems (RSA, ElGamal, McEliece, elliptic curves and NTRU) into the application. The application can test the features of chosen cryptosystems. These systems and their performance are compared and evaluated with the measured values. These results can predict the future usage of these systems in modern informatics systems.
|
|
|
Shor's algorithm in Quantum Cryptography
Nwaokocha, Martyns ; Vašík, Petr (referee) ; Hrdina, Jaroslav (advisor)
Kryptografie je velmi důležitým aspektem našeho každodenního života, protože poskytuje teoretický základ informační bezpečnosti. Kvantové výpočty a informace se také stávají velmi důležitou oblastí vědy kvůli mnoha aplikačním oblastem včetně kryptologie a konkrétněji v kryptografii veřejných klíčů. Obtížnost čísel do hlavních faktorů je základem některých důležitých veřejných kryptosystémů, jejichž klíčem je kryptosystém RSA . Shorův kvantový faktoringový al-goritmus využívá zejména kvantový interferenční účinek kvantového výpočtu k faktorovým semi-prime číslům v polynomiálním čase na kvantovém počítači. Ačkoli kapacita současných kvantových počítačů vykonávat Shorův algoritmus je velmi omezená, existuje mnoho rozsáhlých základních vědeckých výzkumů o různých technikách optimalizace algoritmu, pokud jde o faktory, jako je počet qubitů, hloubka obvodu a počet bran. v této práci jsou diskutovány, analyzovány a porovnávány různé varianty Shorova factoringového algoritmu a kvantových obvodů. Některé varianty Shorova algoritmu jsou také simulované a skutečně prováděné na simulátorech a kvantových počítačích na platformě IBM QuantumExperience. Výsledky simulace jsou porovnávány z hlediska jejich složitosti a míry úspěšnosti. Organizace práce je následující: Kapitola 1 pojednává o některých klíčových historických výsledcích kvantové kryptografie, uvádí problém diskutovaný v této práci a představuje cíle, kterých má být dosaženo. Kapitola 2 shrnuje matematické základy kvantového výpočtu a kryptografie veřejných klíčů a popisuje notaci použitou v celé práci. To také vysvětluje, jak lze k rozbití kryptosystému RSA použít realizovatelný algoritmus pro vyhledávání objednávek nebo factoring. Kapitola 3 představuje stavební kameny Shorova algoritmu, včetně kvantové Fourierovy transformace, kvantového odhadu fází, modulární exponentiace a Shorova algoritmu. Zde jsou také uvedeny a porovnány různé varianty optimalizace kvantových obvodů. Kapitola 4 představuje výsledky simulací různých verzí Shorova algoritmu. V kapitole 5 pojednejte o dosažení cílů disertační práce, shrňte výsledky výzkumu a nastíňte budoucí směry výzkumu.
|
|
|
Parallelization of Integer Factorization from the View of RSA Breaking
Breitenbacher, Dominik ; Henzl, Martin (referee) ; Homoliak, Ivan (advisor)
This paper follows up the factorization of integers. Factorization is the most popular and used method for RSA cryptoanalysis. The SIQS was chosen as a factorization method that will be used in this paper. Although SIQS is the fastest method (up to 100 digits), it can't be effectively computed at polynomial time, so it's needed to look up for options, how to speed up the method as much as possible. One of the possible ways is paralelization. In this case OpenMP was used. Other possible way is optimalization. The goal of this paper is also to show, how easily is possible to use paralelizion and thanks to detailed analyzation the source codes one can reach relatively large speed up. Used method of iterative optimalization showed itself as a very effective tool. Using this method the implementation of SIQS achieved almost 100 multiplied speed up and at some parts of the code even more.
|
|
|
Teaching algebraic expressions using algebra tiles
Kuchaříková, Gabriela ; Vondrová, Naďa (advisor) ; Novotná, Jarmila (referee)
The primary goal of this thesis is to prepare and carry out an education programme on algebraic expressions with variables for eight grade primary school students. This is so they can understand the basic principles of operations with simple algebraic expressions. The secondary goal was to determine whether this education method can also be applied in an online environment, which became a necessity during the Covid-19 pandemic. The theoretical chapter of the thesis covers the introduction of the symbolic language of algebra and the ways of understanding a letter (variable). It contains the definition of basic algebraic terminology in a primary school environment as well as an analysis of select textbooks. Additionally, student work levels with algebraic expressions and a categorization of students' mistakes in operations are used as supplementary grounds for the experimental chapter of the thesis. Finally, the two types of algebra tiles are presented. The experimental chapter of the thesis is aimed at the propaedeutics of algebra tiles via operations with integers, at teaching variable expressions using algebra tiles and at expanding the method of teaching expressions in primary school (Vieta's formulas, completing the square). This chapter's sections cover the respective expression operations and...
|
|
|
Solving diophantine equations by factorization in number fields
Hrnčiar, Maroš ; Kala, Vítězslav (advisor) ; Příhoda, Pavel (referee)
Title: Solving diophantine equations by factorization in number fields Author: Bc. Maroš Hrnčiar Department: Department of Algebra Supervisor: Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D., Mathematical Institute, University of Göttingen Abstract: The question of solvability of diophantine equations is one of the oldest mathematical problems in the history of mankind. While different approaches have been developed for solving certain types of equations, this thesis predo- minantly deals with the method of factorization over algebraic number fields. The idea behind this method is to express the equation in the form L = yn where L equals a product of typically linear factors with coefficients in a particular number field. Provided that several assumptions are met, it follows that each of the factors must be the n-th power of an element of the field. The structure of number fields plays a key role in the application of this method, hence a crucial part of the thesis presents an overview of algebraic number theory. In addition to the general theoretical part, the thesis contains all the necessary computations in specific quadratic and cubic number fields describing their basic characteristics. However, the main objective of this thesis is solving specific examples of equati- ons. For instance, in the case of equation x2 + y2 = z3 we...
|
|
|
Shor's algorithm in Quantum Cryptography
Nwaokocha, Martyns ; Vašík, Petr (referee) ; Hrdina, Jaroslav (advisor)
Kryptografie je velmi důležitým aspektem našeho každodenního života, protože poskytuje teoretický základ informační bezpečnosti. Kvantové výpočty a informace se také stávají velmi důležitou oblastí vědy kvůli mnoha aplikačním oblastem včetně kryptologie a konkrétněji v kryptografii veřejných klíčů. Obtížnost čísel do hlavních faktorů je základem některých důležitých veřejných kryptosystémů, jejichž klíčem je kryptosystém RSA . Shorův kvantový faktoringový al-goritmus využívá zejména kvantový interferenční účinek kvantového výpočtu k faktorovým semi-prime číslům v polynomiálním čase na kvantovém počítači. Ačkoli kapacita současných kvantových počítačů vykonávat Shorův algoritmus je velmi omezená, existuje mnoho rozsáhlých základních vědeckých výzkumů o různých technikách optimalizace algoritmu, pokud jde o faktory, jako je počet qubitů, hloubka obvodu a počet bran. v této práci jsou diskutovány, analyzovány a porovnávány různé varianty Shorova factoringového algoritmu a kvantových obvodů. Některé varianty Shorova algoritmu jsou také simulované a skutečně prováděné na simulátorech a kvantových počítačích na platformě IBM QuantumExperience. Výsledky simulace jsou porovnávány z hlediska jejich složitosti a míry úspěšnosti. Organizace práce je následující: Kapitola 1 pojednává o některých klíčových historických výsledcích kvantové kryptografie, uvádí problém diskutovaný v této práci a představuje cíle, kterých má být dosaženo. Kapitola 2 shrnuje matematické základy kvantového výpočtu a kryptografie veřejných klíčů a popisuje notaci použitou v celé práci. To také vysvětluje, jak lze k rozbití kryptosystému RSA použít realizovatelný algoritmus pro vyhledávání objednávek nebo factoring. Kapitola 3 představuje stavební kameny Shorova algoritmu, včetně kvantové Fourierovy transformace, kvantového odhadu fází, modulární exponentiace a Shorova algoritmu. Zde jsou také uvedeny a porovnány různé varianty optimalizace kvantových obvodů. Kapitola 4 představuje výsledky simulací různých verzí Shorova algoritmu. V kapitole 5 pojednejte o dosažení cílů disertační práce, shrňte výsledky výzkumu a nastíňte budoucí směry výzkumu.
|
|
|
Algorithms for factorization of integers of particular form
Lorenc, Filip ; Příhoda, Pavel (advisor) ; Růžička, Pavel (referee)
This bachelor thesis deals with three factorization algorithms - Pollard p-1 method, Williams p+1 method and elliptic curve method ECM. This work aims to describe these algorithms theoretically and then compare them on real inputs. For each algorithm we describe its basic and extended version and then we derive their time complexity. In the first chapter we define B-powersmooth and B-smooth number and we state their approximation. The second, third and fourth chapter is about description of algorithms and in the last chapter we compare their effectiveness and performance. A part of the work contains basic theory about elliptic curves, which is necessary in ECM. There is also included a program containing all these algorithms.
|
|
|
The Description of the Program for Factorization of Large Numbers
Levek, Vladimír
The article describes the algorithm for factorization of large numbers. If there is the result of the product of two prime numbers, then the program can find the factors. The first part of the article generally introduces the problem of factoring large integers and its impact in the field of the cryptography. The next part describes the algorithm and the program for calculation. At the end of the article there is a summary of the possibilities of the program.
|
|
|
Analysis of the SQUFOF algoritm
Langer, Lukáš ; Žemlička, Jan (advisor) ; Příhoda, Pavel (referee)
This thesis deals with collecting facts and making the complete analysis of SQUFOF algorithm. In the beginning you can find a short hystorical re- view and then it continues with desribing how the binary quadratic forms, which represents the number N, continued fractions of √ N, ideals in the ring Z( √ N) and lattices in Q( √ N) are related. This thesis offers the tools usable to switch between these structures and finally it uses these tools to show, how the algorithm SQUFOF works. 1
|
|
|
Solving diophantine equations by factorization in number fields
Hrnčiar, Maroš ; Kala, Vítězslav (advisor) ; Příhoda, Pavel (referee)
Title: Solving diophantine equations by factorization in number fields Author: Bc. Maroš Hrnčiar Department: Department of Algebra Supervisor: Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D., Mathematical Institute, University of Göttingen Abstract: The question of solvability of diophantine equations is one of the oldest mathematical problems in the history of mankind. While different approaches have been developed for solving certain types of equations, this thesis predo- minantly deals with the method of factorization over algebraic number fields. The idea behind this method is to express the equation in the form L = yn where L equals a product of typically linear factors with coefficients in a particular number field. Provided that several assumptions are met, it follows that each of the factors must be the n-th power of an element of the field. The structure of number fields plays a key role in the application of this method, hence a crucial part of the thesis presents an overview of algebraic number theory. In addition to the general theoretical part, the thesis contains all the necessary computations in specific quadratic and cubic number fields describing their basic characteristics. However, the main objective of this thesis is solving specific examples of equati- ons. For instance, in the case of equation x2 + y2 = z3 we...
|
guest ::
