|
|
Stability and convergence of numerical computations
Sehnalová, Pavla ; Dalík, Josef (oponent) ; Horová, Ivana (oponent) ; Kunovský, Jiří (vedoucí práce)
The aim of this thesis is to analyze the stability and convergence of fundamental numerical methods for solving ordinary differential equations. These include one-step methods such as the classical Euler method, Runge-Kutta methods and the less well known but fast and accurate Taylor series method. We also consider the generalization to multistep methods such as Adams methods and their implementation as predictor-corrector pairs. Furthermore we consider the generalization to multiderivative methods such as Obreshkov method. There is always a choice in predictor-corrector pairs of the so-called mode of the method and in this thesis both PEC and PECE modes are considered. The main goal and the new contribution of the thesis is the use of a special fourth order method consisting of a two-step predictor followed by an one-step corrector, each using second derivative formulae. The mathematical background of historical developments of Nordsieck representation, the algorithm of choosing a variable stepsize or an error estimation are discussed. The current approach adapts well to the multiderivative situation in variable stepsize formulations. Experiments for linear and non-linear problems and the comparison with classical methods are presented.
|
|
|
Paralelní numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic
Nečasová, Gabriela ; Šátek, Václav (oponent) ; Kunovský, Jiří (vedoucí práce)
Práce se zabývá tématem paralelního numerického řešení parciálních diferenciálních rovnic. Práce se nejprve zaměřuje na obyčejné parciální diferenciální rovnice (ODR) a jejich metody řešení pomocí Taylorova polynomu. Další část je věnována parciálním diferenciálním rovnicím (PDR). Jsou zde popsány typy PDR, jedná se o parabolické, hyperbolické a eliptické PDR. Také je vysvětleno, jakým způsobem používat systém TKSL při výpočtu PDR. Další část práce je zaměřena na metody řešení PDR, mezi tyto metody patří dopředná, zpětná a kombinovaná metoda. Bylo vysvětleno, jakým způsobem lze tyto metody řešit v systémech TKSL a Matlab. Dále je diskutována přesnost a časová náročnost výpočtu. Další součástí je paralelní řešení PDR. Díky možnosti převodu PDR na soustavu ODR lze jednotlivé rovnice reprezentovat nezávislými operačními jednotkami, které umožňují paralelní výpočet. Poslední kapitola je věnována implementaci. Aplikace umožňuje vygenerovat soustavy ODR pro systém TKSL, které reprezentují zadanou hyperbolickou PDR.
|
|
|
Kořeny polynomů
Tomšík, Filip ; Kopřiva, Jan (oponent) ; Kunovský, Jiří (vedoucí práce)
Ukolem bakaláařské práce bylo prostudovat řešení algebraických a diferenciálních rovnic. Zabýváme se v ní Bairstowovou metodou, která je pro řešení homogenních diferenciálních rovnic vyšších řádů nejvhodnější. Implementace Bairstowovy metody a propojení s Gaussovou eliminační metodou. Nakonec jsou provedeny testy na rychlost a přesnost výpočtu.
|
|
|
Vliv přesnosti aritmetických operací na přesnost numerických metod
Kluknavský, František ; Šátek, Václav (oponent) ; Peringer, Petr (vedoucí práce)
Práce je zaměřená na hodnocení vlivu zaokrouhlovacích chyb na přesnost a efektivitu numerických integračních metod. Obsahuje teoretické předpoklady získané z existující literatury, implementaci knihovny zvolených metod, experimenty pro zjištění dosažené přesnosti za různých podmínek a jejich porovnání vzhledem k časové náročnosti. Knihovna implementuje metody Runge-Kutta prvního až sedmého řádu, dále metody Adams-Bashforth do 20 řádu naprogramováné pomocí C++ šablon, které dovolují použít volitelnou aritmetiku s vícenásobnou přesností. Experimenty byli provedeny za použití jednoduchých modelů se známým analytickým řešením.
|
|
|
Semi - analytické výpočty a spojitá simulace
Kopřiva, Jan ; Kubátová, Hana (oponent) ; Novitzká,, Valerie (oponent) ; Kunovský, Jiří (vedoucí práce)
Práce se zabývá urychlením a zpřesněním numerických výpočtů, především pak úloh z oblasti diferenciálního počtu. Zmíněné vlastnosti jsou charakteristické pro skupinu výpočtů nazývaných semi-analytické. Jednou z možností urychlení výpočtu obyčejných diferenciálních rovnic je paralelizace. Předkládaná paralelizace je založena na transformaci numerického řešení do aritmetiky zbytkových tříd, která je rozšířena o výpočty s pohyblivou čárkou. Součástí práce je i nový algoritmus pro součin celých čísel a jeho následnou redukci zvoleným modulem. Vzhledem k aplikacím v diferenciálním počtu jsou v práci popsány upravené integrační metody - Eulerova, Runge - Kutta a Taylorova s využitím aritmetiky zbytkových tříd. V závěru jsou také nástíněny další možnosti rozšíření a urychlení popsané aritmetiky.
|
|
|
Advanced Electronic Circuits Simulation Methods
Kocina, Filip ; Kozek, Martin (oponent) ; Kyncl, Jan (oponent) ; Kunovský, Jiří (vedoucí práce)
The thesis deals with the simulation of electronic circuits. It describes the Capacitor Substitution Method (CSM) to transform electronic circuits into electric circuits which can then be solved using numerical methods, namely the Modern Taylor Series Method (MTSM). This method is distinguished by automatic order selection, halving the step size as required and the wide area of stability according to the order. Within the thesis, specialized programming equipment to solve ordinary differential equations using MTSM was created by the author of the thesis, with many improvements to the algorithms (compared to TKSL/386). These algorithms involve the simplification of generic expressions into polynomials, parallelization independent of the integration method etc. This software runs on a Linux server which communicates using the TCP/IP stack. The equipment was successfully used to simulate VLSI circuits whose solution by CSM was much faster and more memory-efficient than the state-of-the-art SPICE.
|
|
|
Integrály a diferenciální rovnice v aplikačních úlohách - sbírka řešených příkladů
HOLUB, Miroslav
Hlavním tématem diplomové práce je vytvoření sbírky vybraných řešených zajímavých úloh určených pro rozšiřující výuku seminářů matematiky na středních školách, případně jako doplňková literatura studentům rozličných oborů vysokých škol. První část pojednává o možnostech aplikací integrálního počtu v úlohách z běžné praxe. Specifická témata některých úloh jsou využitelná i v oblastech odborných kruhů. Druhá část práce se zaměřuje na matematicky řešené úlohy, jejichž předlohou jsou výjimečné nastalé okolnosti z běžného života. Cílem každého příkladu je sestavení obyčejné diferenciální rovnice, stanovení počátečních podmínek, dořešení rovnice a konfrontace se zadáním úlohy.
|
|
|
Spojité modely v biologii
Kozák, Michal ; Stará, Jana (vedoucí práce) ; Kučera, Milan (oponent)
Tato bakalářská práce se zabývá hledáním podmínek, za kterých je biologický systém ekologicky stabilní. Po představení některých konceptů ekologické stability vybereme pojem permanence, který zavedeme na modelech postavených na se- midynamických systémech. Hlavní částí práce jsou tvrzení, ve kterých dokážeme, za kterých podmínek je či není model permanentní. V poslední kapitole ilustruje- me tuto teorii na modelu vodní populace interagující se znečištěným prostředím. Tato práce si dává za cíl shrnout danou problematiku a ukázat ji na konkrétním příkladě. Přínosem je důkaz tvrzení, za kterých podmínek systém není permanent- ní a příklad, jak složitý model dostatečně zjednodušit, aby byl řešitelný a zároveň biologicky zajímavý. 33
|
|
|
Filippovovy dynamické systémy a jejich aplikace
Šimonová, Dorota ; Janovský, Vladimír (vedoucí práce) ; Ratschan, Stefan (oponent)
Práce je motivována problémy kontaktní mechaniky, především modely tření. V první kapitole si zavedeme pojmy potřebné k analyzování Filippovových systémů, což jsou systémy popsané speciálním případem obyčejných diferenciálních rovnic s nespojitou pravou stranou. Ukážeme též software k jejich řešení. Ostatní kapitoly jsou věnovány aplikacím, jde především o analyzování modelů suchého zipu a modelu kontaktu elastického tělesa s tuhou podložkou s jedním kontaktním uzlem, kterému se říká model Coulombova tření. Při řešení druhého zmíněného modelu je nutno kombinovat software pro řešení Filippovových systémů a impaktních oscilátorů. Výsledky analýzy modelu Coulombova tření jsou původní. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Model korupce v demokratické společnosti
Splítek, Martin ; Janovský, Vladimír (vedoucí práce) ; Mlčoch, Lubomír (oponent)
Cílem této práce je zkoumat chování závažného společenského jevu - korupce, a to prostřednictvím matematického modelu korupce v demokratické společnosti publikovaného v [1]. Jedná se o dynamický systém zadaný soustavou tří obyčejných diferenciálních rovnic, které závisí na třech proměnných a deseti parametrech. Model je zkoumán prostředky numerické analýzy, konkrétně me- todou numerické integrace soustav obyčejných diferenciálních rovnic a metodou numerické kontinuace. K tomu byl využit toolbox Matcont [2], který pracuje v prostředí programu MATLAB [3]. Výsledkem práce je komentovaná parametrická studie fenoménu korupce. Klíčová slova: obyčejné diferenciální rovnice, dynamické systémy, bifurkační analýza 1
|
host ::
RSS.