|
|
Solving diophantine equations by factorization in number fields
Hrnčiar, Maroš ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Název práce: Řešení diofantických rovnic rozkladem v číselných tělesech Autor: Bc. Maroš Hrnčiar Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D., Mathematisches Institut, Georg-August Universität Göttingen Abstrakt: Problém řešitelnosti diofantických rovnic je jedním z nejstarších ma- tematických problémů v historii. Postupně se vyvinuly různé přístupy k řešení určitých typů rovnic, z nichž se v práci zabýváme převážně metodou využívající faktorizaci v algebraickém číselném tělese. Myšlenkou této metody je vyjádřit rovnici ve tvaru L = yn , kde levá strana L je součin typicky lineárních fak- torů s koeficienty v daném číselném tělese. Při splnění několika předpokladů po- tom můžeme každý z faktorů napsat jako n-tou mocninu. Klíčovou roli při apli- kaci metody hraje struktura číselných těles, proto neoddělitelnou součást práce tvoří přehled algebraické teorie čísel. Kromě výkladu obecné teorie jsou zde uve- dené i výpočty v jednotlivých kvadratických a kubických tělesech popisující jejich vlastnosti. Hlavním předmětem práce je však řešení konkrétních úloh. Například v rovnici x2 + y2 = z3 se potýkáme s netriviálními společnými děliteli faktorů v...
|
|
|
Universal quadratic forms over number fields
Svoboda, Josef ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Hejda, Tomáš (oponent)
Cílem této práce je studium univerzálních kvadratických forem nad bikvadratickými tělesy. V práci defininujeme bikvadratická tělesa a popisujeme jejich strukturu. Konkrétně studujeme některé význačné (totálně kladné a aditivně nerozložitelné) prvky, jejich normy a stopy. Poté popisujeme teorii univerzálních kvadratických forem a používáme význačné prvky k důkazu dolního odhadu počtu proměnných univerzální kvadratické formy v některých bikvadratických tělesech.
|
|
|
Composition of quadratic forms over number fields
Zemková, Kristýna ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Francírek, Pavel (oponent)
Tato diplomová práce se zabývá teorií binárních kvadrat- ických forem s koeficienty v okruhu celistvých prvků číselného tělesa. Pro číselná tělesa, která mají úzké třídové číslo rovno jedné, je vyvinuta teorie skládání takovýchto kvadrat- ických forem. Toto skládání je pro daný diskriminant určeno bijekcí mezi třídami ekvivalence kvadratických forem a tzv. relativní orientovanou třídovou grupou (grupa sou- visející s třídovou grupou). Následně jsou v práci zobecněny Bhargavovy krychle, nově jsou uvažovány krychle nad okruhem celistvých prvků číselného tělesa. V práci je dokázáno tvrzení o skládání těchto krychlí, přičemž k důkazu se využívá výše uvedené skládání kvadratických forem. 1
|
|
|
Universal quadratic forms over number fields
Svoboda, Josef ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Hejda, Tomáš (oponent)
Cílem této práce je studium univerzálních kvadratických forem nad bikvadratickými tělesy. V práci defininujeme bikvadratická tělesa a popisujeme jejich strukturu. Konkrétně studujeme některé význačné (totálně kladné a aditivně nerozložitelné) prvky, jejich normy a stopy. Poté popisujeme teorii univerzálních kvadratických forem a používáme význačné prvky k důkazu dolního odhadu počtu proměnných univerzální kvadratické formy v některých bikvadratických tělesech.
|
|
|
Solving diophantine equations by factorization in number fields
Hrnčiar, Maroš ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Název práce: Řešení diofantických rovnic rozkladem v číselných tělesech Autor: Bc. Maroš Hrnčiar Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D., Mathematisches Institut, Georg-August Universität Göttingen Abstrakt: Problém řešitelnosti diofantických rovnic je jedním z nejstarších ma- tematických problémů v historii. Postupně se vyvinuly různé přístupy k řešení určitých typů rovnic, z nichž se v práci zabýváme převážně metodou využívající faktorizaci v algebraickém číselném tělese. Myšlenkou této metody je vyjádřit rovnici ve tvaru L = yn , kde levá strana L je součin typicky lineárních fak- torů s koeficienty v daném číselném tělese. Při splnění několika předpokladů po- tom můžeme každý z faktorů napsat jako n-tou mocninu. Klíčovou roli při apli- kaci metody hraje struktura číselných těles, proto neoddělitelnou součást práce tvoří přehled algebraické teorie čísel. Kromě výkladu obecné teorie jsou zde uve- dené i výpočty v jednotlivých kvadratických a kubických tělesech popisující jejich vlastnosti. Hlavním předmětem práce je však řešení konkrétních úloh. Například v rovnici x2 + y2 = z3 se potýkáme s netriviálními společnými děliteli faktorů v...
|
|
|
Podpůrné algoritmy číselného síta
Skoková, Adéla ; Drápal, Aleš (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Název práce: Podpůrné algoritmy číselného síta Autor: Adéla Skoková Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. Abstrakt: V předložené diplomové práci studujeme hlavně první fázi algoritmu číselného síta, generování polynomů. Nejprve popisujeme celé číselné síto pro pochopení role polynomů a jejich vliv na celý algoritmus. Pak se věnujeme jejich vlastnostem a ohodnocování. Nakonec uvádíme algoritmy pro generování polynomů, se kterými přišel Thorsen Kleinjung. Druhý Kleinjungův algoritmus byl naprogramován. Jedná se o zatím nepřekonané algoritmy na získávání vhodných polynomů. Klíčová slova: Číselné síto, GNFS, Číselné těleso, Kleinjungův algoritmus Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Podpůrné algoritmy číselného síta
Skoková, Adéla ; Drápal, Aleš (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Název práce: Podpůrné algoritmy číselného síta Autor: Adéla Skoková Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. Abstrakt: V předložené diplomové práci studujeme hlavně první fázi algoritmu číselného síta, generování polynomů. Nejprve popisujeme celé číselné síto pro pocho- pení role polynomů a jejich vliv na celý algoritmus. Pak se věnujeme jejich vlast- nostem a ohodnocování. Nakonec uvádíme algoritmy pro generování polynomů, se kterými přišel Thorsen Kleinjung. Jedná se o zatím nepřekonané algoritmy na získávání vhodných polynomů. Klíčová slova: Číselné síto, GNFS, Číselné těleso, Kleinjungův algoritmus
|
host ::
RSS.